ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 2 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

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1 17 ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº GEOMETRÍA ANALÍTICA Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías aa Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

2 UNIDAD Nº GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.- LA RECTA Definición 1 Sean un punto n P R ( n n 3 n = = ) y un vector A { } R ( n= n= 3). Se denomina recta que contiene al punto P y tiene la misma dirección que el vector A al conjunto n R, formado por todos los puntos X R tales que cada vector X P es paralelo al vector A. Es decir, n R = { X / X P A} R. V P R O Figura Ecuación vectorial de una recta Es claro que a partir de la condición X P A y el concepto de paralelismo de vectores (ver Observación 1), podemos afirmar que para cada existe un único tal que, y recíprocamente para cada existe un único tal que. Nótese que t puede asumir el valor (ver Observación 1). Por lo tanto, podemos escribir a la recta R del siguiente modo, en donde, Observaciones R / con n = o n = 3, a la condición, con se le denomina ecuación vectorial de la recta R a t se le llama parámetro de la recta R al vector no nulo A se le llama vector de dirección de la recta R. 1.- Recordemos la definición de paralelismo de vectores Cualesquiera sean y vectores no nulos de o, u v c R c : u= cv Si bien esta definición exige que el escalar real debe ser no nulo, en el caso de la ecuación vectorial de la recta R Estamos admitiendo que t también asuma el valor real. Unidad def

3 Esto es así, ya que para el real t =, resulta X = P. Si quitáramos la posibilidad que t asuma el valor, la recta R no contendría al punto P, lo que contradice la Definición 1 ya que la recta R debe contener al punto P..- Mientras el parámetro t varía en el conjunto de los números reales, X recorre todos los puntos de la recta R y recíprocamente. 1. Ecuaciones paramétricas y cartesiana(s) de una recta A partir de la ecuación vectorial de una recta, es posible determinar otro tipo de ecuaciones que también la representan. Para ello haremos un estudio separado de rectas en el plano real y de rectas en el espacio real. Rectas en Sea un punto P= ( x, y) R y un vector A= ( a, a) R { (,)}. Como la ecuación vectorial de una recta R que contiene a un punto P y tiene la misma dirección del vector no nulo A viene dada por la ecuación 1 si designamos con, un punto genérico de la recta R y sustituyendo en la ecuación vectorial junto con los datos, obtenemos ( x, y) ( x, y) = t( a, a) (1) 1 Esta es la ecuación vectorial en el plano real de la recta R que contiene al punto = (, ) R y tiene la misma dirección del vector A= ( a, a) { (,)} P x y 1 R. Realizamos las operaciones indicadas en ambos miembros de (1) y por igualdad de vectores, obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en las variable x e y, con x x= t a1 y y = t a () Estas dos ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta R que contiene al punto, y tiene la misma dirección del vector no nulo,. Ahora trataremos, mientras sea posible, de eliminar el parámetro t. Para ello, es importante tener en cuenta las componentes del vector no nulo,, situaciones que analizaremos a continuación. a) a1 a, Y y P R a A a 1 x Figura Unidad 3

4 Teniendo en cuenta que y, las dos ecuaciones paramétricas () podemos expresarlas del siguiente modo, x x a1 y y a = = t t y dado que para cada t existe un único x y un único y tal que el punto, pertenece a la recta, debe ocurrir que x x y y = a a 1 ésta ecuación es la llamada ecuación cartesiana de la recta que contiene al punto, y tiene la misma dirección del vector no nulo,. Es claro que realizando unos pocos procedimientos algebraicos también podemos escribir a la ecuación cartesiana del siguiente modo, donde! " a y y = ( x x ) a1 es la pendiente de la recta R, es decir es la tangente trigonométrica del ángulo formado por la recta R y el eje # $$$$$% en la dirección positiva (ver Figura ). A la pendiente de la recta R la simbolizaremos con la letra &, de modo que & ' En consecuencia otra forma de escribir la ecuación cartesiana de la recta R, es o bien, y y = m ( x x ), y y = tg α ( x x ) a a = b) 1 Y y P R A a 1 x X Figura 3 Teniendo en cuenta que y, las dos ecuaciones paramétricas () podemos expresarlas del siguiente modo, Unidad 4

