Teorema de Stokes Introducción

Transcripción

1 EIÓN Introducción En la presente sesión se revisa el último teorema clave del cálculo vectorial, el teorema de tokes. Este teorema establece una relación entre una integral de línea sobre una curva del espacio y una integral de superficie. i bien este teorema lleva el nombre del físico matemático tokes, en realidad éste fue descubierto por el, también físico y matemático irlandés William Thomson, más conocido por Lord Kelvin. George Gabriel tokes William Thomson Matemático y Físico irlandés, tokes estableció la ciencia de la hidrodinámica con su ley de viscosidad que describe la velocidad de una pequeña esfera a través de fluido viscoso. Matemático y Físico irlandés, Thomson hizo importantes contribuciones en muchas áreas de la física, incluyendo la electricidad, magnetismo y termodinámica. 57

2 álculo vectorial. esión 1 1. egunda forma vectorial del Teorema de Green Recordemos que si P (x, y) y Q(x, y) son campos escalares 1 en un dominio D de R y la curva simple, cerrada y orientada en sentido positivo que conforma la frontera de la región D, entonces el teorema de Green establece que: on respecto al campo vectorial P (x, y)dx + Q(x, y)dy D F P î + Q ĵ ( Q dx P dy ) dxdy (1.1) se tiene y su rotor viene dado por rot( î ĵ k F ) x y P Q luego, rot( F ) k P (x, y)dx + Q(x, y)dy (1.) z ( Q x P ) k (1.3) y ( Q x P ) Q k k y x P y (1.4) Así entonces, la segunda forma vectorial del Teorema de Green, que recibe el nombre de en el plano, luego de (1.1), (1.) y (1.4) es: (rot F ) kda (1.5) D que establece que la integral de línea de la componente tangencial de F a lo largo de es igual a la integral doble de la componente vertical del rot( F ) sobre la región D encerrada por la curva. Nota 1.1. El teorema de tokes en el plano (1.5) tiene una extensión natural al espacio R 3, conocido con el nombre de. Este teorema relaciona una integral de superficie sobre una superficie orientada con una integral de línea sobre la curva correspondiente a la frontera de dicha superficie. La orientación de la superficie induce la orientación positiva de su curva frontera, de modo que la orientación de la curva y la dirección de los vectores normales a cumplen la regla de la mano derecha. En otras palabras, si se camina en la dirección positiva de, manteniendo la cabeza en la dirección del vector normal a, la superficie se mantiene a la izquierda. Instituto de Matemática y Física 58 Universidad de Talca

3 álculo vectorial. esión 1 Orientación positiva de inducida por la orientación positiva de 1.3 ean una superficie d (u, v) (α(u, v), β(u, v), γ(u, v)), con (u, v) D, orientada y suave en R 3 (con vector unitario exterior n) : r (t) (x(t), y(t), z(t)), con a t b, la curva suave, cerrada y simple correspondiente a la frontera de con orientación positiva F (x, y, z) (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un campo vectorial con componentes 1 sobre una región que contiene a, entonces o, equivalentemente rot( F ) d (1.6) b a F ( r (t)) r (t) dt (R y Q z, P z R x, Q x P y ) ( d u d v ) da (1.7) R Ejemplo 1.1. Verificar el teorema de tokes para el campo F (x, y, z) yî xĵ (y, x, ) sobre el paraboloide : z x +y con la circunferencia x +y 1, z 1 como su frontera. Instituto de Matemática y Física 59 Universidad de Talca

4 álculo vectorial. esión 1 Desarrollo: e debe comprobar que rot( F ) nd 1) álculo de r. r : x cos t y sin t z 1 t [π, ] d r : dx sin t dt dy cos t dt dz ) álculo de rot( F ) n d. (sin t, cos t, ) ( sin t dt, cos t dt, ) F d ( sin t cos t)dt π π dt π (1.8) Ahora, rot( F ) (,, ), N (x, y, 1) ( por qué?). rot( F ) n d da π (1.9) (1.8) y (1.9) verifican el teorema de tokes para el caso pedido. Ejemplo 1.. Verificar el teorema de tokes para el campo F (x, y, z) yzî ( x 3y)ĵ + (x + z) k (yz, x 3y, x + z) sobre el lado exterior de la superficie intersección de los cilindros x + y a, x + z a (a > ) situada en el primer octante. Instituto de Matemática y Física 6 Universidad de Talca R

