TEORÍA DE CÁLCULO II PARA GRADOS DE INGENIERÍA Elaborada por Domingo Pestana y José Manuel Rodríguez 1. CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

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1 TEORÍA DE CÁLCULO II PARA GRADOS DE INGENIERÍA Elaborada por Domingo Pestana y José Manuel Rodríguez 1 CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES 11 CONCEPTOS BÁSICOS Definición La norma de un vector x = x 1 x 2 x n de R n es x = x x x2 n La distancia entre dos puntos x y de R n es la norma de su diferencia es decir dist x y = x y La norma en R n verifica propiedades similares al valor absoluto en R ya que de hecho la norma es igual al valor absoluto si n = 1: x + y x + y x y x y Definición La bola abierta Bx 0 r de centro x 0 R n y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor que r del punto x 0 es decir Bx 0 r = { x R n : x x 0 < r } La bola cerrada Bx 0 r de centro x 0 R n y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor o igual que r del punto x 0 es decir Bx 0 r = { x R n : x x 0 r } Definición Un conjunto U R n es abierto si para todo x U existe un r > 0 que puede depender de x tal que Bx r U Un entorno de un punto x R n es un conjunto abierto que contiene a x Un conjunto F R n es cerrado si su complemento F c = R n \ F es abierto La frontera E de un conjunto E R n es el conjunto de puntos x de R n no tienen por qué estar en E tales que en todo entorno de x hay algún punto de E y algún punto de E c Un conjunto E R n es cerrado si y sólo si E E El interior de un conjunto E R n es el subconjunto de puntos x de E para los que existe un r > 0 que puede depender de x tal que Bx r E De hecho el interior de E es el mayor subconjunto abierto de E La clausura E de un conjunto E R n es E = E E De hecho la clausura de E es el menor conjunto cerrado que contiene a E Un conjunto E R n es acotado si existe un r > 0 tal que E B0 r Un conjunto E R n es compacto si es cerrado y acotado Es fácil ver que una bola abierta es un conjunto abierto y que una bola cerrada es un conjunto compacto También es fácil ver que la unión e intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierto y que la unión e intersección de un número finito de conjuntos cerrados es cerrado Definición Una función es una regla cualquiera que hace corresponder un punto de R m y sólo uno a cada punto de un cierto conjunto A R n fx es el valor de la función f en el punto x El dominio de una función es el conjunto de puntos para los que está definida A en este caso y se denota por Dom f Si no se especifica nada se sobreentiende que el dominio de una función está formado por todos los puntos para los cuales tiene sentido la definición Habitualmente escribiremos

2 f : A R m para denotar que A es el conjunto inicial o dominio y R m el conjunto final de tal manera que a cada punto de A la función f le asocia un punto de R m La imagen de una función es el conjunto de los puntos y tales que existe un punto x con fx = y y se denota por Img f La gráfica de una función es el conjunto de puntos: {x fx : x Dom f} Sean A R n y f : A R El conjunto de nivel de valor c es el conjunto de puntos x A para los cuales fx = c es decir el conjunto {x A : fx = c} A R n Si n = 2 hablamos de curva de nivel de valor c y si n = 3 hablamos de superficie de nivel de valor c 12 LÍMITES Y CONTINUIDAD Definición Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A y f : A R m Se dice que l R m es el límite de fx cuando x tiende a x 0 y lo escribimos x x0 fx = l si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que fx l < ε si 0 < x x 0 < δ Teorema 1 Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A y f : A R m Si existe el límite cuando x tiende a x 0 de fx entonces es único Es decir si x x0 fx = l 1 y x x0 fx = l 2 entonces l 1 = l 2 Corolario 1 Sean A un subconjunto abierto de R 2 que contiene a 0 0 y f : A R Si los límites r 0 fr cos θ r sen θ dependen de θ entonces no existe el límite xy 00 fx y Si los límites r 0 fr cos θ r sen θ no dependen de θ entonces no se puede afirmar nada sobre la existencia del límite También se tiene el siguiente resultado Proposición 1 Sean A un subconjunto abierto de R 2 que contiene a x 0 y 0 y f : A R 1 Si los límites r 0 fx 0 + r cos θ y 0 + r sen θ dependen de θ entonces xy x0 y 0 fx y no existe 2 Si se tiene r 0 fx 0 + r cos θ y 0 + r sen θ = l para todo θ y además existe una función g de una única variable tal que fx 0 + r cos θ y 0 + r sen θ l gr y r 0 gr = 0 entonces existe el límite xy x0 y 0 fx y y es igual a l Proposición 2 Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A y f g : A R Si x x0 fx = 0 y g está acotada en un entorno de x 0 entonces x x0 fxgx = 0 Teorema 2 Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A c R y f g : A R m Si existen x x0 fx y x x0 gx entonces: 1 cfx = c fx 2 fx + gx = fx + gx 3 fxgx = fx gx si m = 1 fx 4 gx = fx si m = 1 y gx 0 x x0 gx 5 fx gx = fx x x0 gx si m = 1 y todas las expresiones tienen sentido Teorema 3 Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A y f : A R m Si fx = f 1 x f m x donde f i : A R i = 1 2 m son las funciones componentes de f entonces x x0 fx = l = l 1 l 2 l m si y sólo si x x0 f i x = l i para cada i = 1 2 m Definición Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A y f : A R m Se dice que f es continua en el punto x 0 si x x0 fx = fx 0