5 es decir Analizando estas ecuaciones, concluimos que x x= t a1 y y= t x= x+ ta1 y= y para cada número real que asignemos al parámetro t, x asume un número real, es decir, que cuando t varía en también x varía en, y permanece constantemente igual a y. En consecuencia, la ecuación que caracteriza a esta recta es y= y Observemos que la pendiente de la recta R es nula, pues & y como & ' resulta entonces que ' con lo que, es decir el ángulo que forma la recta con el eje # $$$$$$$%en la dirección positiva es nulo. Por lo tanto, la recta de ecuación y= y es paralela al eje # $$$$$% como ya habíamos advertido en la Figura 3. c) Y a A R x y P Figura 4 Unidad 5

6 Teniendo en cuenta que y, a las dos ecuaciones paramétricas () podemos expresarlas del siguiente modo, Esto es, x x= t y y = t a x= x y= y+ ta Analizando del modo análogo que en b) se tiene que la ecuación de la recta R es x= x Notemos que en este caso no es posible hablar de pendiente m ya que no podemos calcular! " puesto que no está definida la división por cero. Observemos en la Figura 4 que el ángulo formado por la recta R y el eje # $$$$$% en su dirección positiva es π y la tangente trigonométrica de π no está definida, este es otro modo de modo de advertir la no existencia de la pendiente de la recta R. Recta en Sea un punto P= ( x, y, z) R y un vector A= ( a1, a, a3) R {(,, )}. Como la ecuación vectorial de una recta que contiene a un punto P y tiene la misma dirección del vector no nulo A es si designamos con,,) un punto genérico de la recta R y sustituyendo en la ecuación vectorial junto con los datos, obtenemos ( x, y, z) ( x, y, z) = t( a, a, a) (1) 1 3 Esta es la ecuación vectorial en el espacio real de la recta R que contiene al punto 3 = (,, ) R y tiene la misma dirección del vector A= ( a, a, a) 3 { (,,)} P x y z 1 3 R. Realizamos las operaciones indicadas en ambos miembros de (1) y por igualdad de vectores, obtenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales en las variable x, y, z con x x= ta 1 y y = ta z z= ta3 () Estas tres ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta R que contiene al punto,,) y tiene la misma dirección del vector no nulo,, *. Unidad 6

7 Procederemos de similar modo y mientras sea posible, a eliminar el parámetro t. Para ello, es importante tener en cuenta las componentes del vector no nulo,, *. Algunas de estas situaciones analizaremos a continuación. a) * Teniendo en cuenta que, y *, podemos despejar el el parámetro t de las tres ecuaciones paramétricas () obteniendo las siguientes tres ecuaciones, x x a1 y y a z z a3 = = = t t t y dado que para cada t existen y son únicos,, ) que son precisamente las componentes del punto,,) perteneciente a la recta R, se verifica que Es claro que también podemos escribir, x x y y z z = = a a a 1 3 x x y y x x z z = = a1 a a1 a3 ( σ) o ( ρ) y y z z y y z z = = a a 3 a a3 Éstas dos ecuaciones dadas en ( σ ) son las llamadas ecuaciones cartesianas de la recta R que contiene al punto,,) y tiene la misma dirección del vector no nulo,, *. Lo mismo ocurre con las ecuaciones dadas en ( ρ ). Observación Las componentes a, a, a del vector 1 3 suelen denominarse números directores de la recta. b) * Como, y *, podemos escribir las tres ecuaciones paramétricas () del siguiente modo x x= ta 1 y y = ta z z= t Unidad 7

8 es decir, x= x+ ta 1 y = y + ta z= z En esta situación, para cada t existen y son únicos, que son precisamente las dos primeras componentes del punto,,) perteneciente a la recta R, mientras que ) asume constantemente el valor ), por lo tanto las dos ecuaciones cartesianas de la recta son x x y y = a1 a z = z Es fácil comprobar geométricamente, que es una recta paralela al plano,. c) * Procediendo de manera análoga a las situaciones precedentes se obtienen las dos ecuaciones cartesianas siguientes, x x z z = a1 a3 y = y Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al plano XZ. d) * Procediendo de manera análoga a las situaciones precedentes se obtienen las dos ecuaciones cartesianas siguientes, y y z z = a a 3 x = x Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al plano YZ. e) * Las tres ecuaciones paramétricas () las escribimos del siguiente modo x= x+ ta 1 y = y z= z Unidad 8

