Hoja 2: Derivadas direccionales y diferenciabilidad.

Transcripción

1 Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso CÁLCULO Hoja 2: Derivadas direccionales y diferenciabilidad. 1. Sea f : R 2 R la función definida por x 4 (x 2 +y 2 ) 2, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). b) Calcular la derivada direccional según la dirección θ en dicho punto. c) Calcular las derivadas parciales de f en R 2. Dónde es f diferenciable? d) Calcular la derivada direccional según θ en el punto (1, 1). En qué dirección es máxima y cuál es su valor? 2. Sea f : R 2 R la función definida por x 2 y+2y 3, (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 0, (x, y) = (0, 0). b) Estudiar la existencia de derivadas parciales. c) Estudiar la diferenciabilidad. d) Calcular la derivada direcional en la dirección θ de f en el punto (0, 0). e) Calcular la derivada direcional en la dirección θ = π/6 de f en el punto (1, 0). 3. Dada la función x 3 + y 3 si (x, y) (0, 0) x 2 + y 2 a) Calcular la derivada direccional según la dirección θ en (0, 0). b) Calcular las derivadas parciales en (0, 0). 4. Dada la función f : R 2 R definida por 10 5 x 2 y se pide: a) Calcular el gradiente de f en (0, 0) y estudiar la diferenciabilidad en dicho punto. b) Calcular el gradiente en (4, 2) y el plano tangente a la gráfica en dicho punto.

2 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Cálculo. Plan Curso c) Calcular el valor de la derivada direccional en (4, 2) según una dirección cualquiera θ; cuál es el valor máximo de dicha derivada direccional en dicho punto, y en qué dirección? 5. Estudiar la continuidad y la existencia de derivadas parciales de la función en el punto (0, 0). 6. Dada la función de R 2 en R definida por x 6 (x 2 y) 2 +x 6 si (x, y) (0, 0) 2y 3 x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0) b) Estudiar la existencia de derivadas parciales de primer orden en R 2. c) Estudiar su diferenciabilidad en R 2. d) Calcular la derivada en (0, 0) según una dirección arbitraria ϑ. por e) Calcular la diferencial en (1, 1). f ) Calcular la derivada en (1, 1) en la dirección del vector ( 1 2, 1 2). x 3 +3(y 1) 3 x 2 +(y 1) 2 si (x, y) (0, 1) 0 si (x, y) = (0, 1) b) Estudiar la existencia de derivadas parciales de primer orden en R 2. c) Estudiar su diferenciabilidad en R 2. d) Calcular la derivada en (0, 1) según la dirección ϑ = π/4. 7. Dada la función x 4 + 3xy 3 2x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0), se pide:

3 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Cálculo. Plan Curso b) Calcular f f (0, 0) y (0, 0). x y c) Calcular f f (x, y) y (x, y) para (x, y) (0, 0). x y d) Calcular 2 f (0, 0), x2 2 f (0, 0), x y 2 f y x (0, 0) y 2 f y 2 (0, 0). 8. Dada la función continua de R 2 en R definida por x 3 +4y 3 si (x, y) (0, 0) 2x 2 +y 2 a) estudiar la existencia de derivadas parciales de primer orden en R 2 ; b) estudiar la diferenciabilidad en R 2 ; c) calcular la derivada direccional en el punto (0,0) en la dirección α = π 2 ; d) hallar el valor de la derivada direccional máxima en el punto (2,0). 9. Dada la función y 2 sin x y si y 0 0 si y = 0 b) Calcular las derivadas parciales de primer orden. c) Calcular la diferencial en (0, 0). d) Calcular 2 f (0, 0) y 2 f (0, 0). x y y x e) si 2 f x y 2 f y x 10. Se considera la función 11. Sea Hallar f xy(0, 0) y f yx(0, 0). en (0, 0), justificarlo. x 2 arctan y x y2 arctan x y si x 0 e y 0 0 si x = 0 ó y = 0 y 3 sin x y si y 0 0 si y = 0 Estudiar la continuidad de f x y f y en (0, 0). Se verifica f xy(0, 0) = f yx(0, 0)?