3 Teorema 4 Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A c R y f g : A R m Si f y g son continuas en x 0 entonces: 1 cfx es continua en x 0 2 fx + gx es continua en x 0 3 fxgx es continua en x 0 si m = 1 4 fx/gx es continua en x 0 si m = 1 y gx fx gx es continua en x 0 si m = 1 y fx gx está definida en un entorno de x 0 Teorema 5 Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A y f : A R m Si fx = f 1 x f m x donde f i : A R i = 1 2 m son las funciones componentes de f entonces f es continua en x 0 si y sólo si f i es continua para cada i = 1 2 m Teorema 6 Sean A un subconjunto abierto de R n x 0 A f : A R m y g : B R k donde B es un entorno de fx 0 Si fx es continua en x 0 y gx es continua en fx 0 entonces la composición g fx = gfx es continua en x 0 Teorema 7 Sean A R n y f : A R Si A es compacto y f es continua en A entonces f está acotada en A Teorema 8 Sean A R n y f : A R Si A es compacto y f es continua en A entonces existen los valores máximo y mínimo de f en A 13 DIFERENCIACIÓN Definición Sean U R n un conjunto abierto y f : U R Entonces la derivada parcial f/ x j de f con respecto a la variable x j se define como f fx 1 x 2 x j + h x n fx 1 x n fx + he j fx x 1 x n = = x j h 0 h h 0 h donde 1 j n y e j es el j-ésimo vector de la base canónica; es decir la derivada parcial de f con respecto a la variable x j es simplemente la derivada usual de f con respecto a la variable x j si se supone que el resto de las variables son constantes Si f : U R m entonces fx = f 1 x f m x y podemos hablar de la derivada parcial f i / x j de la componente i-ésima de f con respecto a la variable x j Definición Sean U R 2 un conjunto abierto x 0 y 0 U y f : U R Decimos que f es diferenciable en x 0 y 0 si f/ x y f/ y existen en x 0 y 0 y si fx y fx 0 y 0 f x x 0 y 0 x x 0 f y x 0 y 0 y y 0 = 0 xy x 0 y 0 x y x 0 y 0 En este caso se define el plano tangente a la gráfica de f en el punto x 0 y 0 como z = fx 0 y 0 + f x x 0 y 0 x x 0 + f y x 0 y 0 y y 0 Definición Sean U R n un conjunto abierto x 0 U y f : U R m tales que existen las derivadas parciales f i / x j en x 0 Definimos Dfx 0 como la matriz m n cuyo elemento en la fila i y columna j es f i / x j evaluada en x 0 Llamamos a Dfx 0 la derivada o diferencial o matriz jacobiana de f en x 0 Decimos que f es diferenciable en x 0 si fx fx 0 Dfx 0 x x 0 T = 0 x x 0 donde x x 0 T es el vector traspuesto de x x 0 es decir considerado como matriz columna y Dfx 0 x x 0 T es el producto matricial de Dfx 0 y x x 0 T Definición Sean U R n un conjunto abierto y f : U R diferenciable en U En este caso la matriz derivada de f en x 0 tiene 1 fila y n columnas es decir es el vector fx0 Dfx 0 = fx 0 x 1 x n

