CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

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1 CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2, mientras que la cuaterna ( 2 5, 4, π 3, 5 3) es un vector de R 4. También es factible considerar a los propios números reales como vectores de una sola coordenada, o vectores de R. En este caso, no se suelen escribir los paréntesis. A estos vectores de una sola coordenada también se les llama escalares. Así, 0, 3.98, 4, 067 ó son escalares. Hay dos tipos de operaciones básicas con vectores, a saber, la suma y el producto por escalares. Ellas serán las estudiadas en esta sección. Dados dos vectores u = (x 1, x 2,..., x n ) y v = (y 1, y 2,..., y n ) del mismo número de coordenadas, se define la suma u + v de u y v como el vector de n coordenadas u + v = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ). Resulta evidente que esta definición no permite sumar vectores de distinto número de coordenadas. He aquí algunos ejemplos de suma de vectores: ( 2, 5) + ( 1 2, 3) = ( 3, 2), (0, 0, 0, 0) + (2, 1, 0, 1) = (2, 1, 0, 1), 2 (3, 6, 7) + ( 3, 6, 7) = (0, 0, 0), = 7. Como puede observarse, la suma de vectores se parece bastante a la suma ordinaria de números reales. Aparte de que esta última se interpreta como suma de vectores de una sola coordenada, ambas satisfacen las propiedades de definición de un grupo conmutativo. 2

2 Por grupo se entiende a un conjunto G provisto de una operación que a cada par de elementos a y b de G le asocia el elemento a b de G que satisface las condiciones: i) a (b c) = (a b) c, cualesquiera que sean a, b y c de G (asociatividad). ii) Existe un elemento e, denominado elemento neutro, tal que a e = e a = a, para cada a G. iii) Para cada a de g, existe un elemento b, llamado el inverso de a, tal que a b = b a = e. Un grupo G es conmutativo si no importa el orden en el que se opera con los elementos, esto es, si a b = b a para cada par de elementos a, b G. En R n el elemento neutro para la suma de vectores es el vector (0, 0,..., 0) cuyas n coordenadas son todas nulas. A este vector se le conoce como el vector cero y se representa por el símbolo 0. No suele haber confusión en utilizar el mismo signo para el número 0 que para cualquiera de los vectores cero de n coordenadas. Por ejemplo, una expresión del tipo (7, 8) + 0 solo adquiere significado si el segundo sumando representa al vector 0 = (0, 0) de R 2. El opuesto de un vector v se denota por v y se obtiene de v cambiando el signo de cada una de sus coordenadas. Así, (4, 5, 0, 2) = ( 4, 5, 0, 2). La otra operación básica con vectores es el producto por escalares, a los cuales denotaremos mediante letras griegas. Dado un escalar λ R y un vector v = (x 1, x 2,..., x n ), se define el producto λv como el vector que se obtiene de v al multiplicar cada una de sus coordenadas por λ, es decir, λv = (λx 1, λx 2,..., λx n ). En definitiva, el producto por escalares toma como datos a un escalar (un número real) y un vector de n coordenadas y devuelve como resultado un vector, también de n coordenadas. He aquí algunos ejemplos de producto de escalares por vectores: 2( 1 2, 6, 0, 1) = (1, 12, 0, 2), 0( 7, 5) = (0, 0), 1(3, 3, 3) = ( 3, 3, 3). 3

