Producto vectorial Definición Interpretación geométrica Producto mixto
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- Sofia Redondo Ramos
- hace 8 años
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1 Producto vectorial Definición Interpretación geométrica Producto mixto c Jana Rodriguez Hertz p. 1/2
2 Producto vectorial - definición Dados X = (x 1,x 2,x 3 ) Y = (y 1,y 2,y 3 ) c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2
3 Producto vectorial - definición Dados X = (x 1,x 2,x 3 ) Y = (y 1,y 2,y 3 ) el producto vectorial X Y se define como: c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2
4 Producto vectorial - definición Dados X = (x 1,x 2,x 3 ) Y = (y 1,y 2,y 3 ) el producto vectorial X Y se define como: ( x 2 x 3 X Y = y 2 y 3,, x 1 x 3 y 1 y 3 x 1 x 2 y 1 y 2 ) c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2
5 Producto vectorial - definición Dados X = (x 1,x 2,x 3 ) Y = (y 1,y 2,y 3 ) el producto vectorial X Y se define como: ( x 2 x 3 X Y = y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ) c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2
6 Observación 1 Se puede recordar por la fórmula e 1 e 2 e 3 X Y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2
7 Observación 2 Producto escalar: : R 3 R 3 R (X,Y ) X Y c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2
8 Observación 2 Producto vectorial: : R 3 R 3 R 3 (X,Y ) X Y c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2
9 Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2
10 Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) X Y = e 1 e 2 e = c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2
11 Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) X Y = e 1 e 2 e = (2 6, 9 1, 2 6) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2
12 Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) X Y = e 1 e 2 e = ( 4, 8, 4) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2
13 Propiedades c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2
14 Antisimetría Para todo par de vectores X,Y R 3 se tiene: c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2
15 Antisimetría Para todo par de vectores X,Y R 3 se tiene: X Y = Y X c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2
16 Antisimetría Para todo par de vectores X,Y R 3 se tiene: X Y = Y X el producto vectorial es ANTISIMÉTRICO c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2
17 Multilinealidad Para todo X,Y,Z R 3, y para todo α,β R (αx) Z = α(x Z) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2
18 Multilinealidad Para todo X,Y,Z R 3, y para todo α,β R (αx) Z = α(x Z) (X + Y ) Z = (X Z) + (Y Z) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2
19 Multilinealidad Para todo X,Y,Z R 3, y para todo α,β R (αx) Z = α(x Z) (X + Y ) Z = (X Z) + (Y Z) X (αz) = α(x Z) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2
20 Multilinealidad Para todo X,Y,Z R 3, y para todo α,β R (αx) Z = α(x Z) (X + Y ) Z = (X Z) + (Y Z) X (αz) = α(x Z) X (Y + Z) = (X Y ) + (X Z) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2
21 Multilinealidad Para todo X,Y,Z R 3, y para todo α,β R (αx) Z = α(x Z) (X + Y ) Z = (X Z) + (Y Z) X (αz) = α(x Z) X (Y + Z) = (X Y ) + (X Z) el producto vectorial es MULTILINEAL c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2
22 Interpretación geométrica (I) Para todo X,Y R 3 : X Y X c Jana Rodriguez Hertz p. 9/2
23 Interpretación geométrica (I) Para todo X,Y R 3 : X Y X X Y Y c Jana Rodriguez Hertz p. 9/2
24 Interpretación geométrica (I) Para todo X,Y R 3 : X Y X X Y Y c Jana Rodriguez Hertz p. 9/2
25 Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es c Jana Rodriguez Hertz p. 10/2
26 Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es π)x = P + λu + µv λ,µ R c Jana Rodriguez Hertz p. 10/2
27 Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es π)x = P + λu + µv λ,µ R entonces N = U V es un vector normal al plano, c Jana Rodriguez Hertz p. 10/2
28 Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es π)x = P + λu + µv λ,µ R entonces N = U V es un vector normal al plano, π)(x P) N = 0 es una ecuación reducida del plano π c Jana Rodriguez Hertz p. 10/2
29 Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son: x = 1 +λ µ y = 1 +2λ +µ z = 2 +λ 2µ c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2
30 Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son: x = 1 +λ µ y = 1 +2λ +µ z = 2 +λ 2µ P = (1, 2, 2) U = (1, 2, 1) V = ( 1, 1, 2) c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2
31 Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son: x = 1 +λ µ y = 1 +2λ +µ z = 2 +λ 2µ P = (1, 2, 2) U = (1, 2, 1) V = ( 1, 1, 2) U V = e 1 e 2 e = c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2
32 Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son: x = 1 +λ µ y = 1 +2λ +µ z = 2 +λ 2µ P = (1, 2, 2) U = (1, 2, 1) V = ( 1, 1, 2) U V = ( 5, 1, 3) c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2
33 Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son: x = 1 +λ µ y = 1 +2λ +µ z = 2 +λ 2µ P = (1, 2, 2) U = (1, 2, 1) V = ( 1, 1, 2) U V = ( 5, 1, 3) π)(x P) ( 5, 1, 3) = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2
34 Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son: x = 1 +λ µ y = 1 +2λ +µ z = 2 +λ 2µ P = (1, 2, 2) U = (1, 2, 1) V = ( 1, 1, 2) U V = ( 5, 1, 3) π) 5(x 1) + (y + 1) + 3(z + 2) = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2
35 Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son: x = 1 +λ µ y = 1 +2λ +µ z = 2 +λ 2µ P = (1, 2, 2) U = (1, 2, 1) V = ( 1, 1, 2) U V = ( 5, 1, 3) π) 5x + y + 3z + 12 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2
