SEMINARIO 1: ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN

Transcripción

1 SEMINARIO 1: ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN Sistemas de coordenadas 3D Transformaciones entre sistemas Integrales de línea y superficie

2 SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR Los elementos de referencia son tres planos perpendiculares entre sí (XY, XZ, YZ), denominados planos coordenados, cuya intersección determina el origen. Lo que comúnmente se denominan ejes coordenados son la intersección de cada par de elementos de referencia. La posición del punto P se determina a través de la intersección de tres planos que pasan por él y son paralelos a los de referencia. La característica geométrica de cada uno (coordenada) es la distancia respecto al plano de referencia correspondiente.

3 SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR Tal cual se observa en la imagen, los vectores unitarios mutuamente perpendiculares a x, a y y a z, se definen como ortogonales a las superficies x=x 1, y=y 1, z=z 1. Son los denominados vectores base. app1 Se puede observar que cumplen las siguientes relaciones vectoriales: a x a y = a y a z = a x a z = 0 PRODUCTO ESCALAR a x a x = a y a y = a z a z = 1 a x x a y = a z PRODUCTO VECTORIAL a y x a z = a x a z x a x = a y El vector posición del punto P se expresa como: r = x 1 a x + y 1 a y + z 1 a z r = r = (x y z 1 2 ) 1/2

4 SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR Si quisiésemos expresar un elemento diferencial de línea para un desplazamiento ortogonal al plano x=cte, escribiríamos: dl x = dx a x Análogamente, para las otras dos direcciones ortogonales tendríamos: dl y = dy a y dl z = dz a z De forma general, para un desplazamiento en dirección arbitraria, se podría expresar: dl = dx a x + dy a y + dz a z = dr

5 SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR Los diferenciales de superficie, entendidos como vectores, se definen con módulo igual a su área y dirección ortogonal a la superficie de coordenada constante. Así * : ds x = dy dz a x ds y = dx dz a y ds z = dx dy a z El elemento de volumen correspondería al paralelepípedo delimitado por esas áreas: dv = dx dy dz * Sentido => en una superficie cerrada, saliente respecto a ésta.

6 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS Las coordenadas del punto P son el radio del cilindro (r o ρ), el ángulo que forma el semiplano con el eje X (φ o ϕ) y la altura del plano respecto al de referencia (z, coincidente con la cartesiana). Nótese que de esas tres coordenadas una es el ángulo φ [0, 2π], mientras que las otras dos son longitudinales (r o ρ, z). La aparición de una coordenada angular va a complicar las expresiones analíticas de los elementos de línea, superficie y volumen.

7 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS De forma análoga al sistema cartesiano, los vectores unitarios mutuamente perpendiculares a r, a φ y a z, se definen como ortogonales a las superficies r=r 1, φ=φ 1, z=z 1. Obsérvese, no obstante, que estos vectores base no son fijos. app2 Se puede observar que cumplen las siguientes relaciones vectoriales: a r a φ = a φ a z = a r a z = 0 a r a r = a φ a φ = a z a z = 1 a r x a φ = a z a φ x a z = a r a z x a r = a φ El vector posición del punto P se expresa como: r = r 1 a r + z 1 a z r = r = (r z 1 2 ) 1/2

8 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS Si quisiésemos expresar los elementos diferenciales de línea para desplazamientos ortogonales a las tres superficies, escribiríamos: dl r = dr a r dl φ = r dφ a φ dl z = dz a z De forma general, para un desplazamiento en una dirección arbitraria, se podría expresar: dl = dr a r + r dφ a φ + dz a z = dr

9 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS Los diferenciales de superficie se definen de nuevo con módulo igual a su área y dirección ortogonal a la superficie de coordenada constante. Así * : ds r = r dφ dz a r ds φ = dr dz a φ ds z = r dr dφ a z El elemento de volumen correspondería al paralelepípedo delimitado por esas áreas: dv = r dr dφ dz * Sentido => en una superficie cerrada, saliente respecto a ésta.

10 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS Los elementos de referencia son los mismos que para esféricas: el origen, un plano que pasa por él (plano XY cartesiano), una recta orientada sobre dicho plano (eje X cartesiano) y otra ortogonal al mismo (eje Z cartesiano), que también pasan por el origen. La posición del punto P se localiza a través de la intersección de tres superficies que pasan por él: una esfera centrada en el origen; un cono cuyo eje coincide con el Z y cuyo vértice es el origen; y un semiplano ortogonal al de referencia, limitado por el eje Z.

11 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS Las coordenadas del punto P son el radio de la esfera (r o R), la semiapertura del cono (θ) y el ángulo que forma el semiplano con el eje X (φ o ϕ, como en cilíndricas). De esas tres coordenadas solo el radio (r o R) es longitudinal; las otras dos son angulares θ [0, π] y φ [0, 2π]. La presencia de dos coordenadas angulares va a complicar aún más las expresiones analíticas de los elementos de línea, superficie y volumen.