3 El producto por escalares satisface las siguientes propiedades * (λ + µ)u = λu + µu, * λ(u + v) = λu + λv, * 1 u = u, * λ(µu) = (λµ)u, cualesquiera que sean los escalares λ y µ y los vectores u y v de R n. Otras propiedades evidentes son: i) 0u = 0, cualquiera que sea el vector u. ii) λ0 = 0, cualquiera que sea el escalar λ. iii) λu = 0 solo se satisface si λ = 0 o u = 0. Obsérvese que en las igualdades expresadas en las tres propiedades anteriores, el cero de los primeros miembros ha de ser el escalar 0, mientras que los ceros que aparecen en los segundos miembros representan al vector cero. iv) ( 1)u = u, cualquiera que sea el vector u. Del conjunto R n provisto de la suma de vectores y el producto por escalares se dice que posee una estructura de espacio vectorial. Para n = 1, 2 ó 3, hay métodos sencillos de representación gráfica de los vectores de n coordenadas que recordaremos aquí. Los escalares, o vectores de una coordenada, se representan sobre una recta continua en la que se elige un punto O como origen de medidas y un segundo punto U cuya distancia a O ejerce como unidad de medida. Sobre el punto O se representa al escalar 0, y sobre U, al 1. El origen O divide a la recta en dos semirrectas, una de las cuales contiene a U. Sobre ésta es sobre la que reposarán los escalares positivos, dejando a la otra semirrecta como soporte de los escalares negativos. Un escalar α, dependiendo de su signo, caerá sobre una de las dos semirrectas a una distancia de O equivalente a su valor absoluto y estimada mediante la medida patrón: el segmento de extremos O y U. 4

4 Figura II.1 No hay inconveniente en identificar a cada escalar con su representación gráfica sobre la recta. De ahí que en ocasiones se hable de R como de la recta real. Si se pretende representar a cantidades muy grandes en valor absoluto, convendrá tomar un U próximo a O, mientras que resulta útil hacer lo contrario si lo que se desea es representar cantidades cercanas a 0. Aquí, la suma de números reales se interpreta como sigue, si el escalar λ está determinado por el punto P, y el escalar µ por el punto Q, se transporta el segmento de extremos O y Q hasta hacer coincidir O con P. Tras el transporte, el punto donde haya ido a parar Q representará al escalar λ + µ(véase la figura II.1). Figura II.1b Figura II.1c 5

5 Para el espacio vectorial R 2 se suele recurrir a un par de rectas r y s denominadas ejes que se cortan en un punto O. Tomados sendos puntos, U de la primera y U de la segunda, ambos distintos de O, pueden ser representados parejas de escalares según el procedimiento descrito con anterioridad. Pues bien, cada vector u = (x 1, x 2 ) distinto de 0 queda representado por una flecha con origen en O y cuyo extremo es el punto en el que la paralela a s por x 1 corta a la paralela a r por x 2. El vector nulo se representa por el punto O. (Véase la figura II.2). Figura II.2 Puesto que solo se ha impuesto que r y s sean secantes y que U caiga sobre r, U sobre s y U O U, hay una infinidad de formas de representar al espacio R 2. Desde el punto de vista de los espacios vectoriales, que es el tratado en esta sección, no hay diferencias esenciales entre ellas. No obstante, lo normal es dibujar a r en horizontal, a s en vertical y escoger U y U equidistantes de O con U a la derecha del origen y U por encima (Véase la figura II.3). 6

6 Figura II.3 La suma de vectores se interpreta gráficamente con el sentido habitual de la física, la conocida regla del paralelogramo, esquematizada en la figura II.3). En caso de que dos vectores estén contenidos en la misma recta, su suma gráfica se realiza como la de números reales descrita con anterioridad. El producto de un escalar λ por un vector u 0 proporciona otro vector cuyo extremo se sitúa sobre la recta determinada por O y el extremo de u (Véase la figura II.4). Figura II.4 La representación de vectores de 3 coordenadas es análoga a la de 2. Se escogen ahora tres rectas r, s y t, normalmente perpendiculares dos a 7