4 y también se denomina gradiente de f en x 0 El gradiente suele designarse por los símbolos grad f ó f es decir Dfx 0 = grad x 0 = fx 0 Teorema 1 Sean U R n un conjunto abierto x 0 U y f : U R m Si f es diferenciable en x 0 entonces f es continua en x 0 Observación Puede ocurrir que existan las derivadas parciales de una función en x 0 y que la función no sea continua en x 0 Esto demuestra que la definición que hemos dado de función diferenciable es la correcta Teorema 2 Sean U R n un conjunto abierto x 0 U y f : U R m Si existen todas las derivadas parciales f i / x j de f y son continuas en un entorno de x 0 entonces f es diferenciable en x 0 Teorema 3 Sean U R n un conjunto abierto x 0 U c R y f g : U R m Si f y g son diferenciables en x 0 entonces: 1 cfx es diferenciable en x 0 y Dcfx 0 = cdfx 0 2 fx + gx es diferenciable en x 0 y Df + gx 0 = Dfx 0 + Dgx 0 3 fxgx es diferenciable en x 0 si m = 1 y Dfgx 0 = gx 0 Dfx 0 + fx 0 Dgx 0 4 fx/gx es diferenciable en x 0 si m = 1 y gx 0 0 y f D x 0 = gx 0Dfx 0 fx 0 Dgx 0 g gx 0 2 Teorema 4 Regla de la cadena Sean U R n y V R m conjuntos abiertos con x 0 U y fx 0 V f : U R m y g : V R k Si fx es diferenciable en x 0 y gx es diferenciable en fx 0 entonces la composición g fx = gfx es diferenciable en x 0 y D g f x 0 = Dgfx 0 Dfx 0 Por ejemplo si g : R R 3 f : R 3 R podemos escribir gt = xt yt zt Si definimos h : R R por ht = fgt entonces dh dt = f dx x dt + f y dy dt + f z Como un segundo ejemplo si g : R 3 R 3 f : R 3 R podemos escribir gx y z = ux y z vx y z wx y z Si definimos h : R 3 R por hx y z = fgx y z = fux y z vx y z wx y z entonces dz dt x = f u u x + f v v x + f w w x y = f u u y + f v v y + f w w y z = f u u z + f v v z + f w w z Definición Sean U R n un conjunto abierto x 0 U v R n y f : U R m La derivada direccional de f en x 0 a lo largo del vector v se define como d dt fx fx 0 + tv fx tv = t=0 t 0 t Habitualmente se elige el vector v unitario con norma 1 En este caso se habla de la derivada direccional de f en x 0 en la dirección v Teorema 5 Sean U R n un conjunto abierto x 0 U y f : U R m Si f es diferenciable en x 0 entonces existen todas las derivadas direccionales de f en x 0 Además la derivada direccional de f en x 0 en la dirección v es igual a Dfx 0 v T = fx 0 v donde v T es el vector traspuesto de v es decir considerado como matriz columna y denota el producto escalar usual

5 Teorema 6 Sean U R n un conjunto abierto x 0 U y f : U R Si f es diferenciable en x 0 y fx 0 0 entonces fx 0 es perpendicular al conjunto de nivel de f de valor fx 0 Sean U R 3 un conjunto abierto f : U R 3 c R y S la superficie formada por los puntos x y zr 3 tales que fx y z = c es decir el conjunto de nivel de f de valor c Si fx 0 y 0 z 0 = c y fx 0 y 0 z 0 0 el plano tangente a S en x 0 y 0 z 0 es fx 0 y 0 z 0 x x 0 y y 0 z z 0 = 0 Teorema 7 Sean U R n un conjunto abierto x 0 U y f : U R Si f es diferenciable en x 0 y fx 0 0 entonces fx 0 es la dirección en la que la derivada direccional en x 0 de f es máxima y fx 0 es la dirección en la que la derivada direccional en x 0 de f es mínima f crece más rápidamente desde x 0 en la dirección fx 0 y decrece más rápidamente en la dirección fx 0 Definición Una trayectoria en R n es una aplicación c : [a b] R n Si n = 2 es una trayectoria en el plano y si n = 3 es una trayectoria en el espacio Llamamos curva a la imagen de c en R n Si ct = x 1 t x n t definimos la velocidad de c como c t = x 1 t x nt y la aceleración de c como c t = x 1 t x nt Llamamos rapidez de c a la norma del vector velocidad c t Definición Sean U R 2 un conjunto abierto y f : U R Definimos las derivadas parciales de orden 2 de f como x 2 = f x x x y = f x y y x = f y x y 2 = f y y Esto puede repetirse para las derivadas de tercer orden o de orden superior a tres De forma análoga se definen las derivadas parciales de orden mayor que uno para funciones de n variables Definición Sean U R n un conjunto abierto y f : U R Decimos que f es de clase C k en U si f y todas sus derivadas parciales de orden 1 2 k son continuas en U Sean U R n un conjunto abierto y f : U R m Si f = f 1 f m decimos que f es de clase C k en U si f i es de clase C k en U para i = 1 2 m Teorema 8 Sean U R n un conjunto abierto y f : U R Si f es de clase C 2 en U entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales es decir si 1 i j n se tiene en U x i x j = 2 f x j x i Definición Ya hemos definido el gradiente de f : U R n R como f grad f = f = f f x 1 x 2 x n Definimos la divergencia de F : U R n R n es decir F = F 1 F 2 F n como div F = F = F 1 x 1 + F 2 x F n x n Definimos el rotacional de F : U R 3 R 3 es decir F = F 1 F 2 F 3 como i j k rot F = F = det x y z = F3 y F 2 z F 1 z F 3 x F 2 x F 1 y F 1 F 2 F 3 Definimos el laplaciano de f : U R n R como f = div grad f = f = 2 f x f 1 x f 2 x 2 n Definimos el determinante jacobiano o simplemente el jacobiano de F : U R n R n como el determinante de la matriz derivada de F es decir JF = detdf