GUÍA DE CÁLCULO VECTORIAL Academia de Matemáticas y Física I.C.

Transcripción

1 1. Considere los siguientes vectores a = (2,3,1), b = (4, 1,3). Calcule: a) a + b b) 2a + 3b c) 3a b d) a + b e) 3a 2b f) 2 a + b 2. Halle las longitudes de los lados del triángulo ABC y determine si son isóceles, rectángulo, ambos o ninguno de ellos. Los vértices de cada triángulo son: a) A(2,1,), B(3,3,4), C(5,4,3) b) A(3, 4,1), B(5, 3,), C(6, 7,4) 3. Calcule el producto escalar entre las siguientes parejas de vectores. a) a = ( 1,,1), b = (1,2,3) b) u = 2i + 3j 4k, v = i 3j + k c) A = ( 2, 5, 1), B = (2,1,6) 4. Determine el ángulo que forman entre sí los vectores dados en el ejercicio anterior. 5. Halle los cosenos directores y los ángulos directores de los siguientes vectores. a) (2,3,3) b) ( 5,3,2) c) 2i + 3j 4k 6. Para las parejas de vectores mostradas abajo, determine el valor de para el cual dichos vectores son ortogonales. a) a = (, 1,2), b = (3,4, ) b) P = i + 3j + k, Q = 2i + j + k Escriba aquí la ecuación. 7. Calcule el área del triángulo cuyos vértices se proporcionan a continuación: a) ( 1,2,4), (2,2,3), (,3,) b) (3,2, 3), (2,,3), (,1,4) 8. Para los vectores A = (2,3, 1), B = (6,2,3), C = ( 1,,2) Halle: a) A B b) A C c) C (B A) d) (A + B) (C B) 9. Obtenga las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétrica (cartesiana) de la recta que pasa por los puntos dados a continuación. a) (1,1, 1), (4,3,2) b) (2,,2), (1,4, 3) c) (2,3,), (1,8,12) 1. Halle la ecuación simétrica (cartesiana) de la recta que pasa por el punto dado y que es paralela a la recta cuya ecuación se proporciona. a) (2,2,3); = 1 + 2t, y = 3t, z = 5 7t b) ( 1,2,4); X = (2 t, 4 + 3t, 2 + 5t) c) (3, 2,1); 2 = y = z d) (4, 2, 1); = 6t, y = 3 2t, z = 1 4t

2 11. Determine la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta cuya ecuación simétrica se señala. a) 2 3 = y 1 2 = z 4 b) +4 5 = y 3 3 = z+2 2 c) 3 = y+1 = 1 z Calcule la ecuación cartesiana y vectorial del plano definido por los tres puntos proporcionados. a) (,,), (1,2,3), ( 2,3,3) b) A(2,3, 2), B(3,4,2), C(1, 1,) c) (1,2,3), (3,2,1), ( 1, 2,2) d) P = 2i 4j + k, Q = i + 3j + 2k, R = 3i j + k 13. Obtenga la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto (2,2,1) y contiene a la recta dada por: = y 4 = z Halle la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos (2,2,1), ( 1,1. 1) y que es perpendicular al plano 2 3y + z = Determine la ecuación cartesiana y vectorial del plano que pasa por los puntos (4,2,1), ( 3,5,7) y es paralelo al eje z. 16. La ecuación cartesiana de un plano es 6 + 7y + 2z = 1. Halle su ecuación vectorial y sus ecuaciones paramétricas. 17. La ecuación vectorial de un plano es X = (2 3u + v, 1 + u + 2v, 1 + 2u 3v), determine su ecuación cartesiana. 18. Obtenga las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto (2,2,3) y que es perpendicular a la recta 3 = y+5 = Calcule el área del triángulo cuyos vértices son los puntos ( 7,1,), (2, 1,3) y (4.1.6). 2. Determine la distancia del punto (4,,1) al plano 2 y + 8z = Cambie de coordenadas cartesianas a polares. a) (3, 4) b) ( 2,) c) ( 5, 1 3 ) d) ( 2 3, 1 4 )

