Clase 14: Fórmula del Cambio de Variables

Transcripción

1 Clase 4: Fórmula del Cambio de Variables C.J. Vanegas 4 de junio de 8 Recordemos.. Método de sustitución en integrales de una variable: b f(g(t))g (t) dt g(b) a g(a) f(s) ds s g(t) ds g (t)dt t a s g(a) t b s g(b) donde f es continua y s g(t) es una función C en [a, b]. Ahora supongamos que s g(t) es, además de C, inyectiva en [a, b], entonces g (t) o g (t) en [a, b] y reescribimos la fórmula como: b a f(g(t)) g (t) dt g(b) g(a) f(s) ds Ahora cambiemos de notación: Sea t u, g x, g(t) x(u), g (t) x (u) dx, dt du, du s x, ds dx y si I [a, b] y [g(a), g(b)] [x(a), x(b)] I entonces la fórmula queda: f(x(u)) dx I du du f(x) dx I Esta fórmula se generaliza a integrales dobles: I, I y dx du d(x, y) d(u, v)

2 Teorema (Fórmula del cambio de variables). Sean y regiones elementales en R y sean T :, T (u, v) (x(u, v), y(u, v)), C, - (salvo quizás en ) y además T ( ). Entonces para cualquier función integrable f : R se tiene: f(x, y) dxdy f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv Ejemplo. Resolver (x y) dxdy, si es la región {(x, y) : x, + x y + x}, usando el cambio de variables x u, y v( + u). ibuje Solución. T no es T.L., T (u, v) (u, v( + u)). T es C pues cada coordenada lo es. (x, y) (u, v) + u, para u v + u Si u entonces puedo resolver de manera única u, v en función de x, y. x u u y v( + u) y v( + x) v y/( + x), x + x y + x y/( + x) v [, ] [, ]. f(x, y) x y, f(x(u, v), y(u, v)) f(u, v( + u)) u v( + u). f(x, y) dxdy (u v( + u))( + u) dudv (u v( + u))( + u) dvdu u + u v( + u) dvdu ( + u) du (u + u )v v (u + u ) 3 ( + u) du u + u3 3 ( + u)3 / + /3 4 + / 8/3

3 Ejemplo. Calcular la x y dxdy, en donde es la región limitada por las hipérbolasequilateras xy, xy y las rectas y x/ y y 3x, y en el primer cuadrante, usando el cambio: x (u/v) / y y (uv) /. ibuje la región. Solución. T no es lineal. T es -: (u/v) / (ũ/ṽ) / y (uv) / (ũṽ) / (u/v) (ũ/ṽ) y (uv) (ũṽ) si u, v, ũ, ṽ > u ũṽ v ũv ṽ v ũṽ v ṽ v ṽ, todos distintos de, u ũ. T es C para u, v. Resolvemos u, v en función de x, y: x (u/v) / y y (uv) / xy (u/v) / (uv) / ( u v u v)/ u y y x ( uv u/v )/ ( uv u )/ v. Luego: u xy, xy u y xy u u. v y/x, y x/ v / y y 3x v 3 / v 3. Observe que u, v son distintos de y positivos. Jacobiano: usamos (x,y) ( (u,v) (u,v) (x,y) ). En este caso es más fácil calcular (u,v) (u, v) (x, y) y x y/x + y/x y/x v y/x /x luego (x,y) (u,v) /v. Por otro lado (x,y). f(x, y) x y f(x(u, v), y(u, v)) f((u/v) /, (uv) / ) u v uv u, pues v Así: x y dxdy u v dudv 3 / u u v dvdu 3 ln(v) du / u (ln(3) + ln()) du u ln(6) 6 u3 ln(6) du ln(6) 6 8 ln(6) ln(6) 3