9 Dado que para cada t, existe un único x, resulta que x varía en el conjunto de los números reales, por lo tanto las dos ecuaciones cartesianas que definen a la recta en este caso son, y= y z= z Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al eje # $$$$$%. a= a a =, se tiene f) 1 3 x= x y = y + ta z= z Dado que y toma todos los valores reales cuando t varía en, las dos ecuaciones cartesianas que definen a la recta en este caso son x= x z= z Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al eje $$$$$$%. #, a= a = a g) 1 3 x= x y = y z= z+ ta3 Dado que z toma todos los valores reales cuando t recorre, las dos ecuaciones cartesianas que definen a la recta en este caso son, x= x y= y Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al eje #- $$$$$%. EJERCICIOS 1. Obtenga las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de las siguientes rectas en a) La recta que contiene al punto P = (- 1, 3) y es paralela al vector A = (-, ) b) La recta que contiene al punto P = (3, -1, 1 ) y es paralela al vector A =.% % 1 3$% Para cada una de las rectas de los apartados anteriores, determine un punto distinto de P perteneciente a ella.. Halle la ecuación vectorial de la recta que contiene al punto P = (3, -) con pendiente: 1 3 a ) m = b) m =. Grafique dichas rectas. Unidad 9

10 3. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta cuyas ecuaciones cartesianas se dan a continuación: a) x + y + 3z = 4x + 5y + 6z = Recta determinada por dos puntos distintos Sean P y Q dos puntos distintos del plano o del espacio. Queremos determinar la ecuación vectorial de la recta R determinada por los dos puntos dados. Para ello es necesario conocer un vector no nulo A de (4 3 ) tal que la recta R tenga la misma dirección que ese vector A, es decir debemos determinar un vector de dirección de la recta R. y R La figura ilustra en lo que se verifica también en 3 P x P- Q Como sólo conocemos dos puntos de la recta R, a partir de estos datos trataremos de determinar un vector de dirección de la recta que contiene a tales puntos. Para ello consideremos un vector con origen del sistema y extremo en el punto y otro vector con origen en el sistema y extremo en el punto 5, como se muestra en la Figura 5. Es evidente que tomando Figura 5 5, tenemos un vector de dirección de la recta R. Por lo tanto el conjunto de todos los puntos X de (4 3 ) tales que X P P Q, es precisamente la recta buscada, esto es n { X R / X P ( P Q) } R =, para n = o n = 3 luego, la ecuación vectorial de la recta R, determinada por los puntos y 5 viene dada por, 5, Observación Dado que tenemos dos puntos de la recta R, podemos usarlos indistintamente como así también podemos elegir al vector 5 como vector de dirección de la recta. Por lo tanto, la recta determinada por dos puntos distintos y 5 también viene dada por Unidad 1

11 65 7 o o 55,. Ejemplo Sean los puntos P= ( p1, p) R y Q= ( q, q 1 ) R, tales que P Q, la recta que contiene a P y a Q podemos expresarla mediante la siguiente ecuación vectorial 5, si designamos con,,) un punto genérico de la recta R y sustituyendo en la ecuación vectorial junto con los datos, obtenemos ( x, y) ( p, p) = t( ( p, p ) ( q, q )) y realizando las operaciones en ambos miembros obtenemos Luego, las dos ecuaciones paramétricas son ( x p, y p) = ( t( p q ), t (p q )) x p1= t( p1 q1 ) y p= t( p q) Para determinar la ecuación cartesiana debemos tener en cuenta las componentes del vector P Q. a) Supongamos que p1 q1 p q, entonces podemos escribir x p 1 = t p1 q1 y p = t p q Luego, la ecuación cartesiana de la recta que contiene a los puntos P y Q viene dada por O bien, la ya conocida ecuación Observemos que la pendiente viene dada por x p1 y p = p q p q 1 1 p q y p = ( x p ). 1 p1 q1 p q m= p q Unidad 11

