A) Hallar el volumen del sólido formado cuando la región del primer cuadrante limitada por Z 4. 1 x 4 1 dx. Z b. p (x) h (x) dx.

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1 ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA I.T.I. Especialidad en Electricidad. Curso 4-5. Soluciones al Segundo Parcial de Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. PROBLEMA.- A) Hallar el volumen del sólido formado cuando la región del primer cuadrante limitada por gira alrededor de la recta x =. y = x, y =8 x, x = B) a) Usar la regla de los trapecios con n =4para estimar el valor de la integral b) Calcular directamente la integral. Z 4 x 4 dx Solución: A) Tenemos que calcular el volumen de un sólido de revolución. Podemos aplicar el método de discos ó el método de capas. Puesto que el eje de giro es vertical y las curvas vienen expresadas de forma explícita, optaremos por el método de capas V = Z b a p (x) h (x) dx Para delimitar el intervalo de integración, calculamos la intersección de las curvas y = x, y =8 x, obteniendo que la abscisa del punto de corte en el primer cuadrante es x =. 8 h(x) p(x) La distancia de cada capa al eje de giro viene dada por p (x) =x + ylaalturadelacapapor h (x) =(8 x ) x. Por tanto V = Z b a p (x) h (x) dx = Z (x +) 8 x dx =.

2 B) a)sea f (x) =. Hacemos n =4yaplicamos el método de los trapecios para estimar el valor x 4 de la integral. En este caso x = b a = n 4 =, y nuestra partición del intervalo [, ] resulta: =x < 5 = x < =x < 7 = x < 4=x 4. Por tanto, Z 4 x 4 dx = b a n [f (x )+f (x )+f (x )+f (x )+f (x 4 )] = 4 µ µ 5 7 f () + f +f () + f + f (4) 4 = = = [ ] 4 =.48 b) Calculamos ahora la integral directamente. Buscaremos una primitiva de la función ello utilizamos la descomposición en fracciones simples. x 4 = (x ) (x +) = A x + B x + + Cx + D x + =A (x +) x + + B x + (x ) + (Cx + D)(x +)(x ) x 4. Para Dándole diferentes valores a la x, tenemos x = = 4B = x == 4A = x == A B D = x == 5A +5B +6C +D = = A =/4 B = /4 C = D = / Luego Z 4 x 4 dx = Z 4 /4 x + /4 x + + / x + dx = 4 ln x 4 ln x + arctgx 4 = ln 4 ln 5 arctg4+ arctg =.76

3 PROBLEMA.- A) Sea f (x, y) =e ax+y + bsen(x + y ). i) Determinar µr los valores de los parámetros a y b sabiendo que (, ) es un punto crítico de f yquef 4, =. ii) Para los valores de a =y b = Qué clase de punto crítico es el (, )? B) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z =arctg y ³ x en el punto P,,. C) Hallarlalongituddelacurvasuaveatrozos C de la figura cuyas ecuaciones paramétricas son ½ x =cos t C : y =sen t [, ] t Solución: A) i) Puesto que el (, ) debe ser un punto crítico de la función f, las derivadas parciales primeras debendeanularseenestepunto.asípues, == ae ax+y +xb cos (x + y ) == a = x (,) (,) == ye ax+y +yb cos (x + y ) == = y (,) (,) Luego la función es de la forma f (x, y) =e y + µr bsen(x + y ). Si imponemos ahora la condición de que f 4, =, tenemos que µr ³ + f 4, = e + bsen = +b 4 = b = Luego f (x, y) =e y + sen x + y ii) Para decidir qué tipo de punto crítico es el (, ), aplicamos el criterio de las derivadas segundas.tenemos que f x = [cos(x + y ) x sen (x + y )] f x y = 4 xysen (x + y ) f y =(+4y ) e y 4 y sen (x + y )+ cos(x + y )

4 y, por tanto, H (, ) = µ + Como se verifica que det (H (, )) > y f >, el criterio de las derivadas parciales segundas nos x permite afirmar que (, ) es un mínimo relativo de f. B) La ecuación del plano tangente a una superficie z = f (x, y) en un punto (x,y,f(x,y )) viene dada por z = f (x,y )+ x (x,y )(x x )+ y (x,y )(y y ) En nuestro caso, como f (x, y) =arctg y, tenemos que x x = + y y x = y x + y, x y = + y x x = x x + y, = x (,) 4 = y (,) 4 Portanto,elplanotangentees z = 4 (x ) + ³ y x y +z 4 = 4 C) Teniendo en cuenta la simetría de la curva y aplicando la expresión integral para el cálculo de la longitud de la curva en ecuaciones paramétricas, se tiene que Z q Z l = 4 x (t) + y (t) dt =4 6 cos4 tsen t +6sen 4 t cos tdt = 4 Z 6 p cos tsen t (cos t + sen t)dt =4 Z 6costsentdt =sen t = Nota: Observar que no se puede calcular la longitud de la curva integrando en un intervalo mayor porquelacurvanoessuave. PROBLEMA.- Z A) Determinar C F dr siendo y C la curva indicada en la figura F (x, y) = x + xy i +x yj Comprobar que se verifica el teorema de Green.

