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3 Análisis Matemático II - Curso 2018 Nota sobre formas cuadráticas y aplicación al análisis de extremos de una función Breve resumen acerca de las formas cuadráticas Necesitamos recordar algunas definiciones y resultados sobre las formas cuadráticas que aplicaremos al estudio de los extremos relativos. 1. Forma cuadrática Una forma cuadrática en R n es una aplicación del tipo: n ω : R n R, dada por ω(x) = a ij x i x j, i,j=1 donde { aij = a ji R x = (x 1, x 2,, x n ) Vamos a utilizar las formas cuadráticas para clasificar puntos estacionarios a partir de la matriz hessiana de una función f de clase C 2. Esta regularidad garantiza la igualdad de las derivadas segundas cruzadas en un punto dado. Entonces, para un punto P 0 = (x 01, x 02, x 0n ), su matriz hessiana Hf(P 0 ) está dada por Hf(P 0 ) = x 2 1 x 1 x n x 1 x 2 x n x 1 que resulta ser una matriz simétrica. x 2 n (P 0) = f x1x 1 f x1x 2 f x1x n f x1x n f xnx n En consecuencia, dicha matriz define una forma cuadrática, que viene dada por: (P 0 ), Hf(P 0 )(h) = 1 2 n f xix j (P 0 )h i h j, i,j=1 para todo h R n 2. Autovalores de una matriz simétrica Consideremos una matriz cuadrada A de orden n. Se llama autovalor a todo número (real o complejo) λ que es solución de la ecuación det(a λi) = 0. El polinomio p(λ) = det(a λi) se llama polinomio característico de A. Se sabe que Si la matriz tiene coeficientes reales y es simétrica (como ocurre con la matriz hessiana), todos sus autovalores son reales. Sean λ 1,, λ n los n autovalores de la matriz A (contados tantas veces como su multiplicidad). Existe una base B = (u 1,, u n ) de R n tal que la forma cuadrática asociada se puede escribir como n ω(x) = λ j x 2 j, donde (x 1, x n ) son los coordenadas del vector x en la base B. j=1 3. Clasificación de las formas cuadráticas Una forma cuadrática se llama: definida positiva si ω(x) > 0 para todo x 0. definida negativa si ω(x) < 0 para todo x 0. semidefinida positiva si ω(x) 0 para todo x. semidefinida negativa si ω(x) 0 para todo x. no definida o indefinida si toma valores positivos y negativos 1

4 4. Criterios para decidir si una forma cuadrática es definida Existen varios criterios para decidir si una forma cuadrática ω es definida o no. Mencionaremos dos de ellos. a) Determinación del signo de los autovalores De acuerdo a los resultados enunciados en el punto 2, para estudiar si una forma cuadrática es definida o no, alcanzará con saber el signo de los autovalores de la matriz A que la define. Entonces ω es definida positiva si y sólo si todos los autovalores de A son positivos. ω es definida negativa si y sólo si todos los autovalores de A son negativos. ω es semidefinida positiva si y sólo si todos los autovalores de A son mayores o iguales a 0. ω es definida negativa si y sólo si todos los autovalores de A son menores o iguales a 0. ω es no definida o indefinida si y sólo si A tiene autovalores positivos y negativos. b) Criterio de Sylvester Considerando la matriz A asociada a la forma cuadrática ω, se van calculando los determinantes k de las submatrices A k de orden k que forman los elementos de las primeras k filas y las k primeras columnas, para k = 1, 2,, n. Entonces ω es definida positiva si y sólo si k > 0 para todo k = 1, 2,, n. ω es definida negativa si y sólo si ( 1) k k > 0 para todo k = 1, 2,, n. c) Regla de los signos de Descartes Como solamente estamos interesados en conocer el signo de los autovalores, y no sus magnitudes, en algunos casos puede resultar útil el siguiente resultado. Escribamos al polinomio característico p(λ) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. Se verifica que: el número de raíces positivas de p (contando sus multiplicidades) es igual al número de cambios de signo en la sucesión a n, a n 1,, a 1, a 0 de los coeficientes de p(x). el número de raíces negativas de p (contando sus multiplicidades) es igual al número de cambios de signo en la sucesión de los coeficientes de p( x) (es decir, ( 1) n a n, ( 1) n 1 a n 1,, a 1, a 0 ). Condición suficiente de extremos Sea f una función de clase C 2 que presenta en P 0 un punto estacionario (es decir, f(p 0 ) = 0). Entonces, Si el hessiano Hf(P 0 ) es definido positivo, P 0 es un mínimo local. Si el hessiano Hf(P 0 ) es definido negativo, P 0 es un máximo local. Si el hessiano Hf(P 0 ) es no definido, P 0 es un punto silla. Como el hessiano es una matriz cuadrada de coeficientes reales y simétrica, se puede utilizar cualquiera de los criterios enunciados anteriormente para analizar si la matriz hessiana es definida. Observación útil: Para el caso de R 2, también pueden utilizar la versión ya desarmada del criterio de los signos de los autovalores, cuyo enunciado es: Sea f(x, y) es una función de clase C 2 y P 0 un punto estacionario. Entonces 1 = f xx (P 0 ) > 0 2 = det(hf(p 0 )) = f xx (P 0 )f yy (P 0 ) f xy (P 0 ) 2 > 0 1 = f xx (P 0 ) < 0 P 0 es un mínimo 2 = det(hf(p 0 )) = f xx (P 0 )f yy (P 0 ) f xy (P 0 ) 2 > 0 P 0 es un máximo 2

