b) Flujo laminar de la sangre en una arteria; las capas cilindricas de sangre fluyen más rápido cerca del centro de la arteria

Transcripción

1 YDAD 4 Funciones de varias variables 4.10 Campos vectoriales I Introducción El movimiento del viento o el flujo de fluidos pueden describirse mediante un campo de velocidades en el que es posible asignar un vector en cada punto representando la velocidad de una partícula en el punto. Vea la FIGURA a) y b). Advierta que, en el campo de velocidades sobrepuesto a una imagen de satélite de un huracán en la foto al margen, los vectores muestran claramente la rotación característica en el sentido contrario al de las manecillas del reloj de los vientos dentro de un área de baja presión. Los vectores más largos cerca del centro del campo indican vientos de mayor velocidad que los de la periferia del campo. El concepto de un campo de fuerza desempeña un papel importante en mecánica, electricidad y magnetismo. Vea la figura c) y d). En esta sección estudiaremos una nueva función vectorial que describe a un campo de vectores, o campo vectorial, bidimensional o tridimensional y la conexión entre los campos vectoriales y las integrales de línea. Huracán ^ \\/ i 4 v a) Flujo de aire alrededor de un ala de avión: \a > v b) Flujo laminar de la sangre en una arteria; las capas cilindricas de sangre fluyen más rápido cerca del centro de la arteria c) Campo de fuerza inversa al cuadrado; la magnitud de la fuerza de atracción es más grande cerca de la partícula d) Líneas de fuerza alrededor de dos cargas iguales positivas FIGURA Ejemplos de campos vectoriales I Campos vectoriales Un campo vectorial en el espacio bidimensional es una función de valores vectoriales FU, y) = P(x,y)i + Q(x,y)j que asocia un único vector bidimensional F(x, y) con cada punto (x, y) en una región R en el plano xy sobre el cual están definidas las funciones componentes escalares P y Q. De manera similar, un campo vectorial en el espacio tridimensional es una función (x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k que asocia un único vector tridimensional F(x, y, z) con cada punto (x, y, z) en una región D del espacio tridimensional con un sistema de coordenadas xyz. f?t37ihtsfl Campo vectorial en el espacio bidimensional Grafique el campo vectorial bidimensional F(JC, y) = yi + xj. Solución Una manera de proceder consiste simplemente en elegir puntos en el plano xy y después granear el vector F en cada punto. Por ejemplo, en (1, 1) dibujaríamos el vector F(l, 1) = i + j. Para el campo vectorial dado es posible dibujar de manera sistemática vectores de la misma longitud. Observe que F = V x 2 + y 2, y por ello los vectores de la misma longitud k deben yacer a lo largo de la curva definida por + y 2 = k\ esto es, en cualquier punto sobre el círculo x 2 + y 2 = k 2, un vector tendría la misma longitud k. Por simplicidad vamos a elegir círculos que tienen algunos puntos en ellos con coordenadas enteras. Por ejemplo, para k = 1, k = 2 tenemos: En x 2 + y 2 = 1: En los puntos (1, 0), (0, 1), (-1,0), (0, 1), los vectores correspondientes j, i, -j, i tienen la misma longitud 1. En x 2 +y 2 = 2: En los puntos (1, 1), ( - 1, 1), ( - 1, -1), (1, -1), los vectores correspondientes -i + j, -i - j, i - j, i + j tienen la misma longitud V2.

