ϕ(u, v) = (u, v, f (u, v)), pidiendo adicionalmente que D sea una región (plana) a la que podemos

Transcripción

1 El Teorema de tokes 1 El Teorema de tokes El Teorema de tokes es una generalización del Teorema de Green (Teoremas 5., 5.4 y 5.7) al espacio 3, aplicándose a superficies orientadas que son encerradas (acotadas) por curvas cerradas (en 3 ). El principal problema que se presenta al intentar tal generalización es: cual es la orientación adecuada que debe darse tanto a la superficie como a la curva que la encierra? omenzaremos enunciando el teorema para el caso de superficies que son gráficas de funciones de dos variables, explicando cual es la orientación adecuada en este caso, para luego pasar al caso más general de superficies parametrizadas. Partimos entonces de una superficie que es la gráfica de una función, digamos z = f (x, y), y que podemos parametrizar, como ya sabemos, mediante una función ϕ : 3, ϕ(u, v) = (u, v, f (u, v)), pidiendo adicionalmente que sea una región (plana) a la que podemos aplicarle el Teorema de Green y que su frontera sea una curva cerrada simple orientada positivamente. Adicionalmente requeriremos, temporalmente, que la superficie esté orientada hacia arriba (conviene recordar que de acuerdo a la Observación 1.6, las superficies del tipo z = f (x, y) tienen dos orientaciones posibles: la correspondiente al campo vectorial normal unitario que apunta hacia arriba y la de dirección opuesta, es decir, la del campo vectorial normal unitario que apunta hacia abajo) y, en consecuencia, ϕ preserva la orientación de ( notó, en la observación citada, el signo de la tercera componente del Producto Vectorial Fundamental?). La se define como la curva cerrada simple que es imagen, a través de ϕ, de la curva (plana). Así, si σ : [a, b], σ(t) = (x(t), y(t)) es una parametrización de que conserva la orientación (positiva) de (la orientación del Teorema 5.), entonces es la imagen de la trayectoria γ : [a, b] 3 determinada por γ(t) = (ϕ σ) (t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Más aún, la orientación apropiada que debe darse a la curva, cuando ha sido orientada hacia arriba, es la orientación inducida por γ(t) 1 (es decir, por ). e esta manera, cuando está orientada hacia arriba, la superficie debe quedar a la izquierda al movernos sobre. Por supuesto, si la orientación de es la contraria (es decir, hacia abajo) entonces debe cambiarse 1 Entendida como la orientación que va desde el punto inicial γ(a) al punto final γ(b).

2 El Teorema de tokes la orientación de. Esta manera de hacer corresponder la orientación de la superficie con la orientación de la curva es lo que se conoce como la egla de la Mano erecha. Figura 1: Orientación adecuada para que el Teorema de tokes sea válido (egla de la mano derecha). Teorema 6.1 (tokes para el caso de Gráficas). ea la superficie orientada definida por una función de clase, z = f (x, y), (x, y) y sea F un campo vectorial 1 en. i denota la curva frontera que acota a, orientada conforme a la regla de la mano derecha, derecha entonces rot(f) d = rot(f) d = ecordemos que F dσ. rot(f) η d. Así el teorema de tokes afirma que la integral de la componente normal del rotor de un campo vectorial F sobre una superficie es igual a la integral de la componente tangencial de F alrededor de la (curva) frontera. La demostración puede verse, por ejemplo, en el libro álculo Vectorial de Marsden-Tromba, simplemente realizando los cálculos que se indican al suponer F = (P, Q, ), la parametrizacón de dada por η(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))) y aplicaciones de la regla de la cadena y del teorema de Green. A continuación enunciaremos el teorema para superficies parametrizadas generales. Teorema 6. (tokes Para uperficies Parametrizadas). ea una superficie parametrizada suave, orientada con normal η, parametrizada por una función ϕ : 3 inyectiva de clase 1. i

3 El Teorema de tokes 3 denota la curva frontera que acota a (entendida como la imagen, a través de ϕ, de la curva (plana) ), orientada conforme a la regla de la mano derecha y F es un campo vectorial de 1 en, entonces F dσ = rot(f) d. Ejemplo 6.3. ea la curva intersección entre las superficies de ecuación z = x + y y x + (y 1) = 1 con orientación anti-horaria vista desde arriba. i el campo vectorial F está dado por F(x, y, z) = (y, x, z), calcule F dσ. olución. El cilindro corta sobre el paraboloide z = x + y una superficie acotada por, como se muestra en la Figura. e cumplen las condiciones del teorema de tokes, F es 1 y la orientación inducida η en es hacia arriba. Figura : Intersección del paraboloide z = x + y con el cilindro x + (y 1) = 1. Parametrizamos el paraboloide z = f (x, y) = x + y mediante ϕ(x, y) = (x, y, x + y ), tomando como dominio = {(x, y) : x +(y 1) 1}. on ésta parametrización resulta T x T y = ( f x, f y, 1) = ( x, y, 1), de donde concluimos que ϕ preserva la orientación de (η apunta hacia arriba). alculamos rot(f) = (0, 0, ) y aplicando el teorema de tokes

4 El Teorema de tokes 4 tenemos F dσ = rot(f) d = (0, 0, ) ( x, y, 1) dx dy = dx dy = Area() = π. F dσ, siendo F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) y la curva Ejemplo 6.4. alcule la integral intersección del plano z = y con el cilindro x + y = y, con sentido anti-horario vista desde abajo. olución. Fácilmente calculamos rot(f) = (0, 0, 1). La curva encierra una superficie acotada sobre el plano z = y, como se muestra en la Figura 3, 3 con orientación η hacia abajo. Figura 3: Una superficie encerrada por la curva intersección del plano z = y con el cilindro x + y = y. Parametrizamos la superficie, siendo ésta parte del plano z = f (x, y) = y, mediante ϕ(x, y) = (x, y, y), tomando om f = = {(x, y) : x + y y}. El Producto Vectorial Fundamental resulta Tx Ty = ( fx, fy, 1) = (0, 1, 1), así que nuestra parametrización

5 El Teorema de tokes 5 invierte la orientación. omo F es 1, aplicando el teorema de tokes obtenemos F dσ = rot(f) d = (0, 0, 1) (0, 1, 1) dx dy = da = da = Area() = π. Note que anti-horario desde abajo es horario desde arriba.