5 B) Encontrar si existe una función potencial del campo vectorial F (x, y, z) =(xyz + senx) i+x zj+x yk Z ycalcular F dr siendo C una curva suave a trozos que va desde el punto (,, ) hasta el ³ C punto,,. Solución: A) El campo vectorial viene dado por F (x, y) =(x + xy ) i +x yj. Como la curva C es suave a trozos, consideramos los tres trozos de curva, es decir, las tres curvas C,C,C y escribimos unas ecuaciones paramétricas para cada una de ellas: C : ½ ½ x = t x = t y = t t [, ] C : y = t [, ] C : ½ x = y = t t [, ] Se tiene que Z F dr = C = Z Z Z F dr + F dr + F dr C C C Z t + t 5, t 4 (, t) dt + Z t, t (, ) dt + Z (, ) (, ) dt = Z t +5t 5 dt + Z tdt += t + 5t6 + t 6 =. Puesto que la región encerrada por la curva C es una región simplemente conexa con frontera suave a trozos y orientada en sentido antihorario, tiene que cumplirse el teorema de Green y la integral calculada anteriormente debe ser igual a RR ³ N M da. Lo comprobamos: R x y Z Z µ N R x M Z Z Z da = (4xy xy) dydx = xy Z dx = y x x x x 5 dx =. B) Para tener asegurada la existencia de una función potencial para el campo vectorial F (x, y, z) = (xyz + senx) i+x zj+x yk, comprobamos que se trata de un campo conservativo. Para ello, calculamos las derivadas parciales siguientes M y =xz M z =xy N z = x N x =xz P x =xy P y = x

6 y, puesto que M y = N x, M z = P x, N z = P, el campo vectorial es conservativo. Buscamos y ahora una función potencial f (x, y, z), esto es, una función verificando que x =xyz + senx () y = x z () z = x y () Integrando, por ejemplo, en la última ecuación con respecto a z, tenemos que f (x, y, z) =x yz + g (x, y) Si derivamos esta expresión con respecto a y, tenemos que y = x z + g que debe ser igual a y (), con lo cual g y =ydeaquíg (x, y) =h (x). Así f (x, y, z) =x yz + h (x). Finalmente, derivando con respecto x e igualando con (), tenemos que x =xyz + h (x) =xyz+senx h (x) =senx h (x) = cos x + C. Luego una función potencial viene dada por f (x, y, z) =x yz cos x Para calcular la integral de línea del campo vectorial F (x, y, z), al ser éste conservativo, podemos aplicar un de los teoremas fundamentales para las integrales de línea y entonces Z ³ F dr = f,, f (,, ) = 4 +. PROBLEMA 4.- C A) Hallar el volumen limitado por el paraboloide x +4y = z, el plano z =yloscilindros parabólicos y = x, x = y. B) Sea Q el sólido interior al cilindro x +y =4, exterioralasuperficie cónica z = p x +y, y por encima del plano z =. Se pide: a) Expresar en coordenadas esféricas el volumen del sólido. b) Expresar en coordenadas cilíndricas el volumen del sólido. c) Calcular el volumen del sólido. C) Combinar, cambiando el orden de integración, la suma de las dos integrales dobles en una sola, y dibujar la región de integración Z Z y y/ f (x, y) dxdy + Z 4 Z y/ f (x, y) dxdy

7 Solución: A)El sólido limitado por el paraboloide x +4y = z, el plano z =ylos cilindros parabólicos y = x, x = y eselqueseindicaenlafigura. y su volumen viene dado por Z Z V = R x +4y da siendo R la región del plano comprendida entre las curvas y = x, x = y, es decir, R = {(x, y) R : x, x y x}. Así, Z Z V = x +4y Z Z x da = x +4y dydx R x Z x Z Ã! = x y +4 y dx = x x +4 ( x) x 4 4 x6 dx x = 7 x7/ + 4x 5/ 5 5 x5 4 x 7 = 7 7. B) El sólido Q está limitado por las superficies x + y =4,z=y z = p x +y a) Si expresamos las superficies en coordenadas esféricas, se tiene que: La ecuación del cono en coordenadas esféricas es φ = arctg = 6 La ecuación del cilindro en coordenadas esféricas viene dada por: x + y =4= ρ sen φ cos θ + ρ sen φsen θ =4= ρ = sen φ

8 ½ Por tanto, el sólido se describe como Q = (ρ, θ, φ) : θ, y el volumen del sólido viene dado por la expresión 6 φ, ρ ¾ sen φ V = Z 6 Z Z sen φ ρ sen φdρdθdφ. b) En coordenadas cilíndricas, Q = (r, θ,z): θ, r, z r ª, yasí,el volumen viene dado por V = Z Z Z r rdzdrdθ. c) Calculamos el volumen utilizando las coordenadas cilíndricas ya que es más sencilla la integral iterada que se obtiene. Así V = Z Z Z r rdzdrdθ. = Z Z Z r drdθ = 6 8dθ =. C) Teniendo en cuenta la unión de las dos regiones que se describen en las dos integrales iteradas, tenemos que, cambiando el orden de integración, Z Z y f (x, y) dxdy + Z 4 Z f (x, y) dxdy = Z Z x y/ y/ x f (x, y) dydx.