Tema 1: Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla. Parte 5/7 Circulación, rotacional y teorema de Stokes

Transcripción

1 Tema 1: Fundamentos Matemáticos Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla Parte 5/7 Circulación, rotacional y teorema de Stokes

2 La circulación es una integral de línea de un campo vectorial Una integral de línea es una calculada a lo largo de una curva Ejemplo: trabajo realizado por una fuerza F Δr Γ C B lim F r Fdr r 0 A, Es un escalar con signo El resultado depende del camino Ej.: B = yu x + xu y = ρu Segmento: x ( a,a), y = 0, z = 0 a C 0 u x xuy d x ux 0 a Arco: ρ = a, φ (0,π), z = 0 0 d C au a u a

3 Circulación a lo largo de una curva cerrada Si consideramos una curva cerrada obtenemos la circulación como medida de la rotación neta C F d r Γ C 0 C 0 Ej: Para Γ circular, A = r y C d d 0 B = yu x + xu y = ρu A r au a u 0 Γ: ρ = a, B dr u d u φ (0,π), z = 0 0 C a a a Γ 3

4 Definición de rotacional de un campo vectorial Si queremos localizar las rotaciones, La circulación sobre debemos tomar curvas más pequeñas una curva cerrada nos da la rotación 1 Dividimos por ΔS para lim d S 0 neta de un campo. S F r que no tienda a 0 Podemos imaginar una rueda de paletas infinitesimal como medida del rotacional Esta es la componente del rotacional F en la dirección perpendicular a la curva y orientada según la regla de la mano derecha 1 F lim d n S 0 S F r 4

5 El rotacional es un vector, aunque la circulación ió sea un escalar. El rotacional F es un vector con tres componentes independientes, cada una de las cuales es un límite diferente F x F y F z F F u F u F u x x y y z z 5

6 Ejemplo de rotacional: movimiento de rotación uniforme Para el campo B u u u y x x y La circulación es no nula: En general F no es perpendicular a F En el eje En el resto del espacio El rotacional vale B u z 6

7 Rotacional en un movimiento rectilíneo En el perfil de Poiseuille las líneas de campo son rectas Se produce rotación debido al movimiento diferencial v0 v v0 1 z a u v a u 7

8 El rotacional da las fuentes vectoriales de un campo vectorial El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial FJ F J: fuentes vectoriales de F ρ: fuentes escalares de F Un campo que carece de fuentes vectoriales (J = 0) en todo el espacio se denomina irrotacional Ej: todo campo central es irrotacional F F r ur F0 8

9 El rotacional como aplicación del operador nabla El rotacional u 1 u u3 puede A Au Au Au h calcularse como 1 q1 h q h3 q hu h u hu Puede calcularse A como un determinante 1 hhh q q q ha ha ha Las derivadas actúan sobre la fila inferior 9

10 Ejemplo: A = r Ejemplos de cálculo del rotacional u u u x y z 0 z y r ux 0uy 0uz 0 x y z y z x y z Ejemplo: B = yu x + xu y = ρu u u uz ux uy uz 1 x y r 0 B uz u z x y z x y 0 z y x 0 ur ru rsen u 1 r r sen r 0 r 0 0 u u u 1 1 B uz u z 0 0 z z z 10

11 Más álgebra del operador nabla Suma: Producto por un escalar: A B A B A A A AB AB A A A Producto escalar de dos vectores: AB A B B A A B B A Producto vectorial de dos vectores: AB A B B A AB B A B A A B A B 11

12 Teorema de Stokes La circulación sobre una curva cerrada da la rotación neta El rotacional da la rotación local en un punto del espacio La suma de las rotaciones locales da la rotación neta F d r F ds F nds F ds n Teorema de Stokes S F d r F d S S S es una superficie arbitraria que tiene a Γ por borde y orientada según la regla de la mano derecha S J = FF n S Γ F 1

13 Ejemplo de aplicación del teorema de Stokes Para el campo vectorial A = (x( y)u x + (x( + y)u y + zu z calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas: (a) Un cuadrado de lado a, con vértices ±au x ± au y. (b) Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas. (c) Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas. Halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes. Solución 13

14 Una integral de línea que no es una circulación: ió vector superficie i 116D 1.16 Demuestre que integrando alrededor d de una curva cerrada, Γ, del plano XY, se cumple que 1 d r r S donde r es el vector de posición y S el área encerrada por Γ. A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio 1 d r r S donde d S es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados. Solución 14

15 Más sobre el vector superficie. Interpretación t geométrica Curva plana en S: áreadela Curva plana el plano XY porción de plano en el espacio 1 d Suz n: segúnla regla de la mano derecha Curva alabeada S S u S u S u x x y y z z Componentes: áreas de las proyecciones sobre los planos coordenados 15

16 Sevilla, octubre de , Antonio González Fernández