12 b) Cuando , no existe la pendiente de la recta y las ecuaciones paramétricas son Es decir, x p1= t( q1 q1 ) y p= t( p q) x= p1 y p + = t( p q) Por tal motivo, la ecuación cartesiana de la recta es x= p 1, Esta ecuación cartesiana representa a una recta paralela al eje #, $$$$$$%. c) En el caso en que p1 q1 p= q, las ecuaciones paramétricas son Por lo tanto, Luego, la ecuación cartesiana de la recta es x p1= t( p1 q1 ) y p= t( q q) x= p1+ t( p1 q1 ) y= p y= p, Y es evidente que la pendiente de la recta es cero y la representación gráfica de la recta es paralela al eje # $$$$$%. EJERCICIOS 4. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a los puntos P y Q. a) P = (, ) y Q = (1, -1) b) P = (1,, 1) Q = (, 1, 1) 1.4 Paralelismo de rectas Sean R 1 y R dos rectas en el plano o en el espacio dadas por X P= ta, t y X Q= sb, s, respectivamente. Definición R 1 es paralela a R c { }: A= cb De acuerdo con esta definición podemos decir que R 1 es paralela a R si y sólo si sus vectores de dirección son paralelos. Esto es, R 1 es paralela a R A B Como el paralelismo entre vectores es una relación simétrica, si la recta R 1 es paralela a la recta R diremos simplemente que las rectas R 1 y R son paralelas. Unidad 1

13 Ejemplo Sean las rectas R 1 :( x, y, z) ( 1,,3) = t( 1, 3,) y R ( : x, y, z) (,1, ) = s(, 6,),:. Es evidente que R 1 y R son rectas paralelas, puesto que (,-6,) = (1,-3,). Relación de las pendientes de dos rectas paralelas Analizaremos ahora las ecuaciones vectoriales de dos rectas paralelas en a fin de obtener una relación entre sus pendientes cuando estas existen. Sean R 1 y R dos rectas paralelas cuyas ecuaciones vectoriales son( x, y) ( p1, p) = t( a1, a), y ( x, y) ( q, q) = s( b, b), : respectivamente. 1 1 Por definición de paralelismo de rectas, se tiene tal que Por igualdad de vectores podemos escribir, ( a, a) = c( b, b) 1 1 < = 1 = Analizaremos dos situaciones teniendo en cuenta las componentes de los vectores de dirección de ambas rectas. a) Es claro que si y como, entonces de la igualdad (1) se sigue que = y además si multiplicamos en ambos miembros de la igualdad () por el recíproco de y sustituyendo (1) en el denominador del segundo miembro tenemos, Es decir, a a m b = b 1 1 = m. 1 Esta igualdad de las pendientes, es otra forma de expresar que las rectas R 1 y R son paralelas b) Como y, entonces de la igualdad (1) se sigue que =. Y por lo tanto las rectas paralelas R 1 y R no tienen pendiente, ya que no podemos multiplicar en () por el recíproco de, pues no existe la división por cero. También podemos observar gráficamente en esta situación que la medida del ángulo que forma cada una de las rectas R 1 y R con el eje # $$$$$% en la dirección positiva es?, y la tangente trigonométrica de? no existe, esta es otra manera de determinar la no existencia de la pendiente de ambas rectas. Unidad 13

14 1.5 Ortogonalidad de rectas Sean R 1 y R dos rectas en el plano o en el espacio dadas por X P= ta, t y X Q= sb, s, respectivamente, y consideremos el producto escalar definido en la Unidad 1 tanto en como en *. Definición 4 R 1 es ortogonal a R A B=. De acuerdo con esta definición podemos decir, R 1 es ortogonal a R si y sólo si sus vectores de dirección son ortogonales. Esto es, R 1 es ortogonal a R A B Notemos que la ortogonalidad de vectores es una relación simétrica, debido a que el producto escalar es conmutativo, entonces se verifica que si R 1 es ortogonal a R entonces R es ortogonal a R 1 por lo tanto diremos en adelante que las rectas R 1 y R son ortogonales. Ejemplo Sean las rectas R 1 y R de ecuaciones ( x, y, z) ( 3,, 4) = t( 1,, ), t R y ( ) ( ) x, y, z = s, 3, 1, s R, respectivamente. Es claro que R 1 y R son rectas ortogonales, puesto que sus vectores de dirección lo son, esto es ( 1,, )(, 3, 1) = + = Relación de las pendientes de dos rectas ortogonales Estudiaremos las ecuaciones vectoriales dos rectas ortogonales en a fin de obtener una relación entre sus pendientes cuando estas existen. Sean R 1 y R dos rectas ortogonales cuyas ecuaciones vectoriales son ( x, y) ( p, p) = t( a, a), t R y ( x, y) ( q, q) = s( b, b), s R respectivamente. 1 1 Por definición de ortogonalidad de rectas, se tiene Efectuando el producto escalar tenemos, 1 1, =,= a b+ = ab Consideraremos dos situaciones teniendo en cuenta las componentes de los vectores de dirección de ambas rectas. Unidad 14

