El cuestionario virtual estara disponible los días 11, 12, 13, 14, 15 y 16 de enero.

Transcripción

1 Fundamentos de Matematicas. Prueba de Evaluación a Distancia. Curso Se debe marcar una sola respuesta correcta. Cada pregunta acertada suma 1 punto, las incorrectas restan 0.. Las preguntas en blanco no puntúan. Las preguntas deben ser contestadas en el cuestionario virtual al que se accede a través del link CURSO Cuestionario: Prueba de evaluación a distancia online (disponible a partir del día 11 de enero de 017. Recuerde que dentro del examen virtual las respuestas deben ser marcadas en la pestaña correspondiente. El cuestionario virtual estara disponible los días 11, 1, 1, 14, 15 y 16 de enero. Parte tipo test 1. Sea N {0, 1,,,...} el conjunto de los números naturales. Sobre dicho conjunto consideramos la operación definida por : N N N (n, m n m (n + m De las siguientes afirmaciones señale el número de ellas que son ciertas. es asociativa es conmutativa Existe elemento neutro (a 1 (b (c. Señale el valor máximo absoluto de la función f(x sen x cos x en el intervalo I [0, π]. (a máx f(x 0 x [0,π] (b máx x [0,π] (c máx x [0,π]. Sea P el polinomio de Taylor de orden de la función f(x, y x 4 y 4 en el punto (x, y (1, 1. Señale la respuesta correcta. (a P (, 1 5 (b P (, 1 40 (c P (, 1 0

2 4. Calcule la integral I M dxdy en donde M es el cuadrilátero resultado de unir los puntos (1, 1, (, 1, (, 0 y (4,. (a I 61 6 (b I 54 (c I 7 5. Sea la aplicación lineal f : R R definida por Señale, si existe, una base de R (a {(1,0, 0, (0,, 1, (0, 0, 1} (b {(1, 0, 0, (0, 0, 1, (0, 1, 1} (c {(1, 0, 0, (0, 1, 1, (, 1, } f(x 1, x, x (x 1, x, x + x 6. Sea la aplicación f : R R definida por en donde tal que su matriz asociada sea diagonal. f(u 1 v 1 v f(u v 1 + v + v A {u 1, u } R, B {v 1, v, v } R son bases de R y R respectivamente. Consideramos nuevas bases dadas respectivamente por y A {u 1, u } R, B {v 1, v, v } R, u 1 u 1 u u u 1 + u v 1 v 1 + v + v v v 1 + v v v 1 v Calcule la matriz asociada a la aplicación f con respecto de las bases A, B.

3 (a (c (b 7. Considere el espacio de las matrices M de orden y la base { ( ( ( 0 1 A w 1, w 0 0, w 1 0, w Hallar los vectores de coordenadas de la matriz ( T 1 1 ( 1 0 con respecto de dicha base (a ( 1, 1, 1, 1 (b (1, 1, 1, 1 (c ( 1, 1, 1, 1 8. Sea la aplicacion f : R R definida por x + x 4 y si (x, y (0, 0 f(x, y x + y 0 si (x, y (0, 0 Señale el valor de la derivada parcial D 1 f(0, 0 (a D 1 f(0, 0 no existe (b D 1 f(0, 0 0 (c D 1 f(0, Señale las ecuaciones implícitas del subespacio G[S] generado por el sistema S {(1, 0, 1, 0, (1, 1, 0, 1} }, (a G[S] {(x, y, z, t : x + y z 0, t + y 0} (b G[S] {(x, y, z, t : x t z 0} (c G[S] {(x, y, z, t : x y z 0, t + y 0}

4 4 10. Sea g : R R una función diferenciable para la que se verifica g( 1, 1 1 D 1 g( 1, 1 D g( 1, 1 4 Dada las función F (x, y x + y e g(x,y calcule su matriz jacobiana F ( 1, 1 (a F ( 1, 1 1 ( 1 (b e F ( 1, 1 1 e ( 1 (c F ( 1, 1 1 e ( 8 7

5 5 Soluciones. 1. Solución. (a no es asociativa. Si tomamos n 1, m, k tenemos que (n m k (1 (1 + 9 ( n (m k 1 ( 1 ( ( es conmutativa, ya que para todo n, m N n m (n + m (m + n m n No existe elemento neutro. Si existiese un elemento neutro e N necesariamente. Solución. (b La derivada 4 e (4 + e e e / N f (x sen x + sen x 0 se anula en los puntos x 1 0, x π, x π. La derivada es positiva en el intervalo [0, π] ya que signo f (x f ( π > 0 para todo x en [0, π. Mientras que en el intervalo [π, π] es negativa, ya que signo f (x f ( π < 0 para todo x en [π, π]. Por tanto f es creciente en [0, π] y decreciente en [π, π], luego necesariamente x 1 π es un máximo global de f en [0, π]. Por tanto el valor máximo viene dado por máx f(x f(π x [0,π] sen π + cos π. Solución. (c El Polinomio de Taylor de f en (x, y (, 1 viene dado por P (x, y f(1, 1 + D 1 f(1, 1(x 1 + D f(1, 1(y + 1 ( 1 D11 f(1, 1(x 1! + D 1 f(1, 1(x 1(y 1 + D f(1, 1(y + 1 ( 1 D111 f(1, 1(x 1! + D 11 f(1, 1(x 1 (y D 1 f(1, 1(x 1(y D f(1, 1(y + 1