3 22. Transforme las siguientes coordenadas polares a cartesianas. a) (2, π ) b) (3, 3π ) c) ( 5, π ) d) ( 2, ) Transforme a coordenadas polares las siguientes ecuaciones. a) 2 + 3y = 1 b) 2 + y 2 = 16 c) 2 + y2 2 = 1 d) y = 1 e) y2 = Transforme a coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones en coordenadas polares. a) r = 2 b) r = 2 1 cos θ c) r 2 4r cos θ 2r sen θ d) r = 9 cos θ e) r = 2(1 cos θ) 25. Cambie a coordenadas cilíndricas los puntos dados en coordenadas cartesianas. a) (8, 6, 1) b) ( 2, 1, 4) c) 3 (1, 2, 3 ) d) ( 3,5,2) Eprese en coordenadas cartesianas los siguientes puntos dados en coordenadas cilíndricas. a) (2, π 3, 2) b) ( 3, 7π 2, 1) c) (3 2, π 6, 3) d) (4, 5π 4, 7) 27. Cambie a coordenadas cilíndricas las ecuaciones cartesianas mostradas a continuación. a) 2 + y 2 4z 2 = b) y 2 = c) 2 + y 2 = z d) 2 y 2 + z 2 = Eprese en coordenadas cartesianas las ecuaciones mostradas abajo. a) r 2 + z 2 = 1 b) r 2 9z 2 = c) r(cos θ 2 sen θ) = 3z d) r sec θ = z 29. Cambie de coordenadas cartesianas a esféricas las coordenadas de los siguientes puntos. a) ( 2,3,4) b) ( 1, 4, 2) c) ( 2, 2,5) d) ( 2, 3, 1) 3 3. Transforme de coordenadas esféricas a cartesianas las coordenadas de los siguientes puntos. a) (4 2, π 3, π 4 ) b) (2, π 4, π 3 ) c) (16, π 6, π 2 ) d) (3 4, π 2, ) 31. Las siguientes ecuaciones están en coordenadas cartesianas, halle su equivalente en ecuaciones esféricas. a) 2 + y 2 + z 2 = 25 b) 2 y 2 z 2 = 1 c) + 2y + 3z = 6 d) ( 1) 2 + y 2 + z 2 = 3 2

4 32. Transforme a coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones en coordenadas esféricas. a) ρ = sen θ sen φ b) φ = π 3 c) ρsen 2 φ = cos φ d) cos φ = ρsen 2 φ cos 2θ 33. Determine el dominio de las funciones vectoriales mostradas a continuación. a) r(t) = 4 t 2 i + t 2 j 6tk b) r(t) = (t 2 1, t 4, 6 t) c) r(t) = 1 t i + j + ln(t) k d) r(t) = t t 2 t 6 (et, ln ( t 3, cos ( 1 )) t Considere las funciones F(t) = (t, sent, 1) y G(t) = ( 2, t, cos t), calcule: t a) F + G b) F G c) F G d) 3F 4G e) F, G 35. Si F, r: R 3 R y f, φ: R R tales que F(t) = (3t 2 + 1, sen 1, cos t t), r(t) = et i + ln(t) j + 1 k, f(t) = t 2t 1 y φ(t) = t + 2, calcule: a) F f b) r f c) F φ d) r φ 36. Grafique las curvas descritas por las siguientes funciones vectoriales. a) F(t) = (t + 1, t 2 1) b) r(t) = 2ti + (t + 3)j + tk c) F(t) = (cos t, sen t, t) 37. Empleé un paquete graficador para determinar las gráficas de las curvas descritas por las funciones vectoriales mostradas a continuación. a) F(t) = (cos 3 t, sen 3 t) b) r(t) = (t sen t)i + (1 cos t)j c) r(t) = cos t i + 2t j + sen t k d) r(t) = e t cos t i + e t sen t j + e t k e) F(t) = (t, t 2, t 3 ) 38. Determine los siguientes límites. a) lim t (t2 t,, ln (1 + lim sen t t3 1 )) b) t 1 {t2 i + t2 +3t+2 j} 1+t t 3 +1 c) lim t ( 3t+t2 2+t 2t 2, te t ) d) lim t {(1 + t)et i + 1 cos t t j + tant k} t 39. Sean F, G: R R 3. Aplique la definición de derivada para probar que D(F G) = F DG + DF G.

5 4. Halle la derivada de las siguientes funciones y determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto señalado. a) F(t) = (te t, e t ); t = b) r(t) = ti + t 2 j t3 2; t = 9 c) F(t) = (e t, e t sen t, e t cos t); t = d) r(t) = sen 3t i + cos 3t j + 2t 3 2k; t = Si las funciones vectoriales del ejercicio 4 describen la trayectoria de una partícula, calcule su velocidad, rapidez y aceleración en el punto indicado. 42. Determine la longitud de arco de las curvas descritas por las funciones vectoriales dadas abajo, en el intervalo señalado. a) F(t) = (2t, t, t 2 ); [,2] b) r(t) = sin(2πt)i + cos(2πt)j + (2t t 2 )k; [,1] c) r(t) = (t, t sen t, t cos t); [, π] d) r(t) = sen t i + cos t j + ln(sec t) k; [, π 4 ] 43. Para las siguientes funciones vectoriales calcule su tangente unitaria, normal principal, curvatura y radio de curvatura. a) F(t) = (t, 1 t 2 ) b) F(t) = (sen t, cos t, ln(sec t)) c) r(t) = ti + t 2 j + t 3 k d) r(t) = e t i + e t j + 2tk 44. Si las funciones vectoriales del ejercicio 43 describen el movimiento de una partícula, halle las componentes tangencial y normal de la aceleración. 45. Si C es una curva plana definida por la función vectorial r(t) = (t)i + y(t)j, probar que su curvatura se calcula mediante la epresión: K(t) = (t)y (t) (t)y (t). {[ (t)] 2 +[y (t)] 2 } Calcule la integral indefinida para las siguientes funciones vectoriales. a) F(t) = (t 2, 3t 1, e 3t ) b) F(t) = e t cos t i + e t sen t j c) r(t) = t sen t i + 1 t+1 j d) r(t) = t ln t i + tan 1 t j + te t k e) r(t) = ( 1 t 2 1, t+2 t+3 ) 47. Encuentre el dominio de las funciones: a) f(, y) = y b) g(, y) = +2y +y c) z(. y) = y d) f(, y, z) = + y + z e) g(, y, z) = y 1 z

