EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2 APLICACIONES LINEALES

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1 EJERCICIOS DE TEMA APLICACIONES LINEALES

2 APLICACIONES LINEALES ) Estudiar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados: x y a) f: f(x, y) = x y x b) f: x f(x) = x c) f: x y f(x, y) = d) f: f(x, y) = x y e) f: x cos( ) y sen( ) f(x, y) = x sen( ) y cos( ) x f) f : n n f(x,,x n ) = x n g) f : M nxn () {AM nxn () /A = A t } f(a) = (A + At ) donde 0 h) f : M x () {AM x () /A = A t } f(a) = A.A t i) f : P ()P () f(p(x))=p(x+) j) f : P ()P () f(p(x))=p(x+) - p(x) 0 ) En se consideran S = L, y T = L x a) Expresar y como suma de un vector z xs S y otro f x b) Dada la aplicación f: definida como s xt T. x, demostrar que es lineal. Matriz de una aplicación lineal ) Sea V espacio vectorial de dimensión, B = {e, e } base de V y f y g aplicaciones lineales de V en V definidas por las f (e) e e g(e) e e ecuaciones: f (e ) e e g(e ) e Encontrar las ecuaciones matriciales que definen a las aplicaciones lineales f, g, f g, g f, f g respecto de B. 4) Encontrar la matriz, respecto de las bases usuales en los correspondientes espacios vectoriales, de las siguientes aplicaciones lineales. a) f : M x () M x () tal que f(a) = A - b) g : M x () M x () tal que g(a) = A 0 0 ª c) h: P ()P () tal que h(p(x)) = p(x+) 5) a) Sea f: 4 a a b M x () definida por la expresión f(a, b, c, d) =. Obtener la matriz, respecto de las cd ab bases canónicas (o usuales), de la aplicación lineal f. Obtener los subespacios imagen de f (imf) y núcleo de f (kerf). b) Sea f: P () P () tal que f (p(x)) = p(x+) - p(x). Obtener la matriz, respecto de las bases usuales, de la aplicación lineal f. Obtener ker(f) e im(f). 0 6) Sea f la aplicación lineal f : cuya matriz respecto de la base canónica es:. Encontrar una base y las ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios imf y kerf.

3 y = x + x 4 y = - x - x - x 7) Sea la aplicación lineal f : de ecuaciones: y = x -x y 4 = x - x a) Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de kerf e imf. 0 b) Si T = L,, calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de f (T). 0 Monomorfismos, Epimorfismos e Isomorfismos b a 8) Sea f : dada por f(a, b, c) a c (c a) a) Calcular la matriz de la aplicación f con respecto a la base canónica de b) Calcular las ecuaciones implícitas de kerf y las paramétricas de imf, especificando una base de cada subespacio. c) Razonar si f es isomorfismo. d) Calcular 9) Sea f L 4 f : la aplicación lineal definida por la expresión f (a, b, c, d) = a) Calcular la matriz de la aplicación con respecto a las bases canónicas. b) Calcular las ecuaciones implícitas de kerf. Obtener una base de kerf y otra de imf. c) Razonar si es monomorfismo,epimorfismo o isomorfismo. c d b. a b 0 0) Sea fk : la aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica es 0 k, con k. a) Para qué valores reales de k es f k isomorfismo? b) Hallar f - (S) donde S = L,. Existencia y Unicidad de aplicaciones lineales ) Averiguar si : isomorfismo, en los siguientes casos: a) f(,, 0) = (, ), f(0,, ) = (, ), f(, 0, ) = (0, ) b) f(,, 0) = (, ), f(0,, ) = (, ), f(,, ) = (, 4), f(, 0, ) = (0, ) 0 ) Definir una aplicación lineal f : tal que kerf = L 0, e imf = L 0 Es f única? ) Obtener un homomorfismo 4) Hallar una aplicación lineal f = f. Es f única? f es un homomorfismo y en caso afirmativo, analizar si es monomorfismo, epimorfismo o 4 f : tal que kerf = L f : tal que kerf = { 0 0, e imf = L 0, 0 0 Es f única? x y / x + z = 0}, f(, 0, 0) es proporcional a z 0 0 y f

