3.8 Ejercicios propuestos

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1 3.8 Ejercicios propuestos Ejercicio 3.7 Consideremos la aplicación lineal f : R 3 R 3 definida por f(x, y, z) =(2x + y, z,0) a) Determinar Ker f y hallar una base de dicho subespacio. b) Hallar el rango de f. c) Pertenece (6, 2, 0) a Ker f? Sol : B Ker f = (1, 2, 0)}, rgf =2, (6, 2, 0) Ker f.

2 138 Aplicaciones lineales. Ejercicio 3.8 Consideremos la aplicación lineal f : P 2 [x] R 4 que a cada polinomio p P 2 [x] leasigna(p(0),p(1),p(2),p(3)). Se pide: a) Calcular las ecuaciones de f respecto de las bases canónicas. b) Obtener las coordenadas de f(2x 2 x + 1) respecto de la base canónica de R 4. c) Determinar Ker f eimgf. Sol : a) x = Ax con A = b) (1, 2, 7, 16). c) Ker f = 0}, B Img f = (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 3)}. Ejercicio 3.9 Sea f el endomorfismo de R 3 tal que Ker f viene dado por x 1 + x 2 + x 3 = 0 y unas ecuaciones de Img f son x 1 + x 3 =0 x 2 =0 respecto de una base B de R 3 a) Hallar las ecuaciones de f respecto de B. b) Determinar f 2. Sol : Las ecuaciones de f son x = Ax con A = endomorfismo nulo y f 2 es el Ejercicio 3.10 Sean f : E F una aplicación lineal cuyas ecuaciones, respecto de las bases B y B,son x x x x 2 2 = x x 3 y L un subespacio de E. Determinar f(l) en los siguientes casos: x 4

3 Ejercicios propuestos 139 a) Una base de L está formada por los vectores v y w, cuyas coordenadas respecto de B son (3, 0, 2, 1)y(4, 2, 2, 2) respectivamente. b) Unas ecuaciones implícitas de L son: x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 0 L = x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 0 Sol : a) B f(l) = (1, 5, 6)} b) B f(l) = (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Ejercicio 3.11 Sea f la aplicación lineal de R 3 en R 4 que respecto de las bases canónicas tiene por ecuaciones: x x 2 x 3 = x 1 x x x 4 Determinar f 1 (L) para los siguientes subespacios L de R 4 : a) Las ecuaciones implícitas de L son ax 1 + bx 2 + cx 3 + dx 4 =0. x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 b) Las ecuaciones de L son: 3x 2 x 3 + x 4 = 0 Sol : c) L =< (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 2) >. a) f 1 (L) (a 2b+c+5d)x 1 +(2a b c+d)x 2 +(5a b 4c 2d)x 3 =0. b) f 1 (L) 2x 1 + x 2 + x 3 =0. c) f 1 (L) =R 3. Ejercicio 3.12 Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal tal que f(e 1 )=(1, 1, 0, 1),f(e 2 )=( 1, 2, 0, 0),f(e 3 )=(0, 3, 0, 1) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases B = (1, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} y B = (1, 0, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 3)}.

4 140 Aplicaciones lineales. Sol : A = / 3 11/ 3 4/ 3 Ejercicio 3.13 Sea B = u 1,u 2,u 3,u 4 } una base de R 4 yseanf y g los endomorfismos de R 4 determinados por: f(u 1 )=( 1, 2, 0, 1) g(u 1 )=(2, 0, 0, 1) f(u 2 )=(0, 0, 1, 0) g(u 2 )=(0, 1, 1, 0) f(u 3 )=( 2, 4, 1, 2) g(u 3 )=(2, 1, 1, 1) f(u 4 )=(0, 0, 0, 1) g(u 4 )=(4, 0, 0, 2) a) Determinar las matrices asociadas a f y g, respecto de la base B. b) Idem para 3f, 2f g, g fyf g Sol : A f = , A g = , A 3f =3 A f, A 2f g =2 A f A g, A g f = A g A f y A f g = A f A g. Ejercicio 3.14 Sea f el endomorfismo de R 3 determinado por f(1, 1, 1) = (1 + a, 1, 1+a), f(0, 1, 1) = (a, 1, 1+a), f(0, 0, 1) = (0, 1,a) yseanl 1, L 2 las variedades lineales de R 3 definidas por: x 1 + x 2 = 0 L 1 x 2 x 3 =0 L 2 2x 1 x 2 = 0 a) Hallar la matriz de f respecto de la base canónica. b) Estudiar para qué valoresdea es f un automorfismo. c) Hallar una base y unas ecuaciones implícitas de la variedad lineal L 3 = f 1 (f(l 1 )+L 1 ) d) Determinar para qué valoresdea es R 3 = L 2 L 3.