15 a) = De la igualdad 1 y de las condiciones se tiene que o bien a b a b 1+ = 1 1 a b 1 a1 b = 3 1 a Como a es la pendiente de la recta R b 1 y 1 b es la pendiente de la recta R, la igualdad 3 es 1 la conocida relación entre pendientes de dos rectas ortogonales m 1 m = 1 b) Como podemos afirmar que la recta R 1 no tiene pendiente. Además, teniendo en cuenta la igualdad 1, es obvio que b =, lo cual indica que la pendiente de la recta R es m =. Por lo tanto no se puede establecer relación alguna de pendientes. EJERCICIOS 5. Determine si los siguientes pares de rectas corresponden a rectas paralelas: x y + 1 a) R1 : = R : ( x, y) ( 6, 4) = t(9, 3) 3 1 x 1 y + 4 9x 4y = 1 b) R1 : = = z R : 3 y + 9z = 1 6. Determine si los siguientes pares de rectas corresponden a rectas perpendiculares: x + 1 = t x 4 y + 1 a) R1 : R : = y 4 = 3t 6 b) R : y + 4x = R : y 3x + 4 = 1 ECUACIÓNES VECTORIAL Y CARTESIANA DE PLANOS EN 3 Definición 5 3 Sean un punto P= ( p, p, p) R y un vector N= ( a, a, a) 3 { (,,)} R. Se llama plano que contiene al punto P y es ortogonal al vector N, al conjunto P formado por 3 todos los puntos X R tales que cada vector X P es ortogonal al vector N. En símbolos P = { X R 3 / X P N}. Unidad 15

16 N La exigencia X P N equivale, por definición de ortogonalidad entre vectores, a expresar al plano P del siguiente modo: A la condición Fig. 6 { X R 3 / X P N= } P = ( ) ( X P) N= (γ) se la denomina ecuación vectorial del plano P que contiene al punto P y es ortogonal al vector N. A partir de la ecuación vectorial y por la distributividad del producto escalar respecto a la resta de vectores, se tiene X N ( P N) = Como P y N son dados, llamando d = ( P N) se tiene otra forma de expresar la ecuación vectorial del plano P o bien X N + d = N X+ d = Ahora bien, si el vector genérico X viene dado por X = (x, y, z), la ecuación (γ) se escribe (( x y z) ( p p p) ) ( a a a),,,,,, = y realizando el producto escalar indicado se obtiene la ecuación cartesiana del plano P que contiene al punto P y es ortogonal al vector no nulo N. donde a1 x+ a y+ a3 z+ d= (*) ( ) d= p a+ p a + p a Unidad 16

17 Notas: Obsérvese que d= ( P N) = ( p a+ p a + p a) El número real d indica si el plano contiene o no al origen del sistema de coordenadas pues: a) si d =, el vector nulo satisface la ecuación cartesiana (*) del plano P, por lo tanto el vector nulo pertenece al plano P. b) si d, el vector nulo no satisface la ecuación cartesiana (*) del plano P y en consecuencia el vector nulo no pertenece al plano P. A continuación se analizan algunas de las situaciones particulares que pueden presentarse: a) Supóngase que a1 a a3 d. En este caso es claro que la ecuación a1 x+ a y+ a3 z+ d= representa un plano que no contiene al origen de coordenadas pues el vector (,, ) no satisface la ecuación de dicho plano. N b) Si a1 a a3 d=, la ecuación a1 x+ a y+ a3 z= es la de un plano que contiene al origen del sistema de coordenadas pues el vector (,, ) verifica la ecuación. Observemos que al ser d = los vectores P y N resultan ortogonales. Unidad 17

