Integrales de Superficie.

Transcripción

1 CAPÍTULO 10 Integrales de Superficie. Este capítulo cierra los tipos de integrales que estudiamos en el curso. Se practica el concepto de integral de superficie y se dan aplicaciones geométricas y físicas. El concepto de flujo de un campo vectorial a través de una superficie es fundamental para comprender los dos teoremas más importantes de la materia : el teorema de Gauss y el teorema de Stokes.

2 SECCIÓN 1. Integrales de superficie de campos escalares. En esta sección estudiamos las integrales de superficie de campos escalares que como caso especial con campo constante igual a la unidad obtenemos el área de la superficie. Sorprendentemente la dificultad de estos ejercicios es al comienzo de los mismos, de modo que es allí donde debemos dirigir nuestra mayor atención. CONTENIDOS 1. Área de una superficie. 2. Integrales de superficie de campo escalar. 3. Aplicaciones físicas de la integral de superficie. 227

3 Problemas. Galería Nuestra superficie cilíndrica. (1) Hallar el área del trozo de cilindro de ecuación x 2 + y 2 = 4, 0 z 2. Solución. Evidentemente se trata del siguiente cilindro. De acuerdo a lo explicado abajo de la figura, de la misma manera que c(t) = (2 cos(t),2 sen(t),0) t [0,2π] Pensamos nuestra parametrización como unión de circunferencias de radio igual a 2 y altura z variando entre 0 y 2. parametriza una circunferencia de radio 2 a altura z = 0, y lo mismo c(t) = (2 cos(t),2 sen(t),2) t [0,2π] parametriza una circunferencia de radio 2 a altura z = 2, precisamos un nuevo parámetro que haga variar la altura en una forma similar a como t hace variar el ángulo. Esto nos conduce a definir la función 228

4 φ(t, z) = (2 cos(t), 2 sen(t), z), t [0,2π] z [0,2] φ t φ z = (2 cos(t), 2 sen(t), 0). que es una parametrización de la superficie buscada. Obviamente Ahora bien, el área de una superficie de este tipo se calcula por la integral φ t φ z = (2 cos(t), 2 sen(t), 0) = 2 S 1 ds = D φ t φ z dt dz Entonces el área de nuestra superficie es A(S) = S 1 ds = D φ t φ z dt dz = donde D = {(t, z) R 2 : t [0,2π] z [0,2]}. Calculando tenemos 2π dz dt = 2π 0 4 dt = 8π. φ t = ( 2 sen(t), 2 cos(t), 0) φ z = ( 0, 0, 1) Se puede ver una solución on-line clickeando aquí. (2) Hallar el área del trozo de cilindro entonces 229

5 x 2 + y 2 = 2y, x 2 + y 2 + z 2 4. Galería Gráfica de nuestra superficie. Solución. Un error común es creer, posiblemente por el gráfico, que se trata del área de una porción de esfera. Esto es incorrecto porque la superficie es la parte del cilindro x 2 + y 2 = 2y que satisface la desigualdad x 2 + y 2 + z 2 4. Por consideraciones geométricas nos podemos restringir al semiplano z 0 y luego multiplicar por 2. Dos vistas de nuestra superficie. Vista 1. La curva marcada como C en la primera foto de la galería es evidentemente fundamental para nuestro ejercicio. Para parametrizar nuestra superficie podemos proyectar esta curva sobre cualquiera de los planos xz, yz, pero no sobre el plano xy. Concentrémonos por ejemplo en la parte delantera de la curva C. Encontremos una relación necesaria que no dependa de la variable x que se deduzca de x 2 + y 2 = 2y, x 2 + y 2 + z 2 = 4. Sustituyendo la primera en la segunda tenemos 230

6 2y = 4 z 2 y = 2 z2 2, Galería Curva proyección de C sobre el plano yz. que para z 0 se grafica como vemos en la siguiente hoja. Luego una parametrización posible de nuestra superficie es φ(y, z) = ( 2y y 2, y, z ), (y, z) D donde D = { (y, z) R 2 : 0 z 2 0 y 2 z2 2 }. La parte delantera de la curva C se proyecta sobre el plano yz en la parábola de ecuación y = 2 z2 2 que ayuda a definir el dominio D para parametrizar nuestra superificie. Calculando ahora para ya formar la integral de superficie tenemos 231