5 Ejercicios propuestos 141 Sol : 1 a 0 a) A = a 1 a b) f es automorfismo a R. c) Si a 0L 3 = R 3 mientras que si a =0L 3 = L 1 x 2 x 3 = 0 siendo B L3 = (1, 0, 0), (0, 1, 1)}. d) a =0. Ejercicio 3.15 Sean f,g End(R 3 ) tales que: 1. f(x 1,x 2,x 3 )=(x 1 + x 3,x 1 x 2 + x 3,x 2 ) 2. g(1, 0, 0) = (1, 1, 1) 3. g(f(x 1,x 2,x 3 )) = (0, 0, 0) (x 1,x 2,x 3 ) R 3. Se pide: a) Demostrar que Ker g =Imgf. b) Hallar las matrices asociadas a g y f g, respecto de la base canónica. c) Hallar unas ecuaciones implícitas de Img f g respecto de la base canónica, y una base de Ker f g Sol : A g = 1 1 1, A f g = Img f g , x 1 2x 2 =0 x 2 x 3 =0, B Ker f g = (1, 1, 0), (1, 0, 1)} Ejercicio 3.16 Sean f,g : R 3 R 4 definidas por: f(x, y, z) =(x, y, z, x + y + z) y g(x, y, z) =( x, y, 2x, x y + z) a) Hallar la expresión matricial de f + g respecto de las bases canónicas. b) Idem para 3f 2g.

6 142 Aplicaciones lineales. c) Determinar Ker f ykerg. EsKerf + Ker g =Ker(f + g)? Sol : A f+g = Ker f = 0} Ker g = 0} dim Ker(f + g) =1, A 3f 2g = , = Ker f + Ker g Ker(f + g). Ejercicio 3.17 En el espacio vectorial R 4 y respecto a la base canónica se consideran las variedades lineales siguientes: L =< (1, 4, 1, 1), (2, 3, 2, 3) > R =< (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 2) > x 2 x 4 =0 M =< (1, 1, 1, 3), (3, 2, 3, 4), (3, 2, 3, 4) > K : 2x 2 +3x 4 =0 Sea f el endomorfismo dado por: f(0, 1, 0, 0) = ( 1, 3, 0, 1) f(1, 1, 1, 1) = (1, 2,a,b) f(1, 1, 0, 3) = (m, 5,n,2) Ker f = L M f(k) =R a) Hallar la matriz asociada a f respectoalabasecanónica. b) Hallar la matriz asociada a f respecto a la base: B = ( 1, 2, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 2, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} Sol :a) b) Ejercicio 3.18 Para cada λ R se define la aplicación lineal f λ : R 4 R 3, f λ (x 1,x 2,x 3,x 4 )=(λx 1 + x 2,x 1 + λx 3,x 2 + x 4 ) a) Estudiar los valores de λ que hacen que f λ sea inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

7 Ejercicios propuestos 143 b) Hallar una base de Ker f 2. c) Sea la variedad lineal L de R 4 de ecuaciones x 1 = x 3 = 0, calcular f 0 (L). d) Dada la base de R 3, B = (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}, hallar la matriz de f 1 respectoalabasecanónica de R 4 y B de R 3. λ =0 = biyectiva Sol : B Ker f2 = (2, 4, 1, 4)}, λ 0 = sólo sobreyectiva / 2 1/ 2 f 0 (L) =< (1, 0, 0), (0, 0, 1) >, A CB (f 1 )= 0 0 1/ 2 1/ / 2 1 / 2 Ejercicio 3.19 Sea f el endomorfismo de R 3 definido por: El vector (1, 0, 1) se transforma, mediante f, ensí mismo. La variedad lineal de ecuación x 1 x 2 = 0 también se transforma en sí misma mediante f. La matriz asociada a f, respecto de la base canónica, es simétrica y de traza nula. a) Hallar la matriz A asociada a f respecto de la base canónica. b) Es posible determinar una base del núcleo sin necesidad de hallar sus ecuaciones? Razona la respuesta. c) Siendo H la variedad lineal generada por los vectores (1, 1, 1) y (2, 2, 0), hallar una base de f 1996 (H). d) Determinar una base de f(l) H donde L es la variedad de ecuación x 3 = Sol : A = B f(l) H = (1, 1, 2)}, Kerf = 0}, B f 1996 (H) = (0, 0, 1), (1, 1, 0)},