4 Ejercicios diversos 5) Dadas las aplicaciones lineales f: = M x () y g: M x () 4 definidas por: x y y a a f( x, y, z ) = g ( 0, a, a a, a ) y y z a a a) Hallar las matrices asociadas a f y a g respecto de las bases usuales. b) Hallar los núcleos e imágenes de f y g. c) Hallar la matriz de la composición g f, su núcleo y su imagen. 6) Estudiar si existen homomorfismos tales que: a) f: 4 definida sobre B = { p = (,0,,), p = (,,0,0), p = (,0,0,), p 4 = (0,,0,-) } como f(p ) = (-,,0), f(p ) = (,0,), f(p ) = (0,0,), f(p 4 ) = (,0,0). b) g:v donde V = L{p, p, p }, definida como g(p ) = (-,, 0); g(p ) = (-,0,); g(p ) = (,,0). c) g': 4 tal que g (p i ) = g(p i ), i =,, y kerg' = L{(,,,0)} 7) Sea f : M x ( ) la aplicación lineal definida por f a b a) Matriz de f respecto de las bases usuales en ambos espacios. b) Base de imf y un suplementario de imf en. c d = (0, a+b, a+d). Se pide: c) Base de S = kerf. Hallar un subespacio T suplementario de S en M x ( ). Escribir y otro de T. - d) Comprobar que M = respecto de dicha base. y M = como suma de un vector de S forman una base de S y hallar las coordenadas de la matriz M = e) Ampliar la base {M, M } a una base de M x () de forma que las dos primeras coordenadas de M, M y M en dicha base sean nulas. f) Hallar f - ( L{ (0,,4) } ). Cambio de base 8) Calcular las matrices de cambio de base de B a B para las siguientes bases: a) B e, e, 0 B u, u. 0 b) B = {e = (, 0, 0), e = (0,, 0), e = (0, 0, )}; B = {u = (,, 4), u = (,, 6), u = (,, 5)} c) B = {e = (, ), e = (5, )}; B = {u = (, -), u = (, )} d) B = {e, e, e } y B = {e, e, e } tal que e = e e e e = e e = e + e 9) En, dadas las bases B={(,-,), (0,,-), (0,,-)} y B ={(,-,), (,-,), (,4,7)} calcular las ecuaciones del cambio de base de B a B. Matrices asociadas a una misma aplicación lineal 0) Sea f: la aplicación lineal que cumple: f(,, ) = (,, 0); f(,, ) = (0, 0, ); f(,, ) = (0, 0, 0). a) Obtener la matriz de f respecto de la base canónica. b) Obtener la matriz de f respecto de la base B = {(,, ), (,, ), (,, )} ) Sea f : 4 4 un endomorfismo del que se sabe que f (,, 0, 0 ) = ( 0,, 0, ), f (, 0,, 0 ) = (,,, 0 ), ker f = im f Determinar la matriz asociada a f en la base canónica de 4 ) Sea B = {e, e, e } la base canónica de y f: definida por: f(e ) + f(e ) = ae + (a + )e + e f(e ) + f(e ) = e + ae + e f(e ) = e + e a) Hallar la matriz de f respecto de B y calcular para qué valores reales del parámetro a f es biyectiva.

5 b) Para a = se considera la base B = {u = e e, u = e, u = e + e }. Hallar la matriz de f respecto de B. c) Para a = hallar f - ({(-,-,0)}). Dado el s.v. W = L{(,,0),(,0,)} razonar si W y kerf son suplenetarios y si kerf e imf son suplementarios. ) Sean U = L{(,,, 0), (0,,, ), (, 0, 0, )}, V = L{(0, 0, 0, ), (,,, 0)} y f: U V definida por: f(,,, 0) = (0, 0, 0, ), f(0,,, ) = (,,, ), f(, 0, 0, ) = (0, 0, 0, 0). a) Obtener bases de U y V de forma que al colocar los vectores de dichas bases como filas de una matriz, se obtenga una forma echelon-fila. b) Dar la matriz de f respecto de las bases obtenidas en el apartado a). 4) Sea f: la aplicación lineal que verifica f(0, 0, ) = (, 5, ) y f(s) = s s S = {(x, y, z) canónica de y f (r) siendo r la recta de ecuaciones / x + z = 0}. Hallar la matriz de f respecto de la base x 4y z 0 r x y z 0 5) Sea la aplicación f: 4 definida por la matriz: A = y sean U = L(B = {(,, ), (,, 0)}) subespacio vectorial de y V = L(B = {(, 0, 0, ), (,,, ), (, 0,, )}) subespacio vectorial de 4. Obtener la matriz de la aplicación f: U V respecto de las bases B y B. 6) Sea f: la aplicación lineal que verifica que dim imf = las ecuaciones del kerf respecto de la base B = { u = (, 0, 0), u = (,, 0), u = (,, )} son x y 0 existe un vector no nulo v = (b, 0, 0) verificando que f(v) = f (v) = u + u + u. Hallar las ecuaciones de f respecto de la base canónica. 7) Sean f : una aplicación lineal, B c = {e, e, e } la base canónica de y B = {u, u, u } la base de tal que u = e e ; u = e + e ; u = e + e + e Sabiendo que dim kerf =, e e imf, f = f y que la matriz de f respecto de B c coincide con la matriz de f respecto de B a) Hallar la matriz de f respecto de B c. b) Obtener las ecuaciones implícitas de kerf e imf. 8) Sean A = 0 ; B = 0 0 ; C = 4 ; D = 5 0, S = L{A, B, C} y g:s tal que g(a) = (0,,0), g(b) = (,0,), g(c) = (,,). a) Calcular bases de img y kerg. Calcular las ecuaciones de g respecto de las bases B = {A, B, C} y B c y respecto de las bases B = {A, B, E= 0 - } y B = {(0,,0), (,0,), (,0,0)} b) Estudiar si existe algún homomorfismo f : S tal que f(a) = (0,,0), f(b) = (,0,), f(c) = (,,), f(d) = (0,,).