5 Si 2 < 0, entonces P 0 es un punto silla. La demostración de este resultado es muy simple. Basta recordar que, si λ 1 y λ 2 son los autovalores de p(λ), podemos escribir: p(λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = λ 2 (λ 1 + λ 2 )λ + λ 1 λ 2 pero también p(λ) = (A λ)(c λ) B 2 = λ 2 (A + C)λ + AC B 2, donde A = f xx (P 0 ), C = f yy (P 0 ) y B = f xy (P 0 ). Sólo resta comparar los coeficientes y recordar el criterio de los signos de los autovalores para concluir lo que afirma el enunciado. Recordemos siempre verificar que la función f a estudiar sea de clase C 2 para garantizar la simetría de la matriz hessiana. Por supuesto, en los casos en que ningún criterio decida, habrá que analizar la funciión en un entorno del punto estacionario para probar si se trata o no de un extremo. Ejemplos Ejemplo 1. Hallar los extremos relativos de la funciión f(x, y, z) = x 2 z + y 2 z z3 4x 4y 10z + 1. Comencemos hallando los puntos críticos. Como f es de clase C 2 en R 3 ya que es polinomial (en realidad es C ), sus únicos puntos críticos son estacionarios. Planteemos la condiciión f(x, y, z) = 0: f x = 2xz 4 = 0 x = 2/z (por qué z 0?) f y = 2yz 4 = 0 y = 2/z f z = x 2 + y 2 + 2z 2 10 = 0 x 2 + y 2 + 2z 2 10 = 0, lo que conduce a la ecuación 8 z 2 + 2z2 10 = 0, o, equivalentemente 8 + 2z 4 10z 2 = 0. Llamando u = z 2 obtendremos u 1 = 4 y u 2 = 1 y, finalmente, z = ±2; ±1. Llevando estos datos al sistema original, obtenemos cuatro puntos críticos. Comprueben que son los siguientes: P 1 = (2, 2, 1), P 2 = ( 2, 2, 1), P 3 = (1, 1, 2) y P 4 = ( 1, 1, 2). 2z 0 2x La matriz hessiana para un punto cualquiera es: Hf(x, y, z) = 0 2z 2y. 2x 2y 4z Usaremos los distintos criterios que hemos mencionado hasta ahora para clasificar cada punto estacionario. 1. Hf(P 1 ) = Desarrollando, por ejemplo, por la primera fila, el polinomio característico 2 λ 0 4 ( ) p(λ) = 0 2 λ 4 = (2 λ) (2 λ)(4 λ) ( 4)(2 λ) = (2 λ)(λ 2 6λ 24) λ tiene a λ = 2; 3 ± 33 como raíces. Como dos de los autovalores son positivos y uno negativo, el hessiano es no definido y, por lo tanto, P 1 es un punto silla Hf(P 2 ) = Podemos observar que Hf(P 2 ) = Hf(P 1 ); entonces los autovalores serán los opuestos a los obtenidos en el ítem anterior 1. Pero entonces el hessiano tiene dos autovalores negativos y uno positivo; por lo tanto P 2 también será un punto silla. 1 Si µ es un autovalor de cierta matriz A de nxn, se tiene que 0 = det(a µi) = det( ( A + µi)) = ( 1) n det( A ( µ)i). Es decir que µ es un autovalor de la matriz A. 3