36 Intersección de 2 planos El vector director de la recta dada por: { a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 r) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 c Jana Rodriguez Hertz p. 12/2
37 Intersección de 2 planos El vector director de la recta dada por: { a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 r) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 es: (a 1,b 1,c 1 ) (a 2,b 2,c 2 ) c Jana Rodriguez Hertz p. 12/2
38 Interpretación gemoétrica (II) Dados X,Y R 3, tenemos X Y = X Y sen (X,Y ) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/2
39 Interpretación gemoétrica (II) Dados X,Y R 3, tenemos X Y = X Y sen (X,Y ) la terna (X,Y,X Y ) es directa c Jana Rodriguez Hertz p. 13/2
40 Terna directa - definición Decimos que una terna de vectores (ordenados) X,Y,Z R 3 es directa, c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2
41 Terna directa - definición Decimos que una terna de vectores (ordenados) X,Y,Z R 3 es directa, si el determinante x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2
42 Terna directa - definición Decimos que una terna de vectores (ordenados) X,Y,Z R 3 es directa, si el determinante x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 0 z 1 z 2 z 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2
43 Producto mixto Dados X,Y,Z R 3, se define el producto mixto de X,Y,Z como: c Jana Rodriguez Hertz p. 15/2
44 Producto mixto Dados X,Y,Z R 3, se define el producto mixto de X,Y,Z como: x 1 x 2 x 3 [X,Y,Z] = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 15/2
45 Producto mixto Dados X,Y,Z R 3, se define el producto mixto de X,Y,Z como: x 1 x 2 x 3 [X,Y,Z] = y 1 y 2 y 3 = (X Y ) Z z 1 z 2 z 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 15/2
46 Observación En particular Una terna X,Y,Z R 3 es directa [X,Y,Z] 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 16/2
47 Más aplicaciones c Jana Rodriguez Hertz p. 17/2
48 Áreas Todo par de vectores X,Y R 3 no nulos definen un paralelogramo P. c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2
49 Áreas Todo par de vectores X,Y R 3 no nulos definen un paralelogramo P. c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2
50 Áreas Todo par de vectores X,Y R 3 no nulos definen un paralelogramo P. que tiene un área bien definida. c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2
51 Áreas Todo par de vectores X,Y R 3 no nulos definen un paralelogramo P. Para calcular área(p) = c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2
52 Áreas Todo par de vectores X,Y R 3 no nulos definen un paralelogramo P. Para calcular área(p) = X Y senθ c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2
53 Áreas Todo par de vectores X,Y R 3 no nulos definen un paralelogramo P. Para calcular área(p) = X Y c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2
54 Áreas Todo par de vectores X,Y R 3 no nulos definen un paralelogramo P. X Y es el área del paralelogramo definido por X e Y c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2
55 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
56 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
57 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
58 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V prisma es X Y El área de la base del c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
59 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V El área de la base del prisma es X Y La altura del prisma es Z cosψ c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
60 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V entonces V = El volumen es c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
61 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V entonces El volumen es V = X Y Z cosψ c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
62 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V entonces V = ±(X Y ) Z El volumen es c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
63 Volúmenes Sean X,Y,Z R 3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V entonces V = ±[X,Y,Z] El volumen es c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2
64 Distancia de un punto a una recta Dado un punto P R 3 y una recta r)x = Q + λv c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2
65 Distancia de un punto a una recta Dado un punto P R 3 y una recta r)x = Q + λv se define la distancia de P a r como: c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2
66 Distancia de un punto a una recta Dado un punto P R 3 y una recta r)x = Q + λv se define la distancia de P a r como: d(p,r) = min{d(p,x) : X r} c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2
67 Distancia de un punto a una recta Dado un punto P R 3 y una recta r)x = Q + λv se define la distancia de P a r como: d(p,r) = min{ P X : X r} c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2
68 Distancia de un punto a una recta Dado un punto P R 3 y una recta r)x = Q + λv se define la distancia de P a r como: d(p,r) = min{ P Q λv : λ R} c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2
69 Distancia de un punto a una recta Dado un punto P R 3 y una recta r)x = Q + λv se define la distancia de P a r como: d(p,r) = min{ P Q λv : λ R} d(p,r) = W.senθ c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2
70 Distancia de un punto a una recta Dado un punto P R 3 y una recta r)x = Q + λv se define la distancia de P a r como: d(p,r) = min{ P Q λv : λ R} d(p,r) = V W V c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2
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