2 4.10 Campos vectoriales 185 Sobre x 2 + y 2 = 4: En los puntos (2, 0), (0, 2), (- tes 2j, -2i, -2j, 2i tienen la misma longitud 2. 2, 0), (0, -2), los vectores correspondien- F(0, 2) Los vectores en estos puntos se ilustran en la FIGURA En general, es casi imposible dibujar campos vectoriales a mano y por ello debemos confiar en tecnologías como las de un SAC. En la FIGURA hemos mostrado una versión generada por computadora del campo vectorial del ejemplo 1. Muchas veces cuando los vectores se dibujan con su longitud correcta, el campo vectorial luce amontonado con vectores que se traslapan. Vea la figura a). Un SAC escalará los vectores de manera tal que los que se muestran tienen longitudes proporcionales a su longitud verdadera. Vea la figura b). En la figura c) se presenta la versión normalizada del mismo campo vectorial; en otras palabras, todos los vectores tienen la misma longitud unitaria. Advierta que la pequeña inclinación en las representaciones del campo vectorial de la figura se deben al hecho de que el SAC calcula y gráfica el vector en la dirección apropiada con el punto inicial (su cola) del vector ubicada en un punto especificado. F(-2, 0) FIGURA Campo vectorial bidimensional del ejemplo á) Campo vectorial sin escalamiento FIGURA Campo vectorial del ejemplo 1 /<<<< ; '.>**>'' >, > v 1» 1 * \ ' " *» * T -,» > t t t t 1 \ \ * 1 * X l», ( H l ) l ' s 1, V X \ X *,, * « * t ; i, v V V < > /*':/ 1 \ \ >> X > * VA.} \> * ; v y x / / -! \ \ v x >. - ±.P f-f'. y v v*"»* jr,** A ; / S - b) Campo vectorial con escalamiento V S / S ' ' - / //,*< S:-"^ /////*' / / / / I l i lw~ 11 I I i \ \ \ \ \N \ \ \. \ \ \ \ V \ \ N ^ -.. < \ s \ S -, A \ \ \ \ ", A \ \ \ \. w \ \ \ \ - v\\\\\\: v.\ \ M \ - t t t t t t t: 111 t t ^//1111 ^//// / /.. >AA// /- ^A.AA///: A S S / / " \ W.N""-- _ j*áa A /*/'. \ \ \ \ x c) Campo vectorial normalizado En la FIGURA se ilustran dos campos vectoriales en el espacio tridimensional. FIGURA a)f(x,y, z) = yj b) (x,y,z) = xi + yi + zk Campos vectoriales en el espacio tridimensional I Campos vectoriales gradiente Asociado con una función /de dos o tres variables hay un campo vectorial. Para una función de dos variables/(x, y), el gradiente V/(x,y) =/ r (x,y)i +/ v (x,y)j 0) define un campo vectorial bidimensional llamado campo gradiente de /. Para una función de tres variables/(x, y, z), el campo gradiente tridimensional de/se define como V/(x, y, z) = Ux, y, z)\ + Ux, y, z)j + f z (x, y, z)k. (2)

3 186 _\IAD4 Funciones de varias variables EJEMPLO 2 Campo gradiente Determine el campo gradiente de /(x, y) = x y. Solución Por definición, el campo gradiente de fes Vf(x,y) = ±i dx + - l dy } 2xi - 2yj. l -1 - V -2-1 FIGURA O 1 2 Curvas de nivel de / y campo % radíente de/en el ejemplo 4 Recuerde de la sección 4.1 que las curvas definidas por f(x, y) = c, para c adecuada, se denominan curvas de nivel de/. En el ejemplo 5, las curvas de nivel de/son la familia de hipérbolas x 2 y 2 = c, donde c es una constante. Con la ayuda de un SAC, hemos superpuesto en la FIGURA un muestreo de las curvas de nivel x 2 y 2 = c y vectores en el campo gradiente V/(x, y) = 2xi - 2yj. Para un mayor énfasis visual hemos elegido granear todos los vectores en el campo de manera que sus longitudes sean las mismas. Cada vector en el campo gradiente V/(x, y) = 2xi 2yj es perpendicular a alguna curva de nivel. En otras palabras, si la cola o punto inicial de un vector coincide con un punto (x, y) sobre una curva de nivel, entonces el vec- ; tor es perpendicular a la curva de nivel en (x, y). I Campos vectoriales conservativos Un campo vectorial F se dice que es conservativo si F puede escribirse como un gradiente de una función escalar <fi. En otras palabras, F es conservativo si existe una función < ) tal que F = V</>. La función 4> recibe el nombre de función potencial de F. 1 ~~ ^... ' s / //: 0.8 _ ^» y y s / / /: J4 -» / x / / /: 0.6 * * ^ s / / / / / / : ~ J> * r / / / / / : r 0.4,, / / t t t t\ r * 4 / t t f f t t : 0.2, t i t t t l : i f t f : 0 T, i. <. 4. í. t t t t t t : FIGURA Campo vectorial conservativo del ejemplo 5 EJEMPLO 3 Campo vectorial conservativo Demuestre que el campo vectorial bidimensional F(x, y) = yi + xj es conservativo. Solución Considere la función <f>(x, y) = xy. El gradiente de la función escalar </> es d<f>, dx d< > + V = 3* + f Como V</> = F(x, y) concluimos que F(x, y) = yi + xj es un campo vectorial conservativo y que 4> es una función potencial de F. El campo vectorial se presenta en la FIGURA Desde luego, no todo campo vectorial es un campo conservativo aunque muchos campos vectoriales encontrados en física son conservativos. (Vea el problema 43 en la sección "Desarrolle su competencia 4.10".) Para los propósitos presentes, la importancia de los campos vectoriales conservativos será evidente en la siguiente sección cuando continuemos con nuestro estudio de integrales de línea. I Prueba para un campo conservativo Hay una forma sencilla de determinar si F es conservativo. El siguiente teorema es una prueba para un campo vectorial conservativo que recurre a las derivadas parciales de las funciones componentes de F = P\ + Qj. Teorema Prueba para un campo conservativo Suponga que F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j es un campo vectorial conservativo en una región abierta R y que P y Q son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en R. Entonces ^=*2 ( 3 ) dy dx para todo (x, y) en R. Inversamente, si se cumple la igualdad (3) para todo (x, y) en una región R simplemente conexa, entonces F = Pi + Qj es conservativo en R. DEMOSTRACIÓN PARCIAL Probamos la primera mitad del teorema. Suponemos que las funciones componentes del campo vectorial conservativo F = Pi + Qj son continuas y tienen pri-

