Tema 11: Diferenciabilidad en varias variables.

Transcripción

1 Tema 11: Diferenciabilidad en varias variables. José M. Salazar Noviembre de 2016

2 Tema 11: Diferenciabilidad en varias variables. Lección 14. Diferenciabilidad en varias variables. Lección 15. Aplicaciones de la diferenciabilidad en varias variables.

3 Índice 1 Funciones escalares de varias variables. Derivadas direccionales y parciales. Gradientes y diferenciabilidad. Propiedades de la diferenciabilidad de funciones escalares. 2 Diferenciabilidad de funciones vectoriales. Reglas de diferenciación. Regla de la cadena. Teoremas de la función impĺıcita y de la función inversa.

4 Derivada direccional Supondremos, salvo mención en contra, que U R n es abierto. Definición (Derivada direccional) Sea f : U R n R, ā U y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como: ( ) f ā + h v v f (ā) D v f (ā) = lim h 0 h Si v es unitario, D v f (ā) = lim h 0 f (ā + h v) f (ā) h

5 Derivadas parciales Definición (Derivadas parciales) Sea f : U R n R y ā U. Se define la derivada parcial i-ésima en ā como f f (ā + hē i ) f (ā) (ā) = D ei f (ā) = lim x i h 0 h f (a 1,..., a i + h,..., a n ) f (a 1,..., a n ) = lim h 0 h siendo ē i = (0,..., }{{} 1,..., 0) el vector canónico i-ésimo. i) Si existe f (ā) para todo ā U, se define la función derivada x i parcial i-ésima f : U R. x i

6 Derivadas de segundo orden Definición Denotamos a las derivadas de segundo orden por 2 f = ( ) f x i x j x i x j Se ha derivado primero con respecto a x j y después con respecto a x i. 2 f = 2 f = ( ) f x i x i x i x i x 2 i Se ha derivado dos veces con respecto a x i.

7 Derivadas de segundo orden. Funciones de clase C k Definición (Funciones de clase k) Si f : U R n R tiene todas las derivadas parciales hasta el orden k continuas en U, f es de clase k en U, f C k (U). Teorema (Derivadas parciales mixtas. Teorema de Schwarz) Sea f : U R n R tal que f f 2 f 2 f,,, son x i x j x i x j x j x i continuas en un entorno de ā U. Entonces 2 f x i x j (ā) = 2 f x j x i (ā)

8 Gradiente Definición Sea f : U R n R y ā U. Entonces se define el gradiente de f en ā como ( f f (ā) = (ā),..., f ) (ā) x 1 x n Para que exista f (ā) deben existir todas las derivadas parciales en ā.

9 Diferenciabilidad de funciones escalares Definición (Diferenciabilidad de funciones escalares) Sea f : U R n R y ā U. Se dice que f es diferenciable en ā si se verifica que: 1. f x i (ā) para todo i = 1,..., n. 2. lim h 0 f (ā + h) f (ā) f (ā) h h = 0. La propiedad 2 también se escribe como f ( x) f (ā) f (ā)( x ā) lim = 0 x ā x ā En tal caso, la diferencial de f en ā se define como la aplicación lineal Df (ā) : R n R tal que Df (ā)( x) = f (ā) x.

10 Diferencibilidad de funciones escalares Definición (Plano tangente) Dada f : U R 2 R, la propiedad 2 queda del siguiente modo: [ ] f ( x) f (ā) + f x 1 (ā)(x 1 a 1 ) + f x 2 (ā)(x 2 a 2 ) lim = 0 x ā x ā Se define el plano tangente a la superficie determinada por f en (ā, f (ā)) como z = f (ā) + f x 1 (ā)(x 1 a 1 ) + f x 2 (ā)(x 2 a 2 ) El plano tangente representa la mejor aproximación lineal posible al valor de f en las proximidades de ā.

11 Diferenciabilidad de funciones escalares Propiedades Sea f : U R n R con ā U. 1. Si f es diferenciable en ā, entonces f es continua en ā. 2. Si f es de clase 1 en un entorno de ā, entonces f es diferenciable en ā. 3. Si existe v R n tal que D v f (ā), entonces f no es diferenciable en ā. Observación La existencia de todas las derivadas direccionales en ā no garantiza la continuidad en ā. Valga como ejemplo la función { xy 2 si (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 +y 4 0 si (x, y) = (0, 0) en ā = (0, 0).

