M a t e m á t i c a s I I 1

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1 Matemáticas II

2 Matemáticas II 2

3 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Bloque. Álgera lineal Prolema a) A() ) El determinante de la matriz inversa de A es el inverso del determinante de A, es decir: A Imponemos que A, que es lo mismo 66 A que imponer que A , 6 Prolema.2. a) Nos encontramos ante un sistema homogéneo, en el cual la solución trivial x y z 0 se produce cuando el sistema es compatile determinado o, lo que es lo mismo, cuando el rango de la matriz de coeficientes es igual a (por tener incógnitas). Esta situación se producirá cuando el determinante (que es de orden ) sea distinto de cero. A A 0 9 A Luego si 9 el sistema es compatile determinado y, por lo tanto, la única solución que admite es la trivial, (x, y, z) (0, 0, 0). ) Según el apartado anterior, cuando 9 el rango de la matriz de coeficientes es 2. Nos encontramos, pues ante un sistema compatile indeterminado con 2 grado de liertad. Tenemos el sistema: x y z 2x y 4z Resolvemos el sistema por Cramer: z 4z x z 2 z 2 4z y 2z 2 La solución se expresa de esta forma: x y 2 con z Bloque 2. Geometría Prolema 2.. a) Puesto que la recta que uscamos es perpendicular al plano, utiliza como vector director el vector normal de, es decir: v " r n " (, 2, 2) Como la recta pasa por P(,, 4), la ecuación de r es (x, y, z) (,, 4) (, 2, 2). ) Existen infinitos planos perpendiculares a. La condición que han de cumplir es que uno de los dos vectores directores sea el vector normal del plano n " (, 2, 2) y el otro, cualquier vector, v ", que no sea proporcional a n ". La ecuación vectorial de los planos es: (x, y, z) (,, 4) (, 2, 2) v ", con, c) Como el plano pasa por P y Q, un vector director del mismo es PQ $ Q P (2,, 5). La ecuación del plano es: (x, y, z) (,, 4) (, 2, 2) (2,, 5) Prolema 2.2. a) Los planos que uscamos son paralelos a y son de esta forma: x 2y 4z D 0. La distancia entre planos paralelos se calcula con la distancia de un punto P(a,, c) perteneciente a al otro plano Ax By Cz D 0: d(p, ) Aa B Cc D A 2 B 2 C 2

4 Un punto del plano es P(0, 0, ). Luego la distancia entre los planos es: D 2 D d(, ) Imponemos que la distancia sea 5 u, por lo que hay que resolver esta ecuación: 2 D 5 29 Como es valor asoluto, existen dos ecuaciones: 2 D 5 D D 5 D Por tanto, los dos planos son: x 2y 4z x 2y 4z ) Para hallar las coordenadas de cada uno de los puntos, igualamos a cero dos de las tres incógnitas y calculamos la otra. Intersección de con el eje X Hacemos y 0, z 0 x 2 x 4 El punto es A(4, 0, 0). Intersección de con el eje Y Hacemos x 0, z 0 2y 2 y 6 El punto es B(0, 6, 0). Intersección de con el eje Z Hacemos x 0, y 0 4z 2 z El punto es C(0, 0, ). c) Calculamos los vectores AB $, BC $, y AC $ para hallar los ángulos pedidos: AB $ B A (4, 6, 0) BC $ C B (0, 6, ) AC $ C A (4, 0, ) cos (AB $,AC $ AB $ AC $ ) AB $ AC $ ,44 8 Ángulo BAC X arc cos (0,44 8) 6,65 cos (BA $,BC $ BA $ BC $ ) BA $ BC $ , Ángulo ABC X arc cos (0,744 2) 4,9 Hallamos el ángulo ACB X de esta forma: Angulo ACB X 80 (6,65 4,9 ) 74,44 Bloque. Análisis Prolema.. f(x) 2x 2 2x 6 a) Sea h(x) g(x) (x 2)(x 2 9) Asíntotas verticales En x 2 2x 2 2x 6 26 x 2 (x 2)(x 2 9) 0 2x 2 2x 6 26 x 2 (x 2)(x 2 9) 0 Asíntotas horizontales: x x 2x 2 2x 6 (x 2)(x 2 9) 2x 2 2x 6 (x 2)(x 2 9) 0 0 Por tanto, la asíntota horizontal es y 0. Como existen asíntotas horizontales en y, no hay asíntotas olicuas. ) Para calcular 2x2 2x 6 dx descomponemos: (x 2)(x 2 9) 2x 2 2x 6 (x 2)(x 2 9) Ax 2 9A Bx 2 Cx 2Bx 2C (x 2)(x 2 9) (A B)x 2 (C 2B)x (9A 2C) (x 2)(x 2 9) Igualamos los numeradores: 2x 2 2x 6 (A B)x 2 (C 2B)x (9A 2C) Igualamos los coeficientes del mismo grado: A B 2 C 2B 2 A 2, B 0, C 2 9A 2C 6 Luego el integrando es: 2x 2 2x 6 (x 2)(x 2 9) A Bx C x 2 x x 2 2 x 2 9 4