4 4.10 Campos vectoriales 187 meras derivadas parciales continuas en una región abierta R. Puesto que F es conservativo, existe una función potencial </> tal que Así, P = d(f>/dx y Q = dcf>/dy. En este caso d< > d<b F = Pi + Qj = V< = - ^ i + -~i. y * dx dy J dp _ d (d<t>\ = d 2 4> dq = d ídc )\ = d 2 c > dy dy\dxj dydx dx dx\dy J dxdy' Del teorema 4.3.1, las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales y por ello dp/dy = dq/dx como fue demostrado. EJEMPLO 4 Empleo del teorema El campo vectorial conservativo F(x, y) = yi + xj en el ejemplo 2 es continuo y tiene funciones componentes cuyas primeras derivadas parciales son continuas en toda la región abierta R consistente en todo el plano xy. Con las identificaciones P = y y Q = x se deduce de (3) del teorema , dp = = dq m dy dx' EJEMPLO 5 Empleo del teorema Determine si el campo vectorial F(x, y) = (x 2 2y 3 )i + (x + 5y)j es conservativo. Solución Con P = x 2-2y 3 y Q = x + 5y, encontramos dp. 2 dq Como dp/dy # dq/dx para todos los puntos en el plano, se sigue del teorema que F no es conservativo. EJEMPLO 6 Empleo del teorema Determine si el campo vectorial F(x, y) = ye ^ i xe x > j es conservativo. Solución Con P = -ye y Q = -xe encontramos dp dy = xve e ' = dq dx' Las componentes de F son continuas y tienen derivadas parciales continuas. De tal modo, (3) se cumple en todo el plano xy, que es una región simplemente conexa. Del inverso del teorema concluimos que F es conservativo. DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-14. = Fundamentos representati En los problemas 1-6, grafique algunos vectores vos en el campo vectorial dado. 1. F(x, y) = xi + yj 2. F(x, y) = - x i + yj 3. F(x, y) = yi + xj 4. F(x, y) = xi + 2yj 5. F(x, y) = yj 6. F(x, y) = xj En los problemas 7-10, asocie la campos vectoriales en á)-d). figura dada con uno de los a) F(x, y) = - 3 i + 2j b) F(x, y) = 3i + 2j c) F(x, y) = 3i - 2j d) F(x, y) = - 3 i - 2j -i -2 y y y y y y y y y y y 'y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y FIGURA Campo vectorial del problema 7