12 Diferenciabilidad de funciones escalares Propiedades (Reglas de diferenciación) Si c R y f diferenciable en ā, entonces c f también lo es y D(c f )(ā) = cd(f )(ā). Si f y g son funciones escalares y diferenciables en ā, entonces f + g también lo es y D(f + g)(ā) = Df (ā) + Dg(ā). Si f, g son funciones escalares y diferenciables en ā, entonces fg también lo es y D(fg)(ā) = g(ā)df (ā) + f (ā)dg(ā). Si f y g son funciones escalares y diferenciables en ā, con g(ā) 0, entonces ( ) f /g también es diferenciable en ā y f D (ā) = 1 f (a) Df (a) g g(a) g(a) 2 Dg(a).

13 Diferenciabilidad de funciones vectoriales Definición (Matriz jacobiana) Dada f : U R n R m, su matriz jacobiana en el punto ā U es f 1 f x 1 (ā) 1 x n (ā) Jf (ā) =. f m x 1 (ā). f m x n (ā) Definición (Diferenciabilidad de funciones vectoriales) La función f : U R n R m es diferenciable en ā U si existen las derivadas parciales de todas las funciones coordenadas en ā y se cumple la propiedad lim x ā f ( x) f (ā) Jf (ā)( x ā) x ā = 0 La matriz jacobiana Jf (ā) da lugar a la aplicación lineal Df (ā) : R n R m tal que Df (ā)( x) = Jf (ā) x. Esta apllicación lineal se conoce como la diferencial de f en ā.

14 Diferenciabilidad de funciones vectoriales Teorema La función f : U R n R m es diferenciable en ā U si y sólo si cada función coordenada f i lo es. Definición (Funciones de clase k) Si f : U R n R m cumple que todas sus funciones coordenadas son de clase k en U, entonces se dice que f es de clase k en U, f C k (U). Propiedades Sea f : U R n R m con ā U. 1. Si f es diferenciable en ā, entonces f es continua en ā. 2. Si f es de clase 1 en un entorno de ā, entonces f es diferenciable en ā.

15 Reglas de diferenciación de funciones vectoriales Propiedades (Reglas de diferenciación) Si c R y f : U R n R m es diferenciable en ā, entonces c f también lo es y D(c f )(ā) = cd(f )(ā). Si f, g : U R n R m son diferenciables en ā, entonces f + g también lo es y D(f + g)(ā) = Df (ā) + Dg(ā). Si f y g son funciones escalares, se tienen las reglas del producto y del cociente. Regla de la cadena. Sean f : U R n R m y g : V R m R p tales que g f está definida en un entorno de ā, f es diferenciable en ā y g es diferenciable en f (ā). Entonces g f es diferenciable en ā y D(g f )(ā) = Dg(f (ā))df (ā).

16 Casos particulares de la regla de la cadena Observación (Casos particulares de la regla de la cadena) 1. Sea z = f (x, y) una función diferenciable de variables x e y, con x = g(t), y = h(t) funciones diferenciables de variable t. Entonces z es una función diferenciable de t con dz dt = z x Escrito matricialmente, se tiene dz dt = ( z x dx dt + z y z y dy dt ) ( dx dt dy dt )

17 Casos particulares de la regla de la cadena Observación (Casos particulares de la regla de la cadena) 2. Sea z = f (x, y) una función diferenciable de variables x e y, con x = g(s, t), y = h(s, t) funciones diferenciables de variables s y t. Entonces, z s = z x x s + z y y s Escrito matricialmente, queda ( z s z t z t = z x x t + z y y t ) = ( z x z y ) ( x s y s x t y t )

18 Teorema de la función impĺıcita Teorema (Teorema de la función impĺıcita) Supongamos que F : R n+1 R tiene derivadas parciales continuas y que el punto ( x 0, z 0 ) R n+1 (con x 0 R n y z 0 R) cumple que F ( x 0, z 0 ) = 0 y F z ( x 0, z 0 ) 0. Entonces, la ecuación F ( x, z) = 0 define, en un entorno del punto ( x 0, z 0 ), a z como función impĺıcita de x, esto es, se puede encontrar una función (única y diferenciable) f ( x) = z definida en un entorno V de x 0 que cumple F ( x, f ( x)) = 0 x V. La función f tendrá derivadas parciales: f = z x i x i = F x i F z con i = 1,..., n y x = (x 1,..., x n )

19 Teorema de la función inversa Teorema (Teorema de la función inversa) Sea f = (f 1,..., f n ) : R n R n tal que f i tiene derivadas parciales continuas para todo i = 1,..., n y sea f ( x 0 ) = ȳ 0. Si el determinante jacobiano det(jf ( x 0 )) es distinto de cero, entonces la función f admite inversa f 1 en un entorno de ȳ 0 = f ( x 0 ). La función f 1 tiene derivadas parciales continuas.