CÁLCULO III. Pablo Torres. Parte 4: Integrales curvilíneas. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario

Transcripción

1 ÁLULO III Pablo Torres Facultad de iencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario Parte 4: Integrales curvilíneas

2 URVAS Una trayectoria o camino en R n es una función α : [a,b] R n. amino continuo α continua. amino diferenciable α diferenciable. amino regular α es 1. amino regular a trozos [a, b] puede descomponerse en un número finito de subintervalos en los cuales el camino es regular.

3 LONGITUD DE ARO Sea α : [a,b] R n un camino regular. La longitud de α está definida como b l(α) = α (t) dt. a Una curva se dice cerrada si α(a) = α(b) y cerrada simple si además α es inyectiva en [a, b). Parametrizaciones Sea α una parametrización de una curva. En algunas ocaciones es útil asignar un sentido de recorrido a, sea éste el que va de α(a) a α(b). Luego, es la misma curva recorrida en sentido opuesto. Sea h : [c,d] [a,b] una función inyectiva y 1, con h 0 en [c,d]. sea β = α h. Luego, β es una reparametrización de. En este caso se dice que α y β son equivalentes. Además, si h > 0 se mantiene el sentido de recorrido de y si h < 0 se invierte el sentido.

4 LONGITUD DE ARO Sea α : [a,b] R n un camino regular. La función parámetro longitud de arco asociada a una curva de parametrización α es Luego, s (t) = α (t). ds: diferencial longitud de arco. ds = s (t)dt = α (t) dt. l(α) = s(b) = b ds. a b s(t) = α (τ) dτ. a

5 INTEGRAL RESPETO A LA LONG. DE ARO Sea una curva de parametrización α : [a,b] R n regular. Sea f : A R n R un campo escalar acotado en A, con A. Si la función compuesta t f (α(t)) es continua en [a,b], se define la integral (de línea o de trayectoria) de f a lo largo de respecto a la longitud de arco como α b f ds = a b f (α(t)) α (t) dt = Si la curva es cerrada se nota f ds. Observaciones: a f (α(t)) s (t)dt. Si α es 1 a trozos o f (α(t)) es continua a trozos, se define f ds α rompiendo [a,b] en piezas sobre las cuales f (α(t)) α (t) sea continua, y sumando las integrales sobre las piezas. Si f = 1, f ds = ds = l(α). α α

6 INTEGRAL DE TRAYETORIA PROPOSIIÓN Sea α una parametrización de una curva suave y f un campo escalar continuo definido en un conjunto que contiene a. Sea β un reparametrización de. Luego Observaciones: α f ds = β f ds. Se puede notar f ds, cualquiera sea la parametrización de. f ds = f ds.

7 INTEGRAL DE TRAYETORIA PROPOSIIÓN Sean f,g : A R n R campos escalares continuos en una curva contenida en A. Sean c,d R.Entonces, Linealidad respecto al integrando: cf + dg ds = c f ds + d g ds. Aditividad respecto al camino de integración: Si = 1 2, f ds = 1 f ds + f ds. 2

8 ALGUNAS APLIAIONES Masa de un alambre: Sea una curva que representa un alambre con densidad de masa ρ(x,y,z). Luego, masa del alambre= m = ρ(x,y,z) ds. entro de masa x = m 1 xρ(x,y,z) ds y = m 1 yρ(x,y,z) ds z = m 1 zρ(x,y,z) ds Si la densidad ρ es constante el cuerpo se dice homogéneo o uniforme y el centro de masa se llama centroide.

9 ALGUNAS APLIAIONES Momento de inercia: Sea L una recta y una curva. Para cada x sea d( x) = dist( x,l). Momento de inercia respecto a la recta L: I L = d 2 ( x)ρ( x) ds. Momentos de inercia respecto a los ejes coordenados: I x = (y 2 + z 2 )ρ(x,y,z) ds I y = (x 2 + z 2 )ρ(x,y,z) ds I z = (x 2 + y 2 )ρ(x,y,z) ds

10 INTEGRALES DE LÍNEA DE UN AMPO VETORIAL Sea F un campo vectorial en R n continuo sobre la trayectoria regular α : [a,b] R n. Se define la integral de línea de F a lo largo de α, como Observaciones: α b F dα = F(α(t)).α (t)dt. a omo ocurre con los campos escalares, también se puede definir α Fdα si F(α(t)).α (t) es continua a trozos. Suponner α (t) 0 en [a,b]. si T(t) = α (t) α (t) denota al vector tangente unitario, resulta α b b F dα = F(α(t)).α (t)dt = [F(α(t)).T(t)] α (t)dt. a a Esta fórmula dice que α F dα es la integral de trayectoria de la componente tangencial F(α(t)).T(t) de F a lo largo de α respecto a la longitud de arco.

11 INTEGRALES DE LÍNEA DE UN AMPO VETORIAL TEOREMA Sea F un campo vectorial continuo en la trayectoria regular α : [a,b] R 3 y sea β : [c,d] R 3 una reparametrización. Si β preserva la orientación, entonces α F dα = Si β invierte la orientación, entonces F dα = α β β F dβ. F dβ. Obs.: De este resultado, α F dα = F dβ = F dα. F dα.