7 dos (aunque esta condición no es imprescindible, sino que es suficiente con que no sean coplanarias) que concurran en un punto O. Sobre cada recta se eligen sendos puntos unidad U, U y U distintos de O. Como resulta complicado dibujar en el espacio (nuestras hojas de papel son planas, así como las pizarras y las pantallas de ordenador), se utiliza, por comodidad, algún tipo de perspectiva, bien la caballera, la axonométrica o la cúbica, para proyectar la representación en un plano. El vector 0 queda representado por el punto O. Cualquier otro vector u = (x, y, z) se representa por la suma gráfica de los vectores u x, u y y u z de origen O y extremos x, y y z respectivamente, bien usando la regla del paralelogramo, si es que no están contenidos en la misma recta, o utilizando el método mencionado más arriba para la suma de segmentos. De nuevo el producto de un escalar por un vector tiene la misma interpretación gráfica que la dada para R 2. (Véase la figura II.5). Figura II.5 Por desgracia no hay un procedimiento lo suficientemente visual como para permitirnos la representación gráfica en espacios R n con n 4. Un concepto clave para el estudio de los espacios vectoriales es el de combinación lineal. Dados k vectores u 1, u 2,..., u k de un espacio vectorial R n, por combinación lineal de los u i se entenderá a cualquier expresión del 8

8 tipo λ 1 u 1 + λ 2 u λ k u k, donde λ 1, λ 2,..., λ k son k escalares. Por ejemplo, (0, 5) es combinación lineal de ( 1, 3) y (4, 2), pues puede escribirse 2( 1, 3) + 1 (4, 2) = ( 2, 6) + (2, 1) = (0, 5). 2 Una base de un espacio vectorial no es sino una lista ordenada de vectores B = (u 1, u 2,..., u n ) con la propiedad de que cualquier vector v del espacio se expresa de forma única como combinación lineal v = λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n de los u i. La unicidad se entiende en el sentido de que si se pudiera escribir otra expresión v = µ 1 u 1 + µ 2 u µ n u n, entonces han de coincidir necesariamente todos los escalares (λ i = µ i para cada i). De ahí que tenga sentido asignar a cada vector v la n upla (λ 1, λ 2,..., λ n ) de escalares que figuran en la expresión de aquel como combinación lineal de estos. A tal n upla se la conoce como coordenadas de v en la base B. A continuación se recuerdan algunos resultados importantes sobre bases: * Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores, denominado la dimensión del espacio. * En R n, la lista ordenada (e 1, e 2,..., e n ), con e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0, 0,..., 1) y, en general, e i una n upla con todas sus coordenadas nulas salvo la i-ésima que es 1, constituye una base llamadabase canónica. * Fijada una base B en R n, las coordenadas de la suma de dos vectores no son sino la suma (como vectores de R n ) de sus coordenadas. El vector 9

9 cero tiene por coordenadas la n upla llena de ceros. Las coordenadas de v se obtienen cambiando el signo de las coordenadas de v. En dimensiones pequeñas es fácil reconocer de un vistazo a una base mediante su representación gráfica. En R cualquier número distinto de 0 constituye una base. En R 2, basta para ello que los dos vectores no estén contenidos en la misma recta. Tres vectores de R 3 forman una base si no son coplanarios, es decir, si no hay un plano que aloje a los trague a los tres a la vez. ( figura II.5). Más adelante nos enfrentaremos con la coexistencia de dos base distintas en el mismo espacio vectorial. Ello se originará, como veremos en su momento, en que cada observador lleva consigo sus propio reloj y su vara de medir. A fin de cuentas, fijar una base en un espacio vectorial no es sino establecer un sistema de patrones para realizar mediciones. En semejantes circunstancias nos será necesario un método para, conocidas las coordenadas de un vector en una de las bases, encontrar las coordenadas del mismo vector en la otra base. El problema queda resuelto si se conocen las coordenadas de cada uno de los vectores de una base con respecto a la otra base. Pero antes de abordar la cuestión, recordaremos aquí algo de cálculo matricial. Una matriz n m dispuestos en n filas y m columnas en la forma a 11 a a 1m a 21 a a 2m no es más que una tabla de n m números reales a n1 a n2... a nm A la matriz anterior se la suele denotar, para resumir, en la forma (a ij ). El doble subíndice se utiliza para indicar que el elemento a ij de la matriz reposa. en la i-ésima fila y la j ésima columna. Por ejemplo, en la matriz 2 3 ( ) π, 9 7, el elemento a 12 es 5, y el a 33 es π 3. De una matriz de una sola fila se dice que es un vector fila. A las matrices de una sola columna se les llama vectores 10