6 DIAGONALIZACIÓN ) Para los siguientes endomorfismos de, hallar los subespacios propios y estudiar qué representan éstos geométricamente: a) f(x,y) = (x, y) b) g(x,y) = (x + y, 0) 4 c) h(x, y) = (x y, x y) d) A = ) Determinar los autovalores y subespacios propios de los siguientes endomorfismos de : a) f(x, y, z) = (x, z, y) b) f(x, y, z) = (x y + z, y z, z). c) f(x, y, z) = (x y + z, y z, z) d) f(x, y, z) = (x y + z, y z, z). ) Sea f : 4 4 definido por f(a,b,c,d) = (a+b+c+d, b+c+d, c+d, d). Calcular sus autovalores y sus subespacios propios. 4) Estudiar la diagonalización de los endomorfismos: a) f : definido por f(x, y, z) = (x, -z, -y). b) f : M x ( ) M x ( ) definido por f(a) = A t. c) f : definido por f(x, y, z) = (-z, 0, x). 5) Calcular la matriz diagonal D y la matriz P del cambio de base tales que D = P A P, siendo 0 a) A 0 b) A y x x x 6) Sea f el endomorfismo de de ecuaciones: y x x y x x x Averigüar si f es diagonalizable y, en caso afirmativo, obtener su forma diagonal y la matriz de cambio de base. 7) Si B c = {e, e, e } es la base canónica de, estudiar si es diagonalizable el endomorfismo de definido por las ecuaciones f(e e ) = (,, ); f(e + e ) = (,, 0); f(e e ) = (4,, ), 8) Determinar, según los valores del parámetro real a, cuándo los endomorfismos siguientes son diagonalizables y obtener la forma diagonal en los casos que sea posible. a) f(x, y, z) = ( x y ( + a) z, y + az, z ) b) f(x, y, z) = ( x + a (x y + z), (a + ) x ay + (a ) z, x y ) c) f(x, y, z, t) = ( x, x, x, x + ay ) d) f(x, y, z) = ( a x + b y, y, z ) 9) Diagonalizar el endomorfismo definido en 4 como f(a,b,c,d) = (d,c,b,a) 0) Sea f:m x ()M x () la aplicación lineal definida por f(a) = AF FA siendo F = 0. a) Calcular el polinomio característico y el espectro de f. b) La base de autovectores, si existe, respecto de la que la matriz de f es diagonal. ) Sea B c = {e, e, e } la base canónica de y f un endomorfismo de del que se sabe que u = e e es un autovector f(e + e + e ) = e + 6e + e f(e e ) = e + e la suma de los autovalores de f es. a) Calcular las ecuaciones de f respecto de la base B c. b) Hallar una base de, formada por autovectores de f respecto de la que su matriz es diagonal.

7 ) Dada la matriz A = calcular A n, n. ) Sabiendo que el endomorfismo f: es diagonalizable, que los vectores (, ) y (, ) son vectores propios y que f(5, 5) = (, ), hallar los autovalores de f y la matriz de f en la base canónica. 4) Sea f el endomorfismo de con espectro (f) = {,, } y que tiene por vectores propios correspondientes a dichos autovalores: (,, ), (0,, ), (,, ). Obtener la matriz asociada a f respecto de la base canónica de. 5) Sea f el endomorfismo de 4 dado por la matriz: y sea L = L{ (, 0,, ) }. 0 0 a) Comprobar que f( L ) L. b) Calcular L, subespacio de 4, tal que f( L ) L y L L, siendo estricto el contenido.