Del tema 2 sobre campos vectoriales realiza los siguientes ejercicios: Propuestos número 2, 3, 5

Transcripción

1 Este documento contiene las actividades no presenciales propuestas al terminar la clase del día que se indica. Se sobreentiende que también se debe realiar el estudio de lo explicado en clase aunque no se incluya esa tarea en este documento. lase 5 de maro Del tema sobre campos vectoriales realia los siguientes ejercicios: Propuestos número,, 5 (a) Se considera el campo vectorial x y F( xy,, ) i j k, y x xy calcular rot F y divf. (b) alcular las curvas equipotenciales del campo F( x, y) xyi x y j Solución: (a) div F. y x xy y x y x rot F i j k xy x x y y x y (b) y x y uál de los siguientes enunciados es verdadero si F es un campo vectorial de clase? A) rot F. B) rot F. ) rot div F. D) Ninguna de las anteriores. Respuesta: D) ya que ninguna tiene sentido, el gradiente se aplica a un campo escalar, la divergencia es un campo escalar y el rotacional se aplica sobre un campo vectorial y es un campo vectorial. Pág.

2 Entra en la página y pulsa sobre el enlace ampos Vectoriales Planos. Puedes ver la representación de líneas de flujo de un campo vectorial plano introduciendo sus componentes lase 6 de maro 5 Terminar los ejercicios de la práctica realiada hoy. lase 7 de maro 6 Realia los siguientes ejercicios del tema Ejercicio propuesto número (Página 9), y (página ) 7 lase de maro Interpretación geométrica de la integral curvilínea de un campo escalar. Desde la página Accede al enlace Interpretación geométrica: Pág.

3 8 Problema de examen Sea la curva ( x() t, y() t, () t ) ( t, t, t) = para t se pide: (a) Representar la curva con Octave/Matlab (b) Obtener el área de la cortina vertical que está apoyada sobre el plano = y cuya altura es la curva. Pág.

4 .8.6 eje...5 eje y.5.5 eje x Solución: - 9 Problema de examen La base de una valla circular de radio metros viene dada por las ecuaciones xt ( ) = cos t, yt ( ) = sent t f x, y x y. Se pide: La altura de la valla viene dada por la función a) Representar la valla con octave/matlab b) Suponiendo que un litro de pintura permite cubrir 5 metros cuadradros de valla, determinar cuántos litros de pintura se necesitan para pintar toda la valla. Dado un alambre helicoidal r() t ( cos t, sen t, t) = con t p y temperatura en cada punto igual al cuadrado de la distancia al origen obtener la temperatura promedio de dicho alambre. Solución: La temperatura promedio es T m = ò (,, ) T x y ds long ( ) T x, y, = x + y + donde ( ) Teniendo en cuenta que la longitud de la curva es () = ( cos, sen, ) r '() t = (- sen t,cos t,) r t t t t Pág.

5 La temperatura promedio es p p ò ( ) ò L = - sen t + cos t + dt = dt = p ò (,, ) T x y ds p T = = ( ) m ò + t dt = + long p ( ) p Realiar los siguientes ejercicios del tema : Resuelto número 6 (página ) Propuestos número, 5, 8 y 9 (página ) Problema de examen lase de maro Estando sometida a la fuera ( x, y) y x xy F i j una partícula recorre una ve el círculo de radio en sentido antihorario. Aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realiado por F. omo se cumplen las hipótesis del teorema de Green se puede escribir W y dx x xy dy x da D siendo D el círculo de centro (,) y radio. Pasando a coordenadas polares, el trabajo realiado es W x da r cos r dr d r cos dr d D r r 8 cos cos d d r Pág. 5

6 cos sen d 8 Del tema de campos vectoriales y escalares realiar los siguientes ejercicios: Resueltos números: 8 (página ) y 9 (página ) Propuestos números: y (página ) lase de maro Dado el campo vectorial, 6 x y x y Solución E i j, el trabajo W realiado por E para trasladar una partícula de masa unidad desde el punto (,) al (,) es 6 unidades de trabajo. f x, y x y El campo es conservativo, y una función potencial es Teniendo en cuenta el Teorema Fundamental de integrales de línea W Edr f, f, 86 Otra forma: t t, t, t, r, r' t Ert,6 W Edr E r t r' t dt 8 t dt 6 5 Problema de examen (a) Hallar la longitud del arco de la siguiente curva entre los puntos (,,) y (,,). (b) Sea F x, y, xy, x, x, calcular x, t y t, t Fdr siendo el perímetro de cualquier cuadrado con un vértice en el origen y de lado. Apartado a) Pág. 6

7 La longitud de la curva es este caso L t r ' t dt siendo r t x t, y t, t con t t t to o,. En t t, t,t t, ya que,,,, r r r t t t t t t t t t r',6,6 r ' L r ' t dt t dt 5 Apartado b) Llamando P xy,, xy Q xy,, x R xy,, x se verifica que P Q x y x P R x Q R y Luego rot F y el campo es conservativo, por lo tanto la integral es al ser cerrada la trayectoria. 6 Realiar los siguientes ejercicios del tema : Resuelto número (página 5) Propuestos números, 5, 6 y 7 (página ). 7 Problema de examen Se considera el campo de fueras,, x y xe cosyxe F i j k alcular el trabajo realiado por F para desplaar una partícula de masa unidad desde el punto,, al punto,, siguiendo el camino más Pág. 7

8 corto sobre la esfera x y. Solución omo rot F,, x y se tendrá que F un campo gradiente. i j k rot F x, y, x y xe cosy x e La función f cuyo gradiente es F debe cumplir las condiciones siguientes: xe cosy ' fx ' fy f xe ' Integrando la condición () tenemos: f xy,, xedx xe gy (, ) Derivando ahora con respecto a y e introduciendo el resultado en la igualdad () tenemos: Se tendrá entonces que f, f g cos y gy, sen yh( ) y y f xy xe y h (,, ) sen ( ) y derivarlo con respecto a e introducir el resultado en (): Por lo tanto, f xe h'( ) xe h ( ) ' f ( xy,, ) xe seny Por el teorema fundamental de las integrales de línea, el trabajo será la diferencia de valores de la función potencial en sus extremos final e inicial: W f,, f,, W / sen e sen.66 Pág. 8