7 φ y = ( 1 y 2y y 2, 1, 0 ) φ z = ( 0, 0, 1) z2 2 1 dy dz = 2y y2 cuyo producto vectorial es y 1 dz dy = 2y y2 φ y φ z = ( 1, y 1 2y y 2, 0 ) y y 2 y dy = y = y por lo tanto = 4. φ y φ z = 1 2y y 2. Luego multiplicando por 4 obtenemos el resultado final Finalmente tenemos A(S) = 16. A(S) = S 1 ds = D φ y φ z dy dz = Se puede ver una solución on-line clickeando aquí. 232

8 (3) Calcular el momento de inercia respecto del eje y de una chapa con forma de cono y = x 2 + z 2, 1 y 4 si la densidad de masa superficial es constante. Galería Trozo de nuestro cono. Solución. La fórmula del momento de inercia respecto del eje y con densidad δ(x, y, z) es I y = S (x 2 + z 2 ). δ(x, y, z) ds es decir, en nuestro caso debemos hallar Tres vistas de la porción de cono de la cual queremos calcular su masa. Vista 1. La superficie puede ser parametrizada por I y = S (x 2 + z 2 ). k ds. φ(t, y) = (y cos(t), y, y sen(t)), t [0,2π], y [1,4] Nuestra placa tiene la forma de la galería anterior. pues esto parametriza a altura y una circunferencia de radio y. 233

9 Calculando tenemos I y = S (x 2 + z 2 ). k ds = φ t = ( y sen(t), 0, y cos(t)) φ y = (cos(t), 1, sen(t)) 4 2π 1 0 y 2. k. 2. y dt dy = por lo tanto φ t φ y = ( y cos(t), y, y sen(t)) 2.2π. k 4 1 y 3 dy = 2.2π. k luego Se puede ver una solución on-line clickeando aquí. φ t φ y = 2y 2 = 2. y. Por lo tanto, sustituyendo en la expresión del momento de inercia tenemos 234

10 SECCIÓN 2. Integrales de superficie de campos vectoriales - Flujo. En esta sección fundamental, con ya alguna práctica sobre parametrizaciones de superficies, presentamos el concepto de flujo de un campo vectorial a través de una superficie. Es imposible exagerar la importancia de esta sección : uno de los miembros de la igualdad en los teoremas de Stokes y Gauss es un flujo a través de una superficie. Por otro lado debemos prestar atención a la normal que aparece en la integral de superficie pues ésta cambia de signo si se cambia el sentido de la misma. CONTENIDOS 1. Integrales de superficie de campos vectoriales. 2. Flujo. 3. Aplicaciones físicas. 235

11 Problemas. Galería Gráfica del cubo y de una de sus caras. (1) Calcular el flujo de F(x, y, z) = (xy, x, z) a través de la superficie frontera del cuerpo H con normal n saliente si H = [0,2] [0,2] [0,2] R 3. Solución. Nos piden calcular la integral S F n ds. La superficie S borde de H es evidentemente la union de las 6 caras de un cubo de lado 2. Observamos entonces que nuestra integral es igual a la suma de 6 integrales, a saber Se nos pide el flujo a través de las seis caras de este cubo. Ilustramos esto con una de ellas: La cara que satisface la condición y = 2. S F n ds = F n ds + + F n ds S1 S6 donde cada S i es una de las distintas caras del cubo. Sea por ejemplo 236

12 S 1 = {(x, y, z) R 3 : 0 x 2, y = 2, 0 z 2}. Entonces debemos tomar Esta cara se parametriza por n = (0, 1, 0). φ(x, z) = (x, 2, z), x [0,2], z [0,2]. Ahora, Calculando tenemos 2 F n ds = S (x.2, x, z) (0, 1, 0) dxdz = φ x = (1, 0, 0) φ z = (0, 0, 1) x dx dz = 2 dz = 4. 0 luego φ x φ z = (0, 1, 0) Dejamos como un sencillo ejercicio hacer el resto de las caras del cubo para concluir sumando esos resultados que el resultado final es pero esta normal apunta hacia adentro del cubo. H F n ds =

13 (2) Hallar el flujo de F(x, y, z) = (y, x 2 y, xy) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x 2 en el primer octante con x + y + z 2, indicando en un gráfico la orientación elegida para n. Luego, una parametrización de nuestra superficie en función de las variables xz es φ(x, z) = (x, x 2, z) (x, z) D Solución. Comencemos por dibujar y parametrizar la superficie. El resto será fácil. Galería Superficie de nuestro ejercicio. Proyectemos nuestra superficie sobre el plano xz. Eliminando la variable y de las ecuaciones y = x 2, x + y + z = 2 obtenemos x + x 2 + z = 2 z = 2 x x 2. Tres vistas de nuestra superficie con la normal indicada para calcular el flujo de F a través de ella. Vista

