Lección 32: Algunas ideas sobre la integral doble. Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

Transcripción

1 Lección 32: Algunas ideas sobre la integral doble Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

2 Esquema: - Idea de integral doble - Teorema de Fubini - Cambio a coordenadas polares

3 Integral doble 2 subconjunto acotado f : función de dos variables

4 Integral doble 2 subconjunto acotado f : función de dos variables La representación gráfica de f es una superficie acotada S, y podemos preguntarnos por el volumen delimitado por S y z f(x,y) S y x

5 Integral doble 2 subconjunto acotado f : función de dos variables La representación gráfica de f es una superficie acotada S, y podemos preguntarnos por el volumen delimitado por S y Definimos la integral de f en como dicho volumen, y la denotaremos por f(x, y)dxdy

6 Integral doble Idea: Dividir en pequeños rectángulos, y el volumen vendrá dado por la suma de los volumenes de los prismas

7 Integral doble Idea: Dividir en pequeños rectángulos, y el volumen vendrá dado por la suma de los volumenes de los prismas - integral superior (prismas superiores) - integral inferior (prismas inferiores)

8 Integral doble Idea: Dividir en pequeños rectángulos, y el volumen vendrá dado por la suma de los volumenes de los prismas f : 2 función integrable en si la integral superior y la integral inferior coinciden. En tal caso, ese valor es la integral de f en

9 Funciones integrables f : 2 función - Si f es continua en, entonces es integrable - Si f es acotada en, entonces es integrable

10 Propiedades de la integral doble 1. Linealidad: (αf(x, y)+βg(x, y))dxdy = =α f(x, y)dxdy + β 2. Si f(x, y) g(x, y) en, entonces f(x, y)dxdy g(x, y)dxdy g(x, y)dxdy 3. Sean 1, 2 disjuntas. Entonces f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy

11 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : 2 función continua educiremos el cálculo de f(x, y)dxdy a dos integrales de una variable

12 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : 2 función continua educiremos el cálculo de f(x, y)dxdy a dos integrales de una variable Teorema de Fubini: Si = {(x, y) 2 : a x b, g 1 (x) y g 2 (x)}, con g 1, g 2 funciones continuas (g 1 g 2 ), entonces b ( g2 (x) ) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx a g 1 (x)

13 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : 2 función continua Teorema de Fubini: Si = {(x, y) 2 : a x b, g 1 (x) y g 2 (x)}, con g 1, g 2 funciones continuas (g 1 g 2 ), entonces b ( g2 (x) ) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx a g 1 (x) Primero hallamos g 2 (x) g 1 (x) f(x, y)dy (que dependerá de la variable x), y luego hacemos la integral respecto de x

14 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : 2 función continua Teorema de Fubini: Si = {(x, y) 2 : c y d, h 1 (y) x h 2 (y)}, con h 1, h 2 funciones continuas (h 1 h 2 ), entonces d ( h2 (y) ) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy c h 1 (y)

15 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos: 1. (xy + y + 1)dxdy, con = [0, 2] [0, 1] 2. (xy + y + 1)dxdy, con = {(x, y) 2 : 0 x y, 0 y 1} Y y=x X

16 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos: 3. (1 + 2x 2 + 2y 2 )dxdy, con = {(x, y) 2 : y x 2y, 0 y 1} y 4. x dxdy, con = {(x, y) 2 : 0 x 1, x 2 y x} Y y=x y=x 2 1 X

17 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos: 5. Determinar el volumen de la región delimitada por los planos 2x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0 Z Y 3 4 y=-(2/3)x+4 6 S 4 Y 6 X 6. X x 2 sin(xy)dxdy, con = [0, π] [0, 1]

18 Cálculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos: 7. (2 x 3y 2 )dxdy, con = {(x, y) 2 : 0 x 1, x 2 y 4 x}

19 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares f : 2 Mediante un cambio de variables integral doble más sencilla x = r cos(θ) - Coordenadas polares y = r sin(θ)

20 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares f : 2 Mediante un cambio de variables integral doble más sencilla x = r cos(θ) - Coordenadas polares y = r sin(θ) Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ

21 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares f : 2 Mediante un cambio de variables integral doble más sencilla x = r cos(θ) - Coordenadas polares y = r sin(θ) Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ - Interesante si en f(x, y) aparece una expresión del tipo x 2 + y 2 - Se suele combinar con el teorema de Fubini

22 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 1. (x2 + y 2 + 1)dxdy, con = {(x, y) 2 : x 2 + y 2 4}

23 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 1. (x2 + y 2 + 1)dxdy, con = {(x, y) 2 : x 2 + y 2 4} (x 2 + y 2 + 1)dxdy = (r 2 + 1)rdrdθ, siendo ahora = {(r, θ) 2 : 0 r 2, 0 θ 2π}

24 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 1. (x2 + y 2 + 1)dxdy, con = {(x, y) 2 : x 2 + y 2 4} (x 2 + y 2 + 1)dxdy = (r 2 + 1)rdrdθ, siendo ahora = {(r, θ) 2 : 0 r 2, 0 θ 2π} Finalmente, (r 2 + 1)rdrdθ = 2π 0 ( 2 ) (r 3 + r)dr dθ = 12π 0

25 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 2. x2 (x 2 +y 2 ) 2 dxdy, = {(x, y) 2 : y 0, x 2 +y 2 = 1} = {(x, y) 2 : 1 x 1, 0 y 1 x 2 }

26 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 2. x2 (x 2 +y 2 ) 2 dxdy, = {(x, y) 2 : y 0, x 2 +y 2 = 1} = {(x, y) 2 : 1 x 1, 0 y 1 x 2 } x 2 (x 2 + y 2 ) 2 dxdy = r 7 cos 2 (θ)drdθ, siendo ahora = {(r, θ) : 0 r 1, 0 θ π}

27 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: Finalmente, r 7 cos 2 (θ)drdθ = 2 0 π ( 1 0 ) r 7 cos 2 (θ)dr dθ = cos 2 (θ)dθ = π 16

28 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 3. e x2 y 2 dxdy, con = {(x, y) 2 : x 2 + y 2 4}

29 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 3. e x2 y 2 dxdy, con = {(x, y) 2 : x 2 + y 2 4} e x2 y 2 dxdy = re r2 drdθ, siendo ahora = {(r, θ) 2 : 0 r 2, 0 θ 2π}

30 Cálculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares: f(x, y)dxdy = f(r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ Ejemplos: 3. e x2 y 2 dxdy, con = {(x, y) 2 : x 2 + y 2 4} e x2 y 2 dxdy = re r2 drdθ, siendo ahora = {(r, θ) 2 : 0 r 2, 0 θ 2π} Finalmente, re r2 rdrdθ = 2π 0 ( 2 0 ) re r2 dr dθ = π(1 e 4 )