Lección 29: Integral de Riemann. Integrales definidas. Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

Transcripción

1 Lección 29: Integral de Riemann. Integrales definidas Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

2 Esquema: - Integral de Riemann - Funciones integrables - Integral definida

3 f : [a, b] R función real de variable real Queremos hallar el área encerrada por la gráfica de la función, las rectas x = a, x = b y el eje OX Figure 1: Gráfica de la función f(x) = x 3 x + 6 en [ 2, 2]

4 f : [a, b] R función real de variable real Queremos hallar el área encerrada por la gráfica de la función, las rectas x = a, x = b y el eje OX Idea: Dividir [a, b] en subintervalos, y hallar el área encerrada como suma del área de rectángulos

5 f : [a, b] R función real de variable real Queremos hallar el área encerrada por la gráfica de la función, las rectas x = a, x = b y el eje OX Idea: Dividir [a, b] en subintervalos, y hallar el área encerrada como suma del área de rectángulos - Altura de cada rectángulo: Varias opciones mínimo valor tomado por f en el subintervalo máximo valor tomado por f en el subintervalo

6 f : [a, b] R función real de variable real Queremos hallar el área encerrada por la gráfica de la función, las rectas x = a, x = b y el eje OX Idea: Dividir [a, b] en subintervalos, y hallar el área encerrada como suma del área de rectángulos Suma inferior Suma superior

7 f : [a, b] R función real de variable real Queremos hallar el área encerrada por la gráfica de la función, las rectas x = a, x = b y el eje OX Idea: Dividir [a, b] en subintervalos, y hallar el área encerrada como suma del área de rectángulos A medida que dividimos [a, b] en un número mayor de subintervalos, la suma (inferior y superior) de las áreas de los rectángulos se aproxima al área encerrada por f

8 Para n = 8 : Suma inferior Suma superior

9 Para n = 12 : Suma inferior Suma superior

10 Para n = 16 : Suma inferior Suma superior

11 Para n = 25 : Suma inferior Suma superior

12 Para n = 50 : Suma inferior Suma superior

13 Para n = 100 : Suma inferior Suma superior

14 f : [a, b] R función real de variable real - S i (f, n) suma inferior asociada a n subintervalos - S s (f, n) suma superior asociada a n subintervalos

15 f : [a, b] R función real de variable real - S i (f, n) suma inferior asociada a n subintervalos - S s (f, n) suma superior asociada a n subintervalos Diremos que f es una función integrable según Riemann en [a, b] si lim S i(f, n) = lim S s (f, n) n n A ese valor se le llama integral definida de f en [a, b], y lo denotaremos por b a f(x)dx

16 b a f(x)dx debe entenderse como el área ponderada encerrada por la gráfica de f en [a, b]

17 b a f(x)dx debe entenderse como el área ponderada encerrada por la gráfica de f en [a, b] - Si f(x) 0 en [a, b] Área = b a f(x)dx

18 b a f(x)dx debe entenderse como el área ponderada encerrada por la gráfica de f en [a, b] - Si f(x) 0 en [a, b] Área = b a f(x)dx - Si f(x) < 0 en [a, b] Área = b a f(x)dx = b a f(x) dx

19 b a f(x)dx debe entenderse como el área ponderada encerrada por la gráfica de f en [a, b] - Si f(x) 0 en [a, b] Área = b a f(x)dx - Si f(x) < 0 en [a, b] Área = b a f(x)dx = b a f(x) dx - En general: Área= ci+1 i c i f(x) dx, con [c i, c i+1 ] intervalo donde f tiene signo constante

20 Ejemplos: π π sin(x)dx = 0, pero el área real encerrada por la gráfica en [ π, π] es igual a 0 π sin(x) dx + π 0 sin(x) dx

21 Ejemplos: π π sin(x)dx = 0, pero el área real encerrada por la gráfica en [ π, π] es igual a 0 π sin(x) dx + π 0 sin(x) dx El área encerrada por las gráficas de f(x) = x y g(x) = x 3 en el intervalo [ 1, 1] es igual a 0 1 (x x3 ) dx (x x3 ) dx

22 No todas las funciones son integrables (pero sí lo serán casi todas): - Si f es monótona en [a, b], entonces f es integrable - Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable - Si f es una función acotada con un número finito de discontinuidades, entonces f es integrable

23 No todas las funciones son integrables (pero sí lo serán casi todas): - Si f es monótona en [a, b], entonces f es integrable - Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable - Si f es una función acotada con un número finito de discontinuidades, entonces f es integrable Ejemplos: Los polinomios, la función exponencial, el logaritmo neperiano, sin(x), cos(x),... son funciones integrables en cualquier intervalo [a, b]

24 Algunas propiedades: 1. b a (αf(x) + βg(x))dx = α b a f(x)dx + β b a g(x)dx, con α, β R 2. Si f(x) 0 en [a, b], entonces b a f(x)dx 0 3. Si f(x) g(x) en [a, b], entonces b a f(x)dx b a g(x)dx 4. b a f(x) dx b a f(x)dx 5. b a f(x)dx = c a f(x)dx + c b f(x)dx, para a < b < c 6. a a f(x)dx = 0 7. b a f(x)dx = a b f(x)dx