10 columna. Entre dos matrices A y B puede definirse un producto siempre que el número de columnas de A coincida con el de filas de B. El resultado de la operación será una matriz con el mismo número de filas que el de A e igual cantidad de columnas que B. Se introducirá este producto por pasos. Comenzaremos concretando cómo se multiplica un vector fila 1 n por un vector columna n 1. Si A = ( a 11 a a 1n ) y B = b 11 b 21. b n1, entonces AB = a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1. Al ser el resultado una matriz 1 1, o sea, un escalar, hemos obviado los paréntesis entre los que se suele encerrar a las matrices. Por ejemplo, ( ) 2 1 = ( 1)2 + 0( 1) + 6( 2) = Sean ahora A = (a ij ) una matriz n m y B una matriz m p. Se introduce ahora el producto AB de A por B como la matriz C = (c ij ) de n filas y p columnas cuyo elemento c ij se obtiene de multiplicar, según la regla expuesta más arriba, el vector fila constituido por la i ésima fila de A por el vector columna constituido por la j ésima columna de B. He aquí una muestra del producto de dos matrices: ( ) = = ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)2 + 0( 1) = ( 3)( 1) ( 1) + ( 3)2 3 7 Ahora estamos en condiciones de abordar el problema del cambio de base. Sean B = (u 1, u 2,..., u n ) y B = (v 1, v 2,..., v n ) dos bases de R n. Supongamos que conocemos las coordenadas de cada u i en la base B. Denótense estas 11

11 mediante (a i1, a i2,..., a in ), lo cual significa que u i = a i1 v 1 +a i2 v a in v n. El primer subíndice de cada a ij (el i) indica el vector de B del que forma parte como coordenada y, el segundo (el j), el vector de B al que multiplica en la combinación lineal. Sea A la matriz n n integrada por estos n n escalares, dispuestos en filas y columnas según se indica en su par de subíndices. Así, la i ésima fila de A está constituida por las coordenadas de u i en la base B. Pues bien, con estos datos, si (x 1, x 2,..., x n ) son las coordenadas de un vector u respecto de la base B, las coordenadas (y 1, y 2,..., y n ) del mismo vector, pero respecto de la base B, se obtienen mediante el producto de matrices (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1, x 2,..., x n )A. A la matriz A se la denomina matriz del cambio de base. Ilustraremos la cuestión con un ejemplo en R 2. Consideremos los vectores u 1 = (2, 22) y u 2 = (4, 2) ( figura II.6). Como no están sobre la misma recta, constituyen la base B = (u 1, u 2 ). Denotemos por B a la base canónica integrada por los vectores e 1 = (1, 0) y e 2 = (0, 1). Es evidente que las coordenadas de u 1 respecto de la base canónica son (2, 2), puesto que (2, 2) = 2(1, 0) + ( 2)(0, 1). Del mismo modo, las coordenadas de u 2 respecto de B son (4, 2). Así, cualquier vector u de coordenadas (x 1, x 2 ) en la base B tendrá una coordenadas (y 1, y 2 ) en la base canónica dadas por (y 1, y 2 ) = (x 1, x 2 ) ( )