5 álculo vectorial. esión 1 Desarrollo: e debe comprobar que rot( F ) n d 1) álculo de r. En este caso , donde 1 : z a cos t x sin t y t [, π/] dz a sin t dt dx a cos t dt dy 1 (yz, x 3y, x + z) (dx, dy, dz) π/ (a 3 sin 3 t a sin t cos t)dt a 3 a3 (1.1) : x a cos t y sin t z t [, π/] dx a sin t dt dy a cos t dt dz (yz, x 3y, x + z) (dx, dy, dz) π/ ( a cos t 3a sin t cos t + a cos t)dt a π 4 3a + a (1.11) Instituto de Matemática y Física 61 Universidad de Talca

6 álculo vectorial. esión 1 3 : x z t y a t [, a] dx dz dt dy 3 a a (yz, x 3y, x + z) (dx, dy, dz) t dt 4 : x y t z a t [a, ] dx dy dt dz 4 a (yz, x 3y, x + z) (dx, dy, dz) 3a 4a ( 3t + ) dt (1.1) (1.13) Por lo tanto, luego de (1.1), (1.11), (1.1) y (1.13): F d r + F d r + F d r + F d r ( a ) ( ) ( ) ( ) 3 a3 + a π 4 3a a 3a + a 4a + + ) álculo de a (3π + 8a) (1.14) 1 rot( F ) n d. Es claro que rot( F ) (, y x, y 1). omo 1 +, se tiene: 1 {(x, y, z) / z f(x, y) a x }, sobre D 1 {(x, y) / x a, y y a x } Instituto de Matemática y Física 6 Universidad de Talca

7 álculo vectorial. esión 1 ( x N 1 ( f x, f y, 1) ). a x,, 1 Luego: 1 rot( F ) n d (, y x, y 1) ( a x,, 1)dA D 1 ( y 1)dxdy coord. polares : D 1 x r cos θ, y r sin θ, θ π/, r a π/ a ( r sin θ 1)rdrdθ 3 a3 π 4 a (1.15) {(x, y, z) / y g(x, z) a x }, sobre D {(x, z) / x a, y z a x } ( x N ( g x, 1, g z ) ). a x, 1, Luego: rot( F ) n d (, y x, y 1) ( a x, 1, )da D (y x)dxdy coord. polares : D ( a x x)dxdz D x r cos θ, z r sin θ, θ π/, r a π/ a (r sin θ r cos θ)rdrdθ (1.16) de (1.15) y (1.16), se tiene: rot( F ) n d rot( F ) n d + 1 rot( F ) N da 3 a3 π 4 a a (3π + 8a) (1.17) 1 Finalmente, comparando (1.14) y (1.17), se verifica el teorema de tokes para el caso en cuestión. Instituto de Matemática y Física 63 Universidad de Talca

8 álculo vectorial. esión Actividades 1) En el siguiente dibujo H es una semi esfera y P una porción de un paraboloide ea F un campo vectorial con componentes 1, explicar por qué: F d H P ) Verificar el teorema de tokes para el campo F (xy z, x+y +z, x +y +z) y la superficie del hiperboloide z xy + 1 cortado por el cilindro x + y 1. Hint: Para parametrizar la intersección cilindro-hiperboloide se puede tomar x cos t, y sin t, z sin t cos t + 1. Respuesta: Ambas integrales son iguales a π. 3) Verificar el teorema de tokes para el campo vectorial radial F (x, y, z) y la semiesfera superior z 1 x y y z. Respuesta: Ambas integrales son iguales a. 4) Usar el teorema de tokes para calcular rot( F ) d, para F (x, y, z) yz î + xz ĵ + xy k y la parte del paraboloide z 9 x y que se encuentra sobre el plano z 5, orientada hacia arriba. Respuesta. 5) Usar el teorema de tokes para calcular r, para F (x, y, z) e x î + e x ĵ+e z k y es la frontera de la parte del plano x+y+z que se encuentra en el primer octante y orientada contrareloj cuando se la mira desde arriba. Respuesta. e 4 Instituto de Matemática y Física 64 Universidad de Talca

9 álculo vectorial. esión 1 6) omprobar que π, donde F ( y, x, z ) y es la curva de intersección del plano y + z y el cilindro x + y 1 ( orientada contrareloj cuando se mira desde arriba). 7) Usar el teorema de tokes para calcular rot( F ) d, donde F (xz, yz, xy) y la parte de la esfera x + y + z 4 que está en el interior de cilindro x + y 1 y sobre el plano z. Respuesta:. Instituto de Matemática y Física 65 Universidad de Talca