El Teorema de Fubini-Tonelli

Transcripción

1 Capítulo 26 El Teorema de Fubini-Tonelli Veremos en este capítulo que el cálculo de una integral múltiple se reduce al de integrales simples. Concretamente se va a probar que si f(x, y) es una función medible de n + k variables, que no cambia de signo o que es integrable, entonces las integrales iteradas (26.1) ( f(x, y) dy ) dx, ( f(x, y) dx ) dy existen y son iguales, siendo su valor precisamente f. Por tanto repitiendo el proceso tantas veces como sea necesario, el cálculo de f se reducirá al de ciertas integrales simples. El teorema de Tonelli El primer caso que vamos a considerar en el que se da la igualdad entre la integral de una función y sus integrales iteradas, es el de funciones medibles no negativas. Teorema 26.1 Sea f : R n+k [0, + ] medible. Entonces: (i) La función de la variable y R k, f(x, ): y f(x, y), es medible p.c.t. (para casi todo) x R n. (ii) La función g, definida p.c.t. x por g(x) = f(x, y) dy, es medible. (iii) g dx = f (es decir la integral de f coincide con sus integrales iteradas). 261

2 262 El Teorema de Fubini-Tonelli 26.1 La demostración del teorema general puede reducirse al caso particular en que f = X E, la función característica de un conjunto medible, utilizando el siguiente hecho: 26.2 (a) Si una función f 0 satisface el teorema de Tonelli, entonces también lo satisface la función c f, cualquiera que sea la constante c 0. (b) Si {f k } es una sucesión de funciones no negativas que satisfacen el teorema de Tonelli, entonces también lo satisface la función f k. Demostración. Ambos apartados se demuestran de forma análoga. (b) Denotemos Z k = {x R n : f k (x, ) no es medible}. Por hipótesis cada uno de estos conjuntos es de medida nula. Es claro entonces que si x Z = Z k, la serie de funciones de y, f k (x, ), es medible, luego medible p.c.t. x. La función g definida en c.t.p. mediante, g(x) = f k (x, y)dy = fk (x, y)dy, es la suma de las funciones medibles (por hipótesis) y no negativas, g k (x) = f k (x, y)dy, y por tanto es una función medible. Por último g(x)dx = gk (x)dx = g k (x)dx = f k = fk = f. Como consecuencia de este resultado, la demostración del teorema de Tonelli bastaría hacerla para funciones del tipo f = X E. En efecto, éste podría extenderse ya a las funciones simples no negativas. Además si f es una función medible no negativa sabemos que existe una sucesión creciente {s k } de funciones simples no negativas que converge puntualmente a f. Escribiendo entonces f(x) = s 1 (x) + (s k+1 s k )(x) k=1 se deduce que f es una suma de funciones simples, y por tanto el teorema se extendería también a f. Si E es un subconjunto de R n+k y x R n, escribiremos E(x) = {y R k : (x, y) E}. Análogamente E(y). Puesto que el conjunto E es medible si y sólo si X E es una función medible, el teorema 26.1 para f = X E se enuncia entonces así: Lema 26.3 Sea E R n+k un conjunto medible. Entonces (i) El conjunto E(x) es medible p.c.t. x R n.

3 26.3 El Teorema de Fubini-Tonelli 263 (ii) La función g(x) = m (E(x)), es medible. (iii) m(e) = m (E(x))dx. Demostración. La haremos en varias etapas: 1. E es un intervalo, es decir E = I J. Entonces E(x) = { J si x I si x I g(x) = m(e(x)) = m(j)x I (x). g es pues una función simple y su integral, g = m(j) m(i) = m(e). 2. E es un conjunto abierto. Que el lema se satisface en este caso es consecuencia de 26.2, ya que si E es abierto, X E = X Ek, para una cierta colección numerable, {E k }, de semintervalos disjuntos dos a dos. (ver 18.9 para probar que tal colección existe). Observemos que en este caso E(x) es una unión numerable de semintervalos, luego E(x) es un conjunto medible para todo x. 3. E es un conjunto G δ acotado. Entonces E se puede escribir como intersección numerable de una sucesión decreciente de conjuntos abiertos y acotados. Sea E = U k. Se tiene: m(e) = lim m(u k ) ; E(x) = U k (x) ; m(e(x)) = lim m(u k (x)). luego E(x) medible, por ser intersección numerable de medibles. La aplicación g(x) = m(e(x)) es medible, por ser el límite de la sucesión (monótona) de funciones medibles (integrables por ser U k acotado), g k (x) = m(u k (x) y g(x)dx = lim g k (x)dx = lim m(u k ) = m(e). 4. E es un conjunto de medida nula acotado. Sea G un conjunto acotado y G δ tal que E G y m(g) = 0. Como G satisface el teorema, entonces 0 = m(g) = m(g(x))dx