12 Figura II.6 De un subconjunto no vacío S de un espacio vectorial R n se dice que es un subespacio, si contiene a todas las combinaciones lineales αu + βv de vectores u y v de S. De la definición se desprenden las siguientes consecuencias: * El conjunto cuyo único vector es el vector 0 constituye un subespacio. A este subespacio también se le denota por el símbolo 0 sin que suela haber lugar a confusión. * Todos los subespacios de un espacio vectorial R n contienen al subespacio 0. * Si S es un subespacio y u S, entonces todos los proporcionales αu de u pertenecen a S. * Si B = {u 1, u 2,..., u k } es un conjunto finito y no vacío de vectores de R n, entonces el conjunto S de todas las posibles combinaciones lineales de los u i es un subespacio que se denota mediante < u 1, u 2,..., u n >, o también por < B >. De S se dice que es el subespacio engendrado por B, y de B, que genera a S o que es un subconjunto generador de S. * Dado un subespacio no nulo S de R n, de entre los subconjuntos finitos de S existe al menos un subconjunto generador no vacío. A los subconjuntos generadores de S con mínimo número de vectores se les denominan bases 13

13 de S. Este nombre se origina en que una base B de un subespacio S 0 juega un papel análogo al de las bases ya introducidas en R n en el sentido de que todo vector del subespacio S se expresa de forma única como combinación lineal de vectores de B. De hecho, si se considera a R n como subespacio de sí mismo, ambos conceptos coinciden. * Todas las bases de un subespacio S de R n tienen el mismo número de vectores. Este entero k, el cual satisface 1 k n, se le llama la dimensión de S y se escribe dim S = k. Por convenio, se establece que la dimensión del subespacio cero es 0. * Si S 1 y S 2 son subespacios del mismo espacio vectorial R n con S 1 S 2 y dim S 1 = dim S 2, entonces S 1 = S 2. A los subespacios de dimensión 1 se les llama rectas vectoriales, y a los de dimensión 2, planos vectoriales. Gráficamente, las rectas vectoriales están constituidas por todos los vectores con origen en O y extremo en una recta que pasa por el origen. Por ejemplo, en R 2, la recta vectorial L =< u >, con u = ( 2, 1), está constituida por los vectores con origen en (0, 0) y extremo sobre la recta r y = 1 2x. (El símbolo se lee tiene por ecuación. ) En efecto, si v L, entonces v = αu para algún escalar α, luego v = ( 2α, α) y las coordenadas del extremo de v satisfacen la ecuación y = 1 2x. Del mismo modo, en dimensiones superiores, los planos vectoriales pueden verse como conjuntos de vectores con origen en O y extremo situado sobre un plano que atraviesa el origen de coordenadas. ( figura II.7). 14

14 Figura 2.7 Dados dos subespacios S 1 y S 2 de R n, provistos de sus respectivas bases B 1 y B 2, al subespacio engendrado por B 1 B 2 se le denomina suma de S 1 y S 2, y se le denota mediante S 1 + S 2. No es difícil ver que S 1 + S 2 está constituido por todas las posibles sumas u + v de vectores u de S 1 con vectores v de S 2. La suma de S 1 y S 2 goza del privilegio de ser el más pequeño subespacio de R n que contiene a la vez a S 1 y a S 2. Es evidente que el mayor de los subespacios de R n que está contenido en S 1 y S 2 al mismo tiempo no es sino su intersección S 1 S 2. Las dimensiones de estos subespacios están relacionadas por la conocida fórmula de Grassmann : dim(s 1 + S 2 ) = dim S 1 + dim S 2 dim(s 1 S 2 ). De la relación anterior se deduce que, por ejemplo, la suma de dos rectas vectoriales no coincidentes es un plano vectorial, ya que dos rectas distintas se cortan en 0 y dim 0 = 0. Esta situación se ilustra en la figura II.8. 15

15 Figura II.8 Figura II.9 Si S y T son subespacios de R n tales que R n = S + T y S T = 0, entonces se dirá de R n que es la suma directa de S y T. Por ejemplo, no es difícil comprobar que si S es un plano vectorial de R 3 y T, una recta vectorial del mismo espacio no contenida en el plano S, entonces R 3 es la suma directa de S y T. ( figura II.9). 16

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