MATE1207 Cálculo Vectorial Taller 1 Preparación P2 Repaso semana 12

Transcripción

1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE127 Cálculo Vectorial Taller 1 Preparación P2 Repaso semana Encuentre, si existen, los máximos locales, mínimos locales y puntos de silla de la función, f(x,y) x 2 xy +y 2 +9x 6y +1 mínimo f( 4, 1) Una canal se hace con una placa metálica galvanizada de w cm. de ancho doblando de manera simétrica sus esquinas a x cm. del borde. La sección transversal es mostrada en la figura. (a) Determine las dimensiones para que el flujo transportado sea máximo. Es decir determine las dimensiones de x (parte a doblar) y θ (ángulo entre x y el nivel máximo del agua) para que el área transversal sea máxima. (b) Sería mejor hacer la canal con área tranversal un semicírculo o como la del ítem anterior?. A x θ θ x D B w 2x C Sea f(x,θ) (w 2x+xcosθ)(xsinθ) y aplicar método de extremos libres (test de la segunda derivada). (a) x w/3 θ π/3 A max 3w w 2 (b) Si, porque área del medio círculo w2 2π.1596w2 >.14434w 2

2 3. Se va a cortar y adornar un espejo de forma rectangular con área 1 metro cuadrado. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 1 pesos por centímetro y los de los lados verticales cuestan 15 pesos por centímetro, hallar las dimensiones que minimicen el costo total. Si A 1 4 cm. 2, p 1 y q 15 pesos, entonces el costo total es Aq/p. 4. Un servicio de entrega de paquetes requiere que las dimensiones de una caja paralelepípeda (caras rectangulares) sean tales que la longitud (l) más el doble del ancho (a) más el doble de la altura (h) no pase de 18 centímetros, es decir l + 2a + 2h 18. Cuál es el volumen de la caja más grande que podrá enviar la compañía? a h 18, l 36, V Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de en el disco unitario x 2 +y 2 1. f(x,y) x 2 +y 2 x y +1 min 1/2, max Evalúe la integral iterada, x sin(x) dydx (1) x sin(x) dydx sin(x)y x dx xsin(x)dx xcos(x) π + π cos(x)dx (2) Page 2

3 7. Halle el volumen del sólido acotado por z, z x+2y encima de la región { x, y R (3) x 2, y x 2 2 x 2 x+2y dzdydx 52 5 (4) 8. Evalúe la integral iterada cambiando de tipo I a tipo II. x sin(y) y dydx (5) y siny y dxdy sinydy 2 (6) 9. Evalúe la integral cambiando el orden de integración si es necesario. x sec 2 (2y y 2 )dydx (7) 1 2 y sec 2 (2y y 2 )dxdy sec 2 (u)du tan(u) 1 2 tan(2y y2 ) tan(1) sec 2 (2y y 2 )(1 y)dy (8) 1. Encuentre la masa del cilindro entre z, z 1 sobre el interior del disco unitario x 2 +y 2 1 sabiendo que su densidad es σ(x,y,z) y. Page 3

4 M 1 x x 2 2π ( 2π ( 2 y dzdydx rsinθ rdzdrdθ )( )( sinθ dθ r 2 dr )( ) 1 sinθdθ (1) 3 ) dz (9) Halle el volumen del poliedro con vértices en (,,), (1,,), (,1,), (1,1,), (,,1) y (1,,1). El poliedro consta de cinco caras, tres de ellas sobre los planos coordenados. El piso (sobre el plano xy) es un cuadrado de lado uno, una pared (cara lateral sobre el plano xz) es también un cuadrado de lado uno, la otra pared (cara sobre el plano yz) es un triángulo isósceles y rectángulo. El techo es el plano z 1 y y la otra pared (cara sobre el plano x 1) es también un triángulo isósceles y rectángulo. V y dzdydx 1 2 (1) 12. Halle el valor de la integral iterada haciendo un cambio de variables a coordenadas polares, 2 x 2 x dydx (11) /2 2 π/4 rdrdθ π 4 (12) Page 4

5 13. Halle el valor de la integral, 1 x 2 1 x dydx (x 2 +y 2 ) 3/2 (13) Usamos coordenadas polares porque el integrando contiene un término en función de x 2 +y 2 y la región de integración es un segmento circular (pedazo de circulo). /2 /2 /2 1 cosθ+sinθ 1 r 1 1 dθ cosθ +sinθ r r 3drdθ (cosθ +sinθ 1)dθ 2 π 2 (14) 14. Halle el valor de la integral 1 x x 2 2 x 2 y 2 x 2 +y 2 dzdydx z x 2 +y 2 +z 2 (15) Usaremos coordenadas esféricas porque el integrando contiene x 2 +y 2 +z 2 y además la región de integración es un semicono sólido acotado por encima por una esfera. Convénzase que es así y halle las intersecciones para determinar los límites. 2π /4 2 2π /4 2 ρ 2 sinφ dρdφdθ ρ 2 cosφ sinφ cosφ dρdφdθ π 2ln(2) (16) 15. Halle la masa del semicono sólido z 2 x 2 + y 2, z 1 sabiendo que la función de distribución de masa puntual es constante e igual a 4. Page 5

6 Puede usarse coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas. Planteamos por los tres tipos de coordenadas pero lo resolveremos por coordenadas cilíndricas. M 4V 4 2π x x 2 /4 secφ 2π 4(2π) r rdzdrdθ x 2 +y 2 dzdydx ρ 2 sinφdρdφdθ r(1 r)dr 8π ( ) 4π 3 3 (17) Page 6