4 El cambio de variables a coordenadas polares f(x, y) dxdy f(r cos(θ), r sin(θ))r : dudv (Válida para T : - salvo quizás los puntos frontera de ). x r cos(θ) y y r sin(θ). Si queremos T inyectiva: r y θ π. Si r r, r constante en el plano rθ, entonces x + y r cos (θ) + r sin (θ) r, es decir, r cte (rectas) x + y (cte) (círculos). θ θ en el plano rθ corresponde a las rectas radiales y (tan(θ)x) en el plano xy: Si θ π, 3π x. Cuadriláteros curvilíneos limitados por sectores circulares y rectas radiales como por ejemplo {(x, y) : r x + y r, tan(θ )x y tan(θ )x} corresponden en el plano rθ al rectángulo [r, r ] [θ, θ ]. (x, y) Con respecto al Jacobiano: r. Si r (T no es - en r ) sigue siendo (r, θ) válida la fórmula porque r corresponde a uno de los lados de que es la gráfica de una curva suave y por lo tanto es irrelevante a efectos de integración. Sugerencia para usar el cambio de coordenadas polares: cuando en la región de integración se presentan anillos circulares o trozos de ellos. cuando en la función f(x, y) a integrar aparezca de alguna forma las expresiones: x + y y/o y x que se convertirían en r y tan(θ) respectivamente. Ejemplo 3. Calcular Solución 3. x a y x dxdy. región limitada por la elipse b x r cos θ a y r sin θ b a cos θ J b sin θ } x ar cos θ r y br sin θ θ π x a y b dxdy r ar sin θ br sin θ abr cos θ + abr sin θ abr a + y b. 4

5 ... J abr abr π πab r abr dθdr r r dr πab( 3 ( r ) 3 ) 3 πab Ejemplo 4. Calcular el área del anillo elíptico limitado por la elipse x +4y 4, x +4y 6 Solución 4. x + y ; x + y 4 x r cos θ, y r sin θ Si x x r cos θ, y r sin θ x + y r + y r, si x + y 4 r. : r, θ π. π dxdy r dθdr 4π 4π r r dr 4π( ) 6π Fórmula del cambio de variables para integrales triples Sean una región elemental en el espacio uvw, una región en el espacio xyz, T :, definida por T (u, v, w) (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), de clase C e 5

6 inyectiva excepto quizás en un conjunto que es unión de gráficas de funciones de dos variables. Entonces: f(x, y, z) dxdydz donde f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x, y, z) (u, v, w) dudvdw (x, y, z) (u, v, w) det El valor absoluto del Jacobiano es igual al volumen del paralelepípedo determinado por las x u y u z u x v y v z v x w y w z w vectores columna y mide como T distorsiona el volumen de su dominio. Aplicación a coordenadas cilíndricas. Introducimos 3 nuevas coordenadas para un punto P (x, y, z) R 3, denotadas por r, θ, y z según las fórmulas: x r cos θ, y r sin θ, z z o en forma equivalente consideramos T : R 3 T (r, θ, z) (r cos θ, r sin θ, z) Llamamos a la terna (r, θ, z) coordenadas cilíndricas del punto P Para que T sea inyectiva: r <, θ < π, < z <. Recomendado: para problemas con simetría cilíndrica (simetría respecto a una recta). La ecuación de un cilindro x + y a se ve en coordenadas cilíndricas r a. Jacobiano: (x,y,z) r (r,θ,z) f(x, y, z) dxdydz f(r cos θ, r sin θ, z)r drdθdz Se usa por lo general cuando la región de integración consta de cilindros o planos de la forma Ax + By Ejemplo 5. Calcular + (x + y ) dxdydz, es la región limitada por el cono z x + y y el plano z. 6

7 Solución 5. x r cos θ, y r sin θ, z z. + (x + y ) + r 4. : z x + y z r y z z r, θ π. Luego... π π π 9 π r ( + r )r dzdrdθ ( + r )r( r) drdθ (r r + r 5 r 6 ) drdθ Ejemplo 6. Calcular el volumen de la región limitada por los paraboloides z x + y, z 4x + 4y, el cilindro y x y el plano y 3x. Solución 6. x 3, x y 3x z x + y z r. z 4x + 4y z 4r, luego r z 4r. Proyección en el plano xy: es la región comprendida entre la parábola y x : r sin θ r cos θ r sin θ, y la recta y 3x: r sin θ 3r cos θ θ arctan(3). Así cos θ r sin θ, θ arctan(3) cos θ dv sin θ cos θ sin θ cos θ 4r r 3r 3 drdθ sin 4 θ cos 8 θ dθ r dzdrdθ tan 4 θ( + tan θ) sec θ dθ, t 4 ( + t ) dt hacer t tan θ, dt sec θ dθ 7