6 48. Determine las curvas de nivel de las siguientes funciones, puede apoyarse en un paquete graficador. a) f(, y) = ( 1) 2 + 4(y + 1) 2 b) g(, y) = y 2 c) z(, y) = y d) F(, y) = 2 3y e) f(, ) = 2 + y Empleé un paquete graficador para para graficar las funciones dadas abajo. a) f(, y) = 3 + 4y b) g(, y) = cos( 2 + y 2 ) c) z(, y) = y 2 d) F(, y) = sin(y) y e) G(. y) = ln( + y) 5. Sean f, φ: R R y F, G: R 2 R funciones definidas como sigue: f(t) = ln t, φ(t) = 1 t y F(, y) = +y G(, y) = cos y. Calcule: a) f G b) f F c) φ F d) φ G 51. Calcule el valor, si es que eiste, de los siguientes límites. lim a) 4 y 4 (, y) (,) b) lim 2 y 2 2 +y 2 (, y) (,) b) lim 2 +y 2 (, y) (4, 2) y3 + 2 c) lim y sen (, y) (,) d) lim 2 z 3 +y (, y, z) ( 2,3,1) 2 +y Pruebe que el límite de la función f(, y) = 3 y 2 6 +y2 es cero cuando (, y) (,) a lo largo de cualquier recta y = m, o a lo largo de cualquier parábola y = k 2, pero no eiste el límite cuando nos aproimamos por la curva y = Aplique la definición para hallar la derivada direccional de las funciones mostradas abajo, en la dirección indicada. a) g(, y) = 2 + y 2 ; A = (1,2) b) f(, y, z) = y + y 2 z; B = (1,1,1) c) F(, y, z) = yz; P = (1, 2, 1) d) G(, y, z) = +z ; Q = (2,1,) y 54. Determine todas las derivadas parciales de primer orden para las siguientes funciones. a) f(, y) = 2 y + sin(y) b) g(, y) = ln( 3 + 2y) c) F(, y, z) = ( 2 + y 2 + z 2 ) 3 d) G(, y, z) = yz +y+z e) w(, y, z) = e yz cos(y) 55. Halle el gradiente de las funciones del ejercicio 54.

7 56. Obtenga la derivada direccional, aplicando la fórmula con gradiente, en la dirección señalada para las funciones: a) z(, y) = y cos( 2 y 2 ); A = ( 3,4) b) f(, y, z) = e 2 +yz ; B = (1, 1, 2) c) g(, y, z) = ln( 2 y 2 + z 2 ); C = (1,,1) d) F(, y, z) = tan 1 (yz); A = (2, 3, 3) 57. Halle la dirección en que la función f(, y, z) = 2 ze y + z 2 se incrementa con la mayor rapidez en el punto P = (1, ln 2, 2). 58. La temperatura en el punto (, y) de una placa metálica está dada por la función T(, y) = 2 +y 2. Determine la dirección de mayor incremento de temperatura en el punto (3,4). 59. La superficie de una montaña se modela mediante la función h(, y) = y 2. Un montañista se encuentra en el punto (5,3,439). en qué dirección debe moverse para ascender con mayor rapidez?. 6. Calcule la ecuación del plano tangente en el punto señalado para las superficies descritas por las ecuaciones: a) y2 z 2 = 1; ( 2,3, 11) b) z y 2 = 2; (2,1, 2) c) 2 y 2 2yz + 4z = 1; (2, 1,1) d) yz cos + +y = 1; (,1,) y z 61. Sea r = i + yj + zk y r = r, r. Pruebe que: a) ( 1 r ) = 1 r 3 r b) (r) = 1 r r c) (rn ) = nr n 2 r, n N 62. Sean F, G: R 3 R. Pruebe que se cumple; a) (FG) = F (G) + G (F) b) ( F G ) = G (F) F (G) G Determine 2 F, 2 F, 2 F, 2 F, 2 F, 2 F para las funciones: 2 y 2 z 2 y z y z a) F(, y, z) = 2 y + yz + z 3 b) F(, y, z) = e yz c) F(, y, z) = cos(y) + ln(yz) d) F(, y, z) = z y+z e) F(, y, z) = 2 + 3y + z 64. Para las siguientes funciones muestre que satisfacen la ecuación de Laplace. a) z = 2 + y 2 + 2y b) z = e sen y + e y cos c) z = ln