5 88.NIDAD4 Funciones de varias variables 2 w v vw^w; wv W W V N wvvvv wv w w w ; 12. i vw W W W ' w v w w w! w v W'WW 0 vw w w w W W W. wv wv WVW*» WVVw; v w V WN^W VWWV 1 v w w w ' w WW.VO w v \ \ \ \ \ ^ w w w vw w w w 2 v w w v ww w; FIGURA Campo vectorial del problema! 2 V jssvjs y y y y y y y y y FIGURA Campo vectorial del problema 12 z FIGURA Campo vectorial del problema 9 FIGURA Campo vectorial del problema 13 N kv N». N «. v».-'».w >»."v-vn<. >».W V v». N». N». v». > v v». v». N». > x N». N «. v «. v.. N». w w w v w w w w \ W N. V S N N. N. S S \. V ^ \. 14. WW - -». v». > i«. N».W W>*. w \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ FIGURA Campo vectorial del problema 10 En los problemas 11-14, asocie la campos vectoriales en a)-d). 11. a) V(x,y, z) = b) F(x,y,z) = 0 V(x,y,z) = d) F(x, y,. :) = JCÍ + j + k figura dada con uno de los FIGURA Campo vectorial del problema 14 En los problemas 15-20, encuentre el campo gradiente de la función/ dada. 15. f(x, y) = g(3x - 6y) f(x, y) = x - y + Ix eos 5xy 17. f(x, y,z) = x tan~'yz 18. f(x, y,z) = x- x 2 yz A 2 - ^» 1 ~ \ i \ Z FIGURA Campo vectorial del problema 19. f(x, y, z) = y + z - xe~ y 20. f(x,y, z) - ln(x / + 3z 6 ) En los problemas 21-24, asocie el campo vectorial conservativo dado F con una de las funciones potencial en a)-d). a) 4>(x,y) = \x 2 + y 3-5 b) <Kx, y) = x + b 2 2 c) 4>(x,y) = \x 2 + y 2-4 d) 4>{x, y) = 2x + b 2 + l 21. F(x, y) = 2xi + yj 22. F(*,y) = x\ F(x, y) = 21 + yj 24. F(x,y) = xi + y 2i

6 4.11 Rotacional y divergencia 189 En los problemas 25-28, el campo vectorial dado es conservativo. Mediante ensayo y error, determine una función potencial <fi para F. 25. F(x, y) = cosxi + (1 - seny)j 26. F(x,y) = e" T i - xe~ y j 27. F(x,y,z) = i + 2yj - 12z 2 k 28. F(x, y, z) = y V i + 2xyz 3 j + 3xy k En los problemas 29-36, determine si el campo vectorial dado es un campo conservativo. Si es así, encuentre la función potencial 4> para F. 29. F(x,y) = (4x 3 y 3 + 3)i + (3x 4 y 2 + l)j 30. F(x,y) = 2xyH + 3y 2 (x 2 + l)j 31. F(x, y) = y 2 eos xy 2 i - 2xy senxy 2 j 32. F(x, y) = (x 2 + y 2 + \y\xi + yj) 33. F(x,y) = (x 3 + y)i + (x + y 3 )j 34. F(x, y) = 2e ly i + xe 2y j 35. F(x, y, z) = 2xi + (3y 2 - z)j ~ >k 36. F(.v. y. z) = 2xy\ + (x 2 - ze~ y )j + (e~ y - l)k. = Problemas con caiculadora/sac En los problemas utilice un SAC para superponer las gráficas del campo gradiente de / y las curvas de nivel de / sobre el mismo conjunto de ejes coordenados. 37. f(x. y) = x + 3y 38. f(x, y) = x - y f(x. y) = sen x sen y 40. f(x, y) = sen x + sen y 41. f{x, y) = eeos y 42. f(x, y) = cos(x + y) EE Piense en ello 43. Todo campo de fuerzas im erso al cuadrado F = cr/ r 3, donde c es una constante y r = vi - yj + ^k, es conservativo. Demuestre lo anterior deierminando la función potencial 4>(x, y, z) para F. 44. Dos funciones diferentes fy g pueden tener el mismo campo gradiente?