12 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS TERRESTRES CELESTES

13 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS Nuevamente, los vectores unitarios mutuamente perpendiculares a R, a θ y a φ, se definen como ortogonales a las superficies R=R 1, φ=φ 1, θ=θ 1. Al igual que sucede en cilíndricas, estos vectores base no son fijos. app3 Se puede observar que cumplen las siguientes relaciones vectoriales: a R a θ = a θ a φ = a R a φ = 0 a R a R = a θ a θ = a φ a φ = 1 a R x a θ = a φ a θ x a φ = a R a φ x a R = a θ El vector posición del punto P se expresa como: r = R 1 a R r = r = R 1

14 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS Si quisiésemos expresar los elementos diferenciales de línea para desplazamientos ortogonales a las tres superficies, escribiríamos: dl R = dr a R dl θ = R dθ a θ dl φ = R senθ dφ a φ De forma general, para un desplazamiento en una dirección arbitraria, se podría expresar: dl = dr a R + R dθ a θ + R senθ dφ a φ = dr

15 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS Los diferenciales de superficie se definen de nuevo con módulo igual a su área y dirección ortogonal a la superficie de coordenada constante. Así * : ds R = R 2 senθ dθ dφ a R ds θ = R dr senθ dφ a θ ds φ = R dr dθ a φ El elemento de volumen correspondería al paralelepípedo delimitado por esas áreas: dv = R 2 senθ dr dθ dφ * Sentido => en una superficie cerrada, saliente respecto a ésta.

16 INTEGRAL DE LÍNEA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Recordemos la expresión del trabajo realizado por una fuerza constante en un cierto desplazamiento rectilíneo: W = F d cosθ = F d donde F es la fuerza aplicada, d el desplazamiento y θ el ángulo formado por los dos vectores. Si la fuerza aplicada fuese variable y/o la trayectoria no fuese rectilínea (o ambas cosas a un tiempo), podríamos evaluar trabajos incrementales asociados a pequeños tramos en los que se podría considerar la fuerza como aproximadamente constante y/o la dirección y el sentido del desplazamiento como básicamente invariables: W = F (r) l (r) Aquí r denota la posición en cada tramo de la trayectoria en que esta se divide.

17 INTEGRAL DE LÍNEA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Si la integral comienza y termina en el mismo punto, esto es, si se integra a lo largo de una trayectoria cerrada, la magnitud evaluada recibe el nombre de circulación. Matemáticamente se denota como: F a d l = a F d l = C F La circulación dependerá en general tanto de la función vectorial como de la trayectoria seguida. Volveremos sobre esta expresión más adelante.

18 INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Consideremos una tubería por la que circula agua. Para simplificar, supongamos que el tubo es de sección constante y que la velocidad a la que fluye el agua es la misma en todo punto del interior. Si queremos determinar el caudal, basta con que multipliquemos el módulo de la velocidad (celeridad) por el área de la sección: caudal = v S Se ve en la figura que si a S le damos carácter vectorial (ortogonal a la superficie y sentido idéntico a la velocidad del agua), podemos escribir: v S = v S Se observa además, que si tomamos una sección que no sea ortogonal al flujo del agua, el resultado de esa operación es invariante: en el producto escalar aparece el coseno del ángulo formado por los vectores, pero la superficie no ortogonal excede el área de la normal en ese mismo factor.

19 INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL La descripción que hemos realizado, evidentemente, es una idealización. La viscosidad del agua y el rozamiento del fluido con las paredes de la tubería conducen a una distribución de velocidades análoga a la ilustrada. Para evaluar el caudal en este flujo no uniforme podemos dividir el tubo en elementos de sección pequeña, para los cuales v será aproximadamente constante (tanto más cuanto menor sea dicha sección). caudal= lim Δ S i 0 i v i Δ S i = v d S i = Φ v S Esta es la definición matemática de la integral de superficie de la velocidad, o flujo del vector velocidad: la integral doble, evaluada a través de una superficie, del producto escalar de la función vectorial por el elemento diferencial de área en cada punto de dicha superficie.

20 INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Si el flujo se evalúa a través de una superficie cerrada, su magnitud informa sobre la posible presencia de fuentes o sumideros. Φ v = v d S= S cerrada v d S S cerrada Si no los hubiese, la cantidad neta de agua que fluiría hacia el volumen englobado sería igual a la que lo abandonaría, y el flujo neto sería 0. Si el volumen englobase una fuente de agua, del volumen saldría más agua de la que fluiría a su interior, y tomaremos el flujo neto como positivo. Obsérvese que esto requiere que en la expresión matemática los diferenciales de superficie tengan un sentido saliente respecto al volumen encerrado. Si dentro del volumen hay un sumidero de agua, el flujo neto será negativo.