Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales

Transcripción

1 Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales 1 Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales Opcional Un en R n es una función (continua) F : D R n R n. Una (línea de corriente o también curva integral) para un campo vectorial F es una trayectoria σ(t) que cumple σ (t) = F(σ(t)). De esta manera F define el campo de velocidades de las trayectorias. En lo que sigue supondremos que F es de clase C 1. Analíticamente, el problema de hallar una línea de flujo que pase por el punto x en t =, implica resolver la ecuación diferencial σ (t) = F(σ(t)), con condición inicial σ() = x. En R 3, si denotamos F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) y σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) (coordenadas cartesianas) se obtiene el sistema con condiciones iniciales x (t) = P(x(t), y(t), z(t)) y (t) = Q(x(t), y(t), z(t)) z (t) = R(x(t), y(t), z(t)) x() = x y() = y z() = z. Geométricamente, el problema de hallar una línea de flujo que pase por x es el de hallar una curva que al ser colocada en el campo vectorial, su vector tangente (a la curva) coincida con el campo vectorial, como se muestra en la Figura 1.

2 Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales 2 x F(x ) Figura 1: Líneas de Flujo de un campo vectorial. El problema de valor inicial σ (t) = F(σ(t)), σ() = x es equivalente a la ecuación integral σ(t) = t F(σ(t)) dt + x. En el caso x variable, la línea de flujo (en condiciones adecuadas) estaría dada por una función ϕ(x, t) indicando la posición del punto en la línea de flujo que pasa por x después de transcurrido el tiempo t. Luego, de ϕ(x, t) = F(ϕ(x, t)) y ϕ(x, ) = x sería t ϕ(x, t) = y así la integral representa el flujo de F. t F(ϕ(x, t)) dt + x Definición 4.1 (Rotor o Rotacional). Consideremos un campo vectorial F de clase C 1 en R 3, F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Se define el (o ) de F como el campo vectorial de clase C dado por rot(f) = (R y Q z, P z R x, Q x P y ). Usando el símbolo del gradiente,, dado por = (,, ) y su interpretación como un operador diferencial su acción sobre un campo escalar f es f = ( ( x, y, ) f = z

3 Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales 3 ( f x, f y, f ) ), el gradiente de f, se obtiene que z rot(f) = F = = (R y Q z, P z R x, Q x P y ). P Q R Definición 4.2 (Divergencia). La del campo vectorial F se define por div(f) = F = P x + Q y + R z. Teorema 4.3. Para cualquier campo escalar f de clase C 2 se cumple que rot(grad(f )) =, es decir, f =. Prueba. La demostración es sencilla, basta calcular f = = (f yz f zy, f zx f xz, f yx f xy ) =, f x f y f z ya que las derivadas cruzadas son iguales por ser f de clase C 2. Teorema 4.4. Para cualquier campo vectorial F de clase C 2 se cumple que div(rot F) =, es decir, ( F) =. Prueba. Hacemos F = (P, Q, R) y calculamos ( F) = (R y Q z, P z R x, Q x P y ) = x (R y Q z ) + y (P z R x ) + z (Q x P y ) = R yx Q zx + P zy R xy + Q xz P yz =, ya que las derivadas cruzadas son iguales (por ser F de clase C 2 ). Teorema 4.5. Sean f y g campos escalares de clase C 2. Se cumple que div( f g) =. Prueba. Para realizar la demostración de nuevo hay que realizar las operaciones indicadas: f g = f x f y f z = (f y g z f z g y, f z g x f x g z, f x g y f y g x ). g x g y g z

4 Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales 4 Luego, div( f g) = x (f y g z f z g y ) + y (f z g x f x g z ) + z (f x g y f y g x ). Al calcular las derivadas de los productos y tomando en cuenta que las derivadas cruzadas son iguales (pues f y g son de clase C 2 ) se obtiene que div( f g) =. Algunas identidades sencillas en el análisis vectorial serían las siguientes: (f y g denotan campos escalares y F y G campos vectoriales) (a) (f + g) = (f ) + (g). (b) (k f ) = k (f ), donde k es constante. (c) (f g) = f (g) + g (f ). (d) (f /g) = g (f ) f (g) g 2 (e) div(f + G) = div(f) + div(g). (f) rot(f + G) = rot(f) + rot(g). (g) div(f F) = f div(f) + F f. (h) rot(f G) = f rot(g) + f G. (teniendo cuidado de no dividir entre cero ). Así por ejemplo, para probar (h), si G = (g 1, g 2, g 3 ), entonces f G = (f g 1, f g 2, f g 3 ). Luego rot(f G) = f g 1 f g 2 f g 3 ( = y (f g 3) z (f g 2), z (f g 1) x (f g 3), x (f g 2) ) y (f g 1) ( g3 = f y g 2 z, g 1 z g 3 x, g 2 x g ) 1 y ( f + y g 3 f z g 2, f z g 1 f x g 3, f x g 2 f ) y g 1 = f rot G + f x f y f z g 1 g 2 g 3 = f rot G + f G.

5 Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales 5 Observación 4.6. Si F representa el campo de velocidades de un fluido, la divergencia de F se puede interpretar como la tasa de expansión del fluido por unidad de volumen en la unidad de tiempo. Más adelante veremos esto de nuevo.