18 c) Si a1 a a3= d, la ecuación a1 x+ a y+ d= representa un plano paralelo al eje z, puesto que si el punto ( x1, y1, z1) satisface la ecuación del plano, también lo harán los puntos del conjunto {( x, y, z ) / z R} que es una recta paralela al eje z, de modo 1 1 que el plano de ecuación a1 x+ a y+ d= contiene a esa recta, entonces resulta ser paralelo al eje z. En tanto un plano paralelo al eje y es de ecuación a1 x+ a3 z+ d= ; y uno paralelo al eje x es de la forma a y+ a3 z+ d=. d) Si a1 a a3= d=, el plano es de ecuación a1 x+ a y=, los puntos de la forma (,, z) con z R satisfacen esta ecuación son de la forma, esto indica que el plano contiene al eje z. Análogamente el plano de ecuación a1 x+ a3 z= contiene al eje y, y el plano a y+ = contiene al eje x. a3 z Unidad 18

19 e) Si a1 a= a3= d= se obtiene un plano de ecuación x =, que es el plano coordenado yz puesto que los puntos que satisfacen esa ecuación son de la forma (, y, z ) con y R y z R. z y x Así, la ecuación del plano coordenado XZ es y = y la ecuación del plano coordenado XY es z =. EJERCICIOS 7. Determine la ecuación cartesiana del plano que contiene a P y es ortogonal a N e indique aproximadamente la posición del plano. a) P = (-,, 6) N = (-1, 1, ) b) P = (-,, 1) N = (,, ) c) P = (,, ) N = (, -5, 3) d) P = (4,-1,) N = (, 1, -1) 8. Caracterice los siguientes planos y escriba la ecuación vectorial de cada uno de ellos: a) 3(x 5) (y 4) + 4(z ) = b) 3x 4z = PLANO DETERMINADO POR TRES PUNTOS DISTINTOS Y NO ALINEADOS EN 3 Sean P= ( p, p, p), Q= ( q, q, q) y R= ( r, r, r) tres puntos distintos y no alineados en Para determinar la ecuación vectorial del plano P que contiene a los puntos P, Q, y R, es necesario encontrar un vector ortogonal al plano P. Para ello se consideran los vectores Q P y R P (Q P) (R P) Q P P Q R P R N P O Unidad 19

20 Es claro que estos vectores son paralelos al plano P que contiene a los tres puntos P, Q, y R, por lo tanto el vector N = ( Q P) ( R P) es ortogonal a los vectores Q P y R P y también es ortogonal al plano P. Teniendo en cuenta que la ecuación vectorial de un plano que contiene a un punto P y es ortogonal a un vector no nulo N es ( X P) N= 1 resulta que la ecuación vectorial del plano que contiene a P, Q y R está dada por: ( X P) ( ( Q P) ( R P) ) = Preguntas Por qué P, Q y R deben ser distintos? Si P, Q y R son distintos Por qué P, Q y R no pueden estar alineados? EJERCICIOS 9. Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos P = (1,, 3), Q = (-, -4, 5) y R = (, -1, 13) PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD ENTRE PLANOS Dados los planos: P 1 ( ) : X P N= P ( ) : X Q M= Definición 6 Diremos que P 1 es paralelo a P {} c R : N= cm. Definición 7 Diremos que P 1 es ortogonal a P N M=. Unidad

21 PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO Dados un plano y una recta P ( ) : X P N= R : X Q= t A Definición 9 Diremos que Definición 1 Diremos que P es paralelo a R N A=. P es ortogonal a R c R {} : N= c A. EJERCICIOS 1. Determine cuáles de los siguientes pares de planos son ortogonales o paralelos. a) P 1 : x y + z = P : y + z + = b) P 1 : x y + 3z = P : x y + 6z 1 = 11. Determine en cada caso, si el plano y la recta son ortogonales o paralelos. x + 3 y 4 z a) P :4x + y + z + 9 = R = = = 7 3 b) P : ( x, y, z) ( 1,, 1) ( 1,3, 1) = R = ( x, y, z) (,,5) = (, 6, ) t Unidad 1