Sea S = F r(w ) una supercie cerrada que limita una región en el espacio W R 3

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Alberto Toro Iglesias
hace 6 años
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4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) ea = F r ) una supercie cerrada que limita una región en el espacio R 3 El teorema de la divergencia tambien conocido como teorema de

sólida. Teorema de la divergencia Teorema.

1 4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) ea = F r ) una supercie cerrada que limita una región en el espacio R 3 El teorema de la divergencia tambien conocido como teorema de Gauss) es una generalización del teorema de Green, que relaciona una integral de supercie sobre una supercie = F r ) cerrada con una integral de volumen sobre una región sólida. Teorema de la divergencia Teorema. ea una región sólida limitada o acotada por una supercie cerrada = F r ), orientada por un vector unitario normal dirigido hacia el exterior de. si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q entonces F N div F dv Cálculo iferencial e Integral IV

2 4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) emostración. i hacemos F x, y, z) = P î + Qĵ + Rˆk entonces F N P î N + Qĵ N + Rˆk N P î N + Por otro lado div F dv = necesitamos probar Qĵ N + Rˆk N da x + Q y + R ) dv = x dv + Q y dv + R dv P î N Qĵ N Rˆk N x Q y R dv ) dv 2) dv 3) emostración ) upongamos que nuestra región es tal que = 2, y 2 al ser regiones tipo III las podemos ver como la gráca de una función fy, z). Con la supercie que se puede parametrizar f y, z), y, z), 2 la otra supercie que se puede parametrizar f 2 y, z), y, z) también suponemos a como la proyección tanto de como de 2. e tiene entonces que P î N P î N s da + P î N s2 da en el caso s se tiene para la parametrización f y, z), y, z) N s =, f ) y, f Cálculo iferencial e Integral IV 2

3 4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) en P î N s y en 2 P î N s2 P f y, z), y, z), 0, 0), f ) y, f P f y, z), y, z), 0, 0), f ) 2 y, f 2 f y,z) P f y, z), y, z) da P f 2 y, z), y, z) da en consecuencia P î N P î N s da+ P î N s2 P f y, z)) da+ P f 2 y, z), y, z) da ) f2y,z) = P f 2 y, z), y, z) P f y, z), y, z)) x dx x dv emostración 2) upongamos que nuestra región es tal que = 2, y 2 las podemos ver como la gráca de una función fx, y). Con la supercie que se puede parametrizar x, f y, z), z), 2 la otra supercie que se puede parametrizar x, f 2 y, z), z) también suponemos a como la proyección tanto de como de 2. e tiene entonces que Qĵ N Qĵ N s da + Qĵ N s2 da + Qĵ N s2 da en el caso s se tiene para la parametrización x, f y, z), z) N s = f ) x,, f, en Qĵ N s Qx, f y, z), z)0,, 0) f ) x,, f Qx, f y, z)) da Cálculo iferencial e Integral IV 3

4 4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) y en 2 Qĵ N s2 en consecuencia Qĵ N = ) f2 Qx, f 2 y, z), z)0,, 0) x,, f 2 Qĵ N s da+ Qĵ N s2 Qx, f y, z), z) da+ ) f2y,z) Q y dy Qx, f y, z), z) Qx, f y, z), z)) f y,z) Qx, f 2 y, z)) da Qx, f y, z), z) da Q y dv emostración 3) upongamos que nuestra región es tal que = 2, y 2 las podemos ver como la gráca de una función fx, y). Con la supercie que se puede parametrizar x, y, f x, y)), 2 la otra supercie que se puede parametrizar x, y, f 2 x, y)) también suponemos a como la proyección tanto de como de 2. e tiene entonces que Rˆk N Rˆk N s da + Rˆk N s2 da + Rˆk N s3 da en el caso s se tiene para la parametrización x, y, f x, y)) N s = f ) x, f y, para Rˆk N s y en 2 Rˆk N s2 R0, 0, ) f ) x, f y, R0, 0, ) f ) x, f y, Rx, y, f x, y)) da Rx, y, f 2 x, y)) da Cálculo iferencial e Integral IV 4

+ y 2 R 2 con 0 z 3 olución Para calcular el ujo, consideramos Q = s s2 s3 y parametrizamosa cada una de ellas Para s se tiene la parametrización f : R 2 R 3 dada por f x, y) = x, y, 3) =

5 4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) en consecuencia Rˆk N = Por lo tanto Rˆk N s da+ Rˆk N s2 Rx, y, f x, y)) da+ Rx, y, f 2 x, y)) da f2x,y) Rx, y, f 2 x, y)) Rx, y, f x, y))) F N f x,y) div F dv ) R dz R dv Ejemplo Verique el teorema de la divergencia, calculando el ujo del campo vectorial F x, y, z) = xz, y 2, xz) a través de la supercie cerrada que limita el cilindro x 2 + y 2 R 2 con 0 z 3 olución Para calcular el ujo, consideramos Q = s s2 s3 y parametrizamosa cada una de ellas Para s se tiene la parametrización f : R 2 R 3 dada por f x, y) = x, y, 3) = {x, y) R 2 x 2 + y 2 R 2 } N = f x f =, 0, 0) 0,, 0) = y el campo evaluado en la parametrizacion F f x, y)) = F x, y, 3) = 3x, y 2, 3x) î ĵ ˆk 0 0 = 0, 0, ) 0 0 Cálculo iferencial e Integral IV 5

6 4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) y el ujo nos queda F N ds = s usaremos coordenadas cilindricas F f x, y)) N x, y) dxdy = x = ρ cosθ), y = ρ senθ), z = z x, y, z) ρ, θ, z) = det cosθ) senθ) 0 ρ senθ) ρ cosθ) = ρ Para s 2 se tiene la parametrización 3x dxdy = el campo evaluado en la parametrizacion y el ujo nos queda F N 2 ds 2 = s 2 Para s 3 se tiene la parametrización 2π R 0 0 3x, y 2, 3x) 0, 0, ) dxdy = 3ρ 2 cosθ)dρdθ = 0 f : R 2 R 3 dada por f 2 x, y) = x, y, 0) = {x, y) R 2 x 2 + y 2 R 2 } N 2 = f 2 x f 2 = 0, 0, ) y F f 2 x, y)) = F x, y, 0) = 0, y 2, 0) F f 2 x, y)) N 2 x, y) dxdy = 0, y 2, 0) 0, 0, ) dxdy = 0 f 3 : R 2 R 3 dada por f 3 x, y) = R cosu), R senu), v) = {u, v) R 2 u [0, 2π] v [0, 3]} N 3 = f 3 u f 3 = R senu), R cosu), 0) 0, 0, ) = v el campo evaluado en la parametrizacion 3x dxdy î ĵ ˆk R senu) R cosu) 0 = R cosu), R senu), 0) 0 0 F f 3 u, v)) = F R cosu), R senu), v) = vr cosu), R 2 sen 2 u), vr cosu)) Cálculo iferencial e Integral IV 6

7 4.3 Teorema de la ivergencia Gauss) y el ujo nos queda F N 3 ds 3 = s 3 = 0 0 Por otro lado de esta manera F f 3 u, v)) N 3 dudv = vr cosu), R 2 sen 2 u), vr cosu)) R cosu), R senu), 0) dudv 3 2π R 2 v cos 2 u) R 3 sen 3 u)dudv = 9 2 πr2 div F = z 2y + x div F dv = z 2y + x)dv Q Q usando de nuevo coordenadas cilindricas x = ρ cosθ), y = ρ senθ), z = z z 2y + x)dv = R 2π 3 Q z 2ρ senθ) + ρ cosθ))dzdθdρ = 9 2 πr2 Cálculo iferencial e Integral IV 7

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