I. Fundamentos matemáticos. ticos. Campos Electromagnéticos. ticos. 1. Coordenadas curvilíneas. Ingeniero de Telecomunicación

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Daniel Navarrete Naranjo
hace 7 años
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1 I. Fundamentos matemá 1. Coordenadas curvilíneas Gabriel Cano Gómez, G 2009/10 Dpto. Física F Aplicada III (U. Sevilla) Campos Electromagné Ingeniero de Telecomunicación

2 I. Fundamentos matemá Gabriel Cano G Gómez, 09/10 1. Coordenadas curvilíneas Introducción. Descripción del espacio físico Coordenadas curvilíneas: propiedades Líneas y superficies coordenadas Elementos de geometría diferencial 2. Sistemas de coordenadas ortogonales 3. Campos escalares 4. Campos vectoriales 5. Divergencia y rotacional 6. peradores diferenciales 7. Teoremas integrales Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 2

3 Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Introducción Magnitudes físicasf descripción cuantitativa de las propiedades de los fenómenos (electromagné) susceptibles de medida correspondencia con entes matemá necesidad de un álgebra tipos de magnitudes: escalar vectorial tensorial T v 3 W 3 3 Campos escalares y vectoriales describen magnitudes con valores distintos en cada punto del espacio ( 3 ) se pueden expresar como funciones de la posición: T=T(r); v=v(r) (estacionarios) y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t) Temperatura (T) y velocidad (v) en un fluido en movimiento T T(;t) T() X r v v(;t) v() Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 3

4 Descripción n del espacio (I) {x,y,z}: Coordenadas cartesianas E 3 Δ 3 Π 1 r, tal que r = R 3 Π 2 q 2 =y q 1 =x z (x,y,z) Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Δ Π 3 q 3 =z Δ 2 X x υ 1 υ 3 x y υ 2 r(x,y,z) z r =x+y+z =x υ 1 +y υ 2 +z υ 3 y Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 4

5 Descripción n del espacio (II) {ρ,ϕ,z}: Coordenadas cilíndricas r, tal que r = E 3 Π 2 Δ 3 Π 1 R 3 q 1 = ρ z (ρ,ϕ,z) Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Δ 1 q 2 = ϕ Π 3 q 3 =z Δ 2 X υ r(ρ,ϕ,z) 3 υ z 2 υ1 x ϕ ρ y r =x+y+z =ρ cosϕ υ 1 +ρ senϕ υ 2 +z υ 3 Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 5

6 Descripción n del espacio (III) {r,θ,ϕ}: Coordenadas esféricas E 3 Δ 3 Π 1 r, tal que r = R 3 Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Δ 1 Π 2 q 3 q 2 =ϕ (r,θ,ϕ) =θ θ r υ r(r,θ,ϕ) q =r 3 1 z Δ 2 υ υ 1 2 x r sen θ ϕ Π 3 X y r =x+y+z =rsenθ cosϕ υ 1 +rsenθ senϕ υ 2 +r cosθ υ 3 Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 6

7 Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Coordenadas curvilíneas. ropiedades (I) Qué son? {q 1, q 2, q 3 }: terna de números reales (q i R) valores de parámetros geométricos: r=r (q 1, q 2, q +z(q 1, q 2, q ) υ 3 3 {υ 1 ; υ 2 ;υ 3 }, vectores ortogonales unitarios fijos Requisitos Δr, q ) 3 r(q 1 ) ' = x(q 1, q 2, q, q 3 ) υ 1 + y(q 1, q descripción continua del espacio: Δq 0 ( i = 1,2,3) Δr 0 i sólo si x (q 1 ), y (q 1 ), z (q 1 ) son funciones continuas y derivables descripción de todo entorno de :, q 2, q, q 3 ) υ 2 + e i ()=[ r/ q i ] linealmente independientes (no coplanarios): r r r 0 q q q X x υ 1 υ 3 y υ 2 r(q' 1,q' 2,q' 3 ) E 3 =r R 3 r r r Δr Δ q1+ Δ q2 + Δq3 q1 q 2 q 3 z ( q = q +Δq ) i i i Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 7

8 Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Coordenadas curvilíneas. ropiedades (II) Base natural. Sistema de referencia local tres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son base de R 3 r r r ; ; = [ e1; e2; e ] tal que 3 q q q v = v1e1+ v2e2+ v3e3; v en particular, dr=dq 1 e 1 +dq 2 e 2 +dq 3 e 3 base natural y punto forman sistema local r r = ei ( q, q, q 1 2 3) ei ( q, q, q ) = q q i Coordenadas ortogonales su base natural es ortogonal en todo 2 ei ei = hi > 0 e1 e2 e3 e1 ei ej = 0; i j e = h( q, q, q ) 1 factor de escala: i i Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 8 i ' e' 3 r(q' 1,q' 2,q' 3 ) X Base físicaf sica: u e' 2 e' 1 υ 1 υ 3 υ 2 vectores ortogonales unitarios u = u u = 1; u u = 0 e 2 e 1 e 3 [ u u u ] v r(q 1 ) 1; 2; 3 tal que ( q, q, q ) = e ( q, q, q ) h i i i i i i i j

9 Líneas y superficies coordenadas (I) Coordenadas curvilíneas {q 1 }: r(q 1 )0R 3 (q 1 )0E 3 Línea coordenada Recta tangente Coordenadas ortogonales (a,b,c) e 1 = r q 1 e e 3 2 lano tangente Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Δ i [ ] Π [ ] i X υ 1 υ 3 r(q 1 =a;q 2 =b;q 3 =c) υ 2 Superficie coordenada Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá 9

10 Líneas y superficies coordenadas (II) Coordenadas curvilíneas {q 1 }: r(q 1 )0R 3 (q 1 )0E 3 Coordenadas ortogonales Gabriel Cano G Gómez, 09/10 10 Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá

11 Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Elementos de geometría a diferencial (I) Elementos geométricos estudio local de magnitudes en torno a 3 { q i = qi + dq i} i = 1,2,3 elementos geométricos de dicho entorno Diferencial de camino variación infinitesimal de vector posición, dr dr = dqe + dq e + dq e elemento de arco ds: longitud de dr ds = dr = dr dr dr 2 dr 3 dr ds dr 1 11 Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá

12 Gabriel Cano G Gómez, 09/10 Elementos de geometría a diferencial (II) Diferencial de superficie paralelogramo con lados dr i y dr j ; descrito por: ds = dr dr ds = dr dr ds = dr dr área y orientación: dsi = drj drk sinθ i i j k dsi ej, ek Diferencial de volumen paralelepípedo con aristas dr 1, dr 2 y dr 3 : dτ = dri dsi dτ = dr i dr dr ( ) dτ dr 2 12 Campos Electromagné (I. Telecomunicación) n) I. Fundamentos matemá dr 1 θ 1 ds 1 dr 3

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