14 siendo S F n ds = D = {(x, z) D : 0 x 1 0 z 2 x x 2 }. Calculando tenemos D (x 2, x 2 x 2, x 3 ) (2x, 1, 0) dzdx = φ x = (1, 2x, 0) φ z = (0, 0, 1) 1 2 x x (x 2, x 2 x 2, x. x 2 ) (2x, 1, 0) dz dx = luego 1 2 x x x 3 dz dx = n = (2x, 1, 0) 1 normal que está de acuerdo con la elegida en el gráfico. 0 2x 3. (2 x x 2 ) dx = 4 15 Ahora sí, Por lo tanto, el flujo del campo vectorial F a través de la superficie S con la normal n indicada es 239

15 S F n ds = Galería Porción del plano a través del cual fluye el campo F. Se puede ver una solución on-line clickeando aquí. (3) Dado el campo F(x, y, z) = (x y, az, by) determinar la relación entre a y b para que sea nulo el flujo de F a través de y + z = 3 en el primer octante con x 2. Solución. Comencemos por dibujar la superficie a través de la cual fluye el campo F. Evidentemente se trata de la parte del plano y + z = 3 que satisface 0 x 2. No hace falta dibujar la normal pues si el flujo de F hacia un lado de la supeficie es nulo entonces lo es para el otro. Calculando tenemos Evidentemente podemos proyectar esta superficie al plano xy para parametrizarla en la forma φ(x, y) = (x, y, 3 y), (x, y) [0,2] [0,3]. φ x = (1, 0, 0) φ y = (0, 1, 1). 240

16 Luego a dy dx + (b a) y dy dx = n = φ x φ y = (0, 1, 1) = 18a + (b a)9 a + b = 0. vector que podríamos dibujar sobre la superficie sin dificultad pero no es necesario pues si el flujo es nulo para un lado entonces lo es para el otro. Es decir, para que el flujo de F a través de S sea nulo debe ser Ahora bien, a + b = 0. S F n ds = Se puede ver una solución on-line clickeando aquí (x y, a(3 y), by) (0,1,1) dydx = a(3 y) + by dy dx = (4) Sea S R 3 la superficie descripta por x 2 + y 2 = 1, x 2 + z 2 2z 0, x 0, y 0. Hallar el flujo a través de S del campo vectorial F(x, y, z) = (x, y, z 2 ) con S orientada de manera que la coordenada y de su vector normal resulte positiva. 241

17 Solución. Recordando que y 0 llegamos a Nuestra superficie es la parte del cilindro y = z 1 y = z 1. x 2 + y 2 = 1 que satisface las condiciónes Luego la proyección sobre el plano yz es entonces la siguiente x 2 + z 2 2z 0, x 0, y 0. D = {(y, z) R 2 : 1 y 0, 1 + y z 1 y}. La curva intersección de x 2 + y 2 = 1 con x 2 + z 2 2z = 0 es evidentemente de importancia. Deducimos de estas dos condiciones que necesariamente Ahora bien, nuestra superficie se puede parametrizar entonces en la forma φ(y, z) = ( 1 y 2, y, z), (y, z) D. z 2 2z y 2 = 1 z 2 2z + 1 = y 2. Luego Calculando z 1 = y. 242

18 Galería Superficie de nuestro ejercicio. n = ( 1, y 1 y 2, 0 ). Tenemos entonces que S F n ds = D ( 1 y 2, y, z 2 ) (1, y, 0) dzdy = 1 y2 La parte del cilindro verde acotada por la curva azul es nuestra superficie. A continuación, la curva azul que acota la superficie y su normal φ y = ( y 1 y 2, 1, 0 ) 0 1 y 1 y+1 1 y 2 y 2 dz dy = 1 y2 φ z = ( 0, 0, 1) 0 1 y 1 y+1 1 dz dy = 1 y2 Por lo cual 243

19 0 1 2y dy = 2. 1 y2 Galería Otras vistas de nuestra superficie. Para una mejor comprensión de este difícil ejercicio agregamos otra galería con más gráficas de la superficie y de su vector normal. 4 vistas de nuestra superficie y su normal. Vista