12 INTEGRALES DE LÍNEA DE UN AMPO VETORIAL PROPOSIIÓN Sean F,G : A R n R n campos vectoriales continuos en una curva A. Sean c,d R, entonces Linealidad respecto al integrando: cf + dg dα = c F dα + d G dα. Aditividad respecto al camino de integración: Si = 1 2, F dα = F dα 1 + F dα

13 INDEPENDENIA DEL AMINO. FUNIÓN POTENIAL. Un conjunto S R n es conexo (arco-conexo) si para todo par de puntos en S, el segmento que los une está contenido en S. Un conjunto abierto y conexo S es simplemente conexo si dadas dos curvas contenidas en S con iguales extremos es posible deformar con continuidad una en la otra. Sea F un campo vectorial continuo en un abierto y conexo S. Se dice que la integral de línea de F es independiente del camino en S si para todo par de puntos p,q S y 1, 2 curvas que van de p a q contenidas en S, se verifica Fdα = Fdβ. 1 2 Se dice que un campo vectorial F es conservativo si Fdα es independiente del camino en S. En tal caso se puede notar q Fdα = Fdα. p

14 SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLULO PARA INTEGRALES DE LÍNEA TEOREMA Sean S un conjunto abierto y conexo de R n y φ : S R un campo escalar con gradiente continuo en S. Entonces, para todo p,q S φ dα = φ(q) φ(p), donde es una curva regular a trozos que va de p a q contenida en S. Observación: Un campo de gradientes continuo en S es conservativo. Sea F un campo vectorial y φ un campo escalar. Si φ = F, se llama a φ función potencial de F

15 PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLULO PARA INTEGRALES DE LÍNEA TEOREMA Sea F un campo vectorial continuo en un abierto y conexo S R n. Si F es un campo conservativo entonces existe un campo escalar φ : S R diferenciable con continuidad en S tal que φ = F en S. Observación: F continuo en un conjunto abierto y conexo S F es campo de gradientes F es conservativo.

16 ONDIIONES NEESARIAS Y SUFIIENTES PARA QUE UN AMPO VETORIAL SEA UN GRADIENTE TEOREMA Sea F un campo vectorial continuo en un abierto y conexo S R n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 F es gradiente de una cierta función potencial en S. 2 F es conservativo. 3 La integral de línea de F alrededor de todo camino cerrado regular a trozos contenido en S es nula.

17 RITERIO DE LAS DERIVADAS SEGUNDAS PROPOSIIÓN (RITERIO DE LAS DERIVADAS SEGUNDAS) Sea F = (F 1,F 2,...,F n ) definido en un abierto y conexo S con F 1. si F es conservativo entonces D i F j ( x) = D j F i ( x), i,j = 1,...,n, x S. PROPOSIIÓN Sea F = (F 1,F 2,...,F n ) un campo vectorial definido en un conjunto S con F 1 y tal que D i F j ( x) = D j F i ( x), i,j = 1,...,n, x S.. Si S es simplemente conexo entonces F es conservativo Observación: Si S es simplemente conexo entonces D i F j = D j F i, i,j = 1,...,n, en S es condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo.

18 OPERADOR NABLA, GRADIENTE, ROTOR Y DIVERGENIA. Operador nabla: = ( d dx 1, d dx2,..., d dxn ). Sea F : R n R n, la divergencia de F, notada div(f), es div(f) = D 1 F 1 + D 2 F D n F n. Si n = 3 y F = (P,Q,R), i.e. F 1 = P, F 2 = Q, F 3 = R, el rotor de F, notado rot(f), es rot(f) = (R y Q z,p z R x,q x P y ).

19 TEOREMA DE GREEN Una curva cerrada simple se dice curva de Jordan. Toda curva de Jordan divide al plano en dos regiones, una acotada que se denomina interior de y se nota y otra no acotada que se denomina exterior de y se nota ext(). Sea D una región con δd = en la que su frontera está orientada de forma tal que si se recorre entonces la región queda a la izquierda. Un conjunto S R 2 es simplemente conexo si para toda curva de Jordan, se verifica que S.

20 TEOREMA DE GREEN TEOREMA Sea F = (P,Q) un campo vectorial 1 en S R 2. Sea una curva de Jordan suave a trozos contenida en S y tal que S. Sea D =. Luego, F ds = P dx + Q dy = (Q x P y ) da, donde la integral de línea se toma con recorrida en sentido antihorario. Observación: Si es una curva de Jordan suave a trozos, entonces el área de la región D acotada por = δd es A(D) = 1 x dy y dx. 2

21 EXTENSIÓN DEL T. DE GREEN A REGIONES MÚLTIPLEMENTE ONEXAS Sean 1, 2,..., n una familia de curvas de Jorda tales que i 1, i 2, i j = /0, i,j = 1,...,n, i j, i j, i,j 2. Luego, D = ( 1 1 ) n i es una región múltiplemente conexa. i=2

22 EXTENSIÓN DEL T. DE GREEN A REGIONES MÚLTIPLEMENTE ONEXAS TEOREMA Sea F un campo vectorial 1 en una región múltiplemente conexa D. Luego, n (Q x P y ) da = F dα. D i=1 Observación: Si D es tal que todas las curvas que forman su frontera se recorren en el mismo sentido y F 1 (D) entonces, D (Q x P y ) da = i i n F dα F dα. i=2 i