4 264 El Teorema de Fubini-Tonelli 26.3 de lo que se deduce que G(x) y también E(x) G(x) son de medida nula p.c.t. x. Por tanto, E(x) medible p.c.t. x, g(x) = m(e(x)) = 0 c.s., (luego g es medible) y g = 0 = m(e). 5. E es un conjunto medible acotado. Entonces E = G \ Z, donde G es un G δ y Z G de medida nula. Por tanto m(e) = m(g) ; E(x) = G(x) \ Z(x) ; m(e(x)) = m(g(x)) p.c.t. x. Luego E(x) medible c.s., g(x) = m(e(x)) c.s. = m(g(x)) es medible y g(x)dx = m(g(x)) = m(g) = m(e). 6. E es un conjunto medible. Se escribe E como unión numerable de conjuntos medibles acotados y disjuntos (equivalentemente X E como suma de funciones características de medibles acotados), y se aplica El teorema de Fubini Como ya señalamos al principio las integrales iteradas también coinciden con la integral de la función cuando ésta es una función integrable. El enunciado preciso de este hecho lo constituye el teorema de Fubini: Teorema 26.4 Sea f : R n+k R integrable. Entonces: (i) La función de la variable y R k, f(x, ): y f(x, y), es integrable p.c.t. x R n. (ii) La función g, definida p.c.t. x por g(x) = f(x, y) dy, es integrable. (iii) g dx = f (es decir la integral de f coincide con sus integrales iteradas). Demostración. Sea f = f + f. Por hipótesis f + y f son integrables y al ser también no negativas, satisfacen el teorema de Tonelli, es decir ( f + (x, y) dy ) dx = f + < +, ( f (x, y) dy ) dx = f < +,

5 26B El Teorema de Fubini-Tonelli 265 por tanto, si denotamos por g 1 (x) = f + (x, y) dy, se tiene que g 1 es una función de x integrable y en consecuencia finita c.s. o lo que es lo mismo f + (x, ) es integrable p.c.t. x. Análogamente se prueba que f (x, ) es integrable p.c.t. x y g 2 (x) = f (x, y) dy es integrable, luego f(x, ) = f + (x, ) f (x, ) es integrable p.c.t. x. La función g(x) = f(x, y) dy = f + (x, y) dy f (x, y) dy = g 1 (x) g 2 (x) está definida c.s. y es integrable, por ser diferencia de dos funciones integrables. Por último, g(x) dx = g 1 (x) dx g 2 (x) dx ( = f + (x, y) dy ) ( dx f (x, y) dy ) dx = f + f = f. Nota. Para aplicar el teorema de Fubini-Tonelli a funciones cuyo dominio no es todo R n+k, basta tener en cuenta la fórmula f = fx E. E Por tanto, si f 0 o integrable sobre el conjunto medible E, se tiene que ( f = fx E = f(x, y)dy ) ( dx = f(x, y)dy ) dx, E E(x) A E(x) donde A = {x R n : m(e(x)) > 0}. Los conjuntos A y E(x) son los límites de integración, y el proceso descrito para su obtención será el que se seguirá habitualmente en la práctica. Ejercicios 26A Sea E un subconjunto medible de R n+k. Probar que E es de medida nula si y sólo p.c.t x R n, m(e(x)) = 0. 26B Sean A, B subconjuntos cualesquieras de R n y R k respectivamente, G un conjunto medible tal que A B G y m (A B) = m(g) y g(x) = m (G(x)). Probar que A [0, m (B)] Ord (g) y deducir de esto la fórmula m (A B) = m (A) m (B).

6 266 El Teorema de Fubini-Tonelli 26C 26C Consideremos la función f(x, y) = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2. Probar las dos integrales iteradas de f sobre el conjunto B = [0, 1] [0, 1] existen pero son diferentes. 26D Sea f una función medible. Probar que f es integrable si y sólo si alguna de las integrales iteradas de la función f es finita. 26E Determinar el recinto B para que f(x, y)dxdy = B 1 0 ( x x 2 f(x, y)dy ) dx 26F (a) Probar que en las condiciones de aplicabilidad del teorema de Fubini- Tonelli, se tiene que b a ( x f(x, y)dy ) dx = a b a ( b f(x, y)dx ) dy (b) Deducir que si f(x, y) = f(y, x) en el rectángulo B = [a, b] [a, b] entonces el valor común de las integrales anteriores es 1 f(x, y)dxdy. 2 (c) En particular, demostrar que si a > 0 entonces a 0 ( a x B f(y) y dy) dx = y a 0 f(x)dx. 26G Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y la recta x = 1. 26H Hallar f(x) = 1 x 1 x, D yzdxdydz, g(x) = 1 x donde D es el recinto limitado por los planos coordenados y los planos x + y = 1 y z = 4. 26I Calcular B sen(x + y)dxdy, donde B = {(x, y): 0 x y; 0 y 1; x + y π/2}.