6 6 Como f(1, 1 0 Entonces D 1 f(1, 1 4x (x,y(1, 1 4, D f(1, 1 4y (x,y(1, 1 4 D 11 f(1, 1 1x (x,y(1, 1 1, D 1 f(1, 1 0, D f(1, 1 1y (x,y(1, 1 1 D 111 f(1, 1 4x (x,y(1, 1 4, D 11 f(1, 1 D 1 f(1, 1 0, D f(1, 1 4y (x,y(1, 1 4 P (, ( ( Solución. (c Gráficamente (véase figura se puede ver que la integral viene dada por I 1 dx x x dy + dx x 1 x dy + 4 dx x 1 x 9 dy Calculamos cada integral por separado

7 x 1 x dydx 1 1 [y] yx y x ( x dx dx 1 (x ( x dx 4 dx x 1 x dy [y] yx 1 y x ( 1 x + 1 dx dx (x 1 ( x dx dx x 1 x 9 dy 1 4 [y] yx yx 9 dx (x 1 (x 9dx (8 xdx Luego la integral viene dada por 5. Solución. (b I La matriz asociada viene dada por El polinomio característico 1 λ 0 0 p(λ 0 λ 0 0 λ (1 λ (λ tiene dos raíces, λ 1 1 con multiplicidad doble y λ con multiplicidad simple.

8 8 El espacio asociada E 1 asociado al autovalor λ 1 1 viene dado E 1 ker(a I ker x 1 0 (x 1,x, x : x x 0 {(x 1, x, x : x 0} G[{(1, 0, 0, (0, 0, 1}] El espacio asociada E asociado al autovalor λ viene dado E ker(a I ker x 1 0 (x 1,x, x : x x 0 {(x 1, x, x : x 1 0, x x 0} G[{(0, 1, 1}] Luego {(1, 0, 0, (0, 0, 1, (0, 1, 0} es una base asociada tal que su matriz asociada es diagonal. 6. Solución. (a La matriz asociada a la aplicación f con respecto de A {u 1, u } R, B {v 1, v, v } R tiene por columnas las coordenadas de las imágenes {f(u 1, f(u } de la base A con respecto de la base B P 0 1 Siendo X A R las coordenadas de un vector v con respecto de A, e Y B R la de su respectiva imagen f(v con respecto de B se verifica Y B P X A (1

9 Si denotamos por X A R, Y B R las coordenadas de v, f(v con respecto de la bases A y B respectivamente entonces sabemos que Y B M B BY B, X A M A AX A en donde M B B matriz de cambio de la base B a B y M A A respectivamente de A a A. Sustituyendo estas expresiones en (1 tenemos Y B P X A M B BY B P M A AX A Y B M 1 B B P M A AX A Por tanto M 1 B B P M A A es la matriz de f con respecto de las nuevas bases A, B. Por definición, la matriz M A A tiene por columnas las coordenadas de A con respecto de A, es decir ( M A A Del mismo modo Luego M 1 B B M B B M B B Finalmente la matriz buscada viene dada por M 1 B B P M A A ( 1 7. Solución. (b La base canónica de M viene dada por { ( ( ( E e 1, e 0 0, e 0 0, e ( }

10 10 El vector de coordenadas de T es ( 1 1 T E ( 1, 1, 1, 1 con respecto de dicha base La matriz de cambio de la base A a la base E tiene por columnas las coordenadas de los elementos de A con respecto de E M A E Su inversa nos da la matriz de cambio de E a A M E A MA E Luego las coordenadas de T con respecto de A vienen dadas por 1 1 T A M E A T E Efectivamente, se puede ver que ( ( w 1 w + w w ( ( ( 1 0

11 8. Solución. (c Aplicamos la definición directamente f((0, 0 + t(1, 0 f(0, 0 D 1 f(0, 0 lím t 0 t f(t, 0 f(0, 0 lím t 0 lím t 0 t t + t t + 0 t t + t 4 lím t 0 t lím1 + t 1 t 0 9. Solución. (a En general por ser el subespacio generado por dos vectores linealmente independientes el número de ecuaciones viene dado por dim R 4 dim S 4. Dadas las ecuaciones propuestas para ver si son las implícitas basta comprobar que son dos y se anulan los vectores que generan el sistema. Luego descartamos la opción (b. También descartamos la opción (c ya que Las ecuaciones x y z 1 ( x + y z 0 t + y 0 son linealmente independientes y se anulan en (1, 0, 1, 0, (1, 1, 0, 1. Luego son ecuaciones implícitas. Si quisieramos calcular las ecuaciones implícitas, considerando un vector genérico x (x, y, z, t G[{(1, 0, 1, 0, (1, 1, 0, 1}], necesariamente rango x y 0 1 z 1 0 t 0 1

12 1 Luego cualquier submatriz de orden tiene determinante 0, y nos proporciona una ecuación implícita. Basta encontrar dos que sean linealmente independientes. En este caso, por ejemplo x y 0 1 z 1 0 y 0 1 z 1 0 t 0 1 x + y z 0 t + y 0 que nos darían precisamente las ecuaciones de la opción (a. 10. Solución. (c Calculamos la derivadas parciales aplicando las regla de derivación ( x + y D 1 F (x, y D 1 x eg(x,y D 1 g(x, ye g(x,y (x + y e g(x,y e g(x,y D F (x, y D ( x + y e g(x,y Evaluando en el punto (x, y ( 1, 1 1 eg(x,y D g(x, ye g(x,y (x + y e g(x,y Luego D 1 F ( 1, 1 ( 1 eg( 1,1 D 1 g( 1, 1e g( 1,1 (( e g( 1,1 D F ( 1, 1 1 eg( 1,1 D g( 1, 1e g( 1,1 (( e g( 1,1 F ( 1, 1 ( 8 e 7 e e 6e e e 8e e 7 e 8 e