6 3. Hf(P 3 ) = Utilizaremos el criterio de Sylvester: 1 = 4 (> 0) 2 = = 16 (> 0) = = = (> 0) Como todos son positivos, el hessiano es definido positivo y, por lo tanto, P 3 es un mínimo relativo Hf(P 4 ) = Podríamos observar, como en el segundo ítem, que Hf(P 3 ) = Hf(P 4 ), razón por la cual la matriz hessiana será definida negativa. Para practicar un poco más, utilizaremos de todas formas el criterio de Sylvester: 1 = 4 2 = = = = ( 1)( 1)( 1) = 4 ( ) = ( ) Como se cumple que ( 1) i i > 0 para i = 1, 2, 3, el hessiano es definido negativo y, por lo tanto, P 4 es un máximo relativo. Ejemplo 2. Sea f(x, y, z) = xyz. Se trata de una función al menos C 2 (R 3 ) por ser polinómica. Comprueben que f(x, y, z) = (yz, xz, xy) = 0 da como solución los puntos P x = (x, 0, 0), P y = (0, y, 0) y P z = (0, 0, z), con x, y, z R, y en todos los casos la función toma el valor 0. La matriz hessiana es Hf(x, y, z) = 0 z y z 0 x. y x 0 Comencemos con los puntos P x. El hessiano toma la forma Hf(x, 0, 0) = x. 0 x 0 Claramente el criterio de Sylvester no decide, pues 1 = 0. λ 0 0 El polinomio característico p(λ) = 0 λ x 0 x λ = λ(λ2 x 2 ) tiene a λ = 0, x, x como soluciones. Si x 0, además de λ = 0, la matriz tiene un autovalor positivo y otro negativo. El hessiano es no definido y, por lo tanto, P x es un punto silla, para cada x 0. Notemos que en estos casos, conocer el signo de los autovalores permitió clasificar los puntos críticos (mientras que el criterio de Sylvester no decide). Para el caso (0, 0, 0), el hessiano es la matriz nula, ningún criterio dará información. Calculemos, por ejemplo, f(h, h, h) = h 3. Claramente tiene signos diferentes según se elija h > 0 ó h < 0, razón por la cual el origen también es un punto silla. Queda como ejercicio analizar los otros puntos estacionarios: (0, y, 0 y (0, 0, z). Ejemplo 3. Busquemos extremos de la función g(x, y, z) = x 2 + y 2. También en este caso la función es de clase al menos C 2. El gradiente g(x, y, z) = (2x, 2y, 0) = 0 en los puntos (0, 0, z 0 ), con z 0 R. 4

7 El hessiano en dichos puntos (en realidad en cualquier punto de R 3 ), es Hf(0, 0, z 0 ) = Como es una matriz diagonal, sus autovalores son los elementos de la diagonal, es decir, λ 1 = 2 (con multiplicidad 2) y λ 2 = 0. La matriz es semidefinida positiva (el criterio no decide). Sin embargo, g(0, 0, z 0 ) = 0 x 2 + y 2 = g(x, y, z) para todo (x, y, z) R 3. Luego, los puntos (0, 0, z 0 ) son todos mínimos absolutos.. 5

8 Práctica 6 - Ejercicios adicionales Recuerden que puntos críticos son aquellos puntos del dominio donde el gradiente se anula o la función no es diferenciable. Aquellos puntos donde se anula el gradiente se llaman estacionarios. Cuando no se puede aplicar ningún criterio, hay que analizar la función en un entorno del punto crítico. Cuando una función es continua y la región en la que se busca extremos es cerrada y acotada, existe máximo y mínimo absolutos. 1. Realizar el análisis de los puntos estacionarios de los ejemplos anteriores que quedaron incompletos. 2. Dadas las siguientes funciones, encontrar los puntos críticos y clasificarlos: a) f(x, y) = 12x y 2 x 3 y b) f(x, y) = y 2 sen x. c) f(x, y) = x y y. 3. Dadas las siguientes funciones, encontrar los puntos críticos y clasificarlos: a) f(x, y, z) = x3 3 x + y2 + z 2. b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + xy. 4. Sea f una función de clase C 2 (R 2 ) tal que Sea g(x, y) = 3x 2 y + e f(x,y) 2y. f(0, 1) = 0; f(0, 1) = (0, 2); Hf(0, 1) = Es (0, 1) un punto crítico de g? En caso afirmativo, clasificarlo. ( a) Probar que en el punto (1, 1, 2) la relación z 3 2xy + y = 7 define z como función implícita de (x, y) en un entorno de (1, 1). Determinar el polinomio de Taylor de segundo orden de la función implícita z = g(x, y) alrededor del punto (1, 1). b) Consideren ahora la función h(x, y) = g(x, y) + α(x 1) + β(y 1), donde g es la función obtenida en el inciso anterior y α y β son dos constantes reales. Hallar los valores adecuados de α y β para que la función g posea en el punto (1, 1) un punto crítico y clasificarlo. 6. La temperatura de una placa en un punto cualquiera (x, y) viene dada por la función T (x, y) = x 2 4xy + y 2. a) Una alarma térmica situada sobre los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 25 se dispara a temperaturas superiores a 180 o o inferiores a 20 o. Se disparará la alarma? b) Probar que, en realidad, la temperatura no es inferior a 25 o en ningún lugar de la placa. ). 6