5 Por tanto: 2 2 H(x) dx x 2 x 2 9 x 2ln x 2 arc tg C Para hallar C tenemos en cuenta que H(), es decir: 2ln 2 arc tg C C 4 C 2 4 Luego la función que uscáamos es: x H(x) 2ln x 2 arc tg 4 Prolema.2. a) f(x) f (x) f (x) 8 x 2 8 2x ( x 2 ) 2 6x ( x 2 ) 2 6( x 2 ) 2 ( 6x) 2( x 2 ) 2x ( x 2 ) 4 ( x 2 )6x 2 ( x 2 ) 64x 2 ( x 2 ) 4 48x 2 6 ( x 2 ) ) f (x)0 48x x 2 x, x Comproamos que son puntos de inflexión:, l, l f 0 f 0 f 0, l Como la derivada segunda camia de signo a amos lados de los puntos calculados, la función camia de curvatura y, por lo tanto, los puntos son de inflexión. Los puntos de inflexión de f(x) son:,6 P y P 2 c) La pendiente de las rectas tangentes la proporciona la derivada primera, f (x): 6x Pendiente(x) ( x 2 ) 2 Para maximizar esta función, igualamos su derivada a 0: Pendiente (x) f (x),6 48x 2 6 ( x 2 ) Pendiente (x) 0 x x Los intervalos de curvatura son:, l, l f 0 f 0 f 0 Pend. 0 Pend. 0 Pend. 0 En x la función Pendiente tiene un máximo, pues su derivada primera es positiva a la izquierda (creciente) y negativa a la derecha (decreciente). La pendiente máxima se alcanza en x y su valor es: Pendiente 6 l 8 46,77 2, l Bloque 4. Resolución de prolemas Prolema 4.. Representamos la situación del enunciado: Y 0 km/h 40 km/h B(0, 0) A(50, 0) 50 km Estalecemos un sistema de coordenadas y situamos el punto B en el instante cero (7 de la mañana) en el origen de X coordenadas y, por lo tanto, el punto A en las coordenadas (50, 0). La lancha B navega hacia el norte a 0 km/h, por lo que sus coordenadas de posición en función del tiempo son (0, 0t). La lancha A(50, 0) navega hacia el oeste y sus coordenadas en función del tiempo son (50 40t, 0). La función que nos da la distancia entre los puntos A y B dependiendo del tiempo es: d(t) (50 40t) 2 (0t) 2 Desarrollando cuadrados y agrupando, tenemos: d(t) ( t 2 500t 2 5

6 Calculamos su derivada: t d (t) t 2 500t 2 Para minimizar la distancia igualamos a cero la derivada: d (t) t 0 t Si tomamos valores en la derivada a amos lados de t 2/5, tenemos lo siguiente: 0, 2 5 l d 0 d 0 Creciente Luego en t 2/5 hay un mínimo. Lo convertimos a horas y minutos: 2 2 h 2 h 2 h y 24 min 5 5 Así, las lanchas estarán a la mínima distancia 2 h y 24 min después de las 7 de la mañana; es decir, a las 9 h y 24 min. 2 5, l Decreciente 2 5 Prolema 4.2. Como la ase aumenta 0,2 mm por minuto y al principio tiene 8 cm 80 mm, la expresión 80 0,2t nos proporciona lo que mide en el instante t. La altura tamién crece 0,2 mm por segundo, pero como al principio tiene 60 mm, la expresión de su longitud es 60 0,2t. La diagonal de la lámina viene dada por esta expresión: d(t) (800,2t) 2 (600,20t) t 0,08t 2 La velocidad de crecimiento viene determinada por la derivada de la función d(t): 56 0,6t Velocidad(t) t 0,08t 2 Simplificamos y otenemos la velocidad de crecimiento de la diagonal de la lámina en función del tiempo: Velocidad(t) 28 0,08t t 0,08t 2 6