4 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Cálculo. Plan Curso Dada la función de R 2 en R definida por a) Existen f x(0, 0) y f y(0, 0)? b) Es continua en (0, 0)? c) Es diferenciable en (0, 0)? d) Hallar f(1, 1) y f π/4 (1, 1). 13. Dada la función f : R 2 en R, estudiar: z(x, y) = a) la continuidad en (0,0); b) las derivadas parciales en (0,0); c) la diferenciabilidad en (0,0); 14. Sea la función definida por z(x, y) = x 4 +xy 3 +y 4 x 4 +y 4 si (x, y) (0, 0) (x + y) 2 sin 1 si x y (x+y) 0 si x = y x 5 +y 6 x 4 +y 4 si (x, y) (0, 0) a) estudiar la existencia de derivadas parciales de primer orden en R 2 ; b) calcular el gradiente de z en (0,0) y estudiar la diferenciabilidad de z en dicho punto; c) calcular el gradiente y la derivada direccional máxima (su valor y su dirección) en el punto (-1,1); d) hacer un pequeño croquis (informal) que contenga a la curva de nivel z = z( 1, 1) y el gradiente de z en (-1,1). 15. Dada la función 2xy 4 +x 5 x 4 +y 4 si (x, y) (0, 0) a) Estudiar su continuidad en R 2 ;

5 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Cálculo. Plan Curso b) Estudiar la existencia de derivadas parciales primeras de f en R 2 ; c) estudiar su diferenciabilidad en R 2, justificando teóricamente el resultado, tanto en el origen (0,0) por una parte, como en el resto del plano por otra; d) calcular la derivada en (1,1) según cualquier dirección ϑ; en qué dirección es máxima y cuánto vale entonces? e) escribir la ecuación del plano tangente a la supreficie z = f(x, y) en el punto (1,1); f ) calcular las derivadas segundas f xx, f xy, f yx y f yy en (0,0). 16. Dada la función log(1+x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0), se pide: a) estudiar su continuidad en R 2 ; b) estudiar la existencia de derivadas parciales primeras de f en R 2 ; c) estudiar su diferenciabilidad en R 2, justificando teóricamente el resultado, tanto en el origen (0, 0) como en el resto de los puntos; d) calcular la derivada direccional de f en (0, 1) según cualquier dirección θ, en qué dirección es máxima y cuál es su valor máximo?. e) ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (0, 1). 17. Dada la función de R 2 en R definida por x 3 y 3 (x, y) (0, 0) x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) b) Estudiar la existencia de derivadas parciales de primer orden en R 2. c) Estudiar su diferenciabilidad en R 2. d) Calcular la derivada en (0,0) según una dirección arbitraria ϑ. e) Calcular ( la derivada direccional en el punto (1,1) en la dirección del vector 1 1 2, 2 ). f ) Calcular la ecuación del plano tangente en (1,1). 18. Se considera la función exy 1. Se pide: xy

6 Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Cálculo. Plan Curso a) Estudiar su continuidad prolongando por continuidad la función donde sea posible. b) Hallar las derivadas parciales de la función prolongada. 19. Dada la superficie z(x, y) = 3 3 xy 2, (x, y) R 2, a) determinar si tiene plano tangente en (x, y) = (0, 0) y en caso afirmativo hallarlo. b) En el punto (2, 2, z(2, 2)) se pide: 1) hallar la curva de nivel; 2) el gradiente de z; 3) la derivada de z en la dirección del vector ( 1, 3); 4) el plano tangente a la superficie; 5) la recta intersección de éste último y el plano z = z(2, 2); o 20. Dada la función f : R 2 R, (x + 1)e x(y+1) a) Escribir la ecuación del plano tangente a su gráfica en el punto (0,0). b) Hallar la dirección y el valor de la derivada direccional máxima en el mismo punto. 21. Dada la función x 1 (y + 1) 2 se pide: a) Ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie z = f(x, y) en el punto correspondiente a (x, y) = (0, 0), justificando previamente su existencia. b) Hallr la dirección o direcciones según las cuales la derivada direccional se anula en el punto (0,0): 22. Sean las funciones x 2 y y 2 y c(t) = (sen t, e t ). Calcular la derivada de la función h(t) = f(c(t)) para t = π/ Sean las funciones f(x, y, z) = xy + xz + yz y c(t) = (t 1, t 2 1, t). Calcular la derivada de h(t) = f(c(t)) para t = Dada la función f(x, y, z) = (xy + z, xz + y), calcular su matriz jacobiana en el punto (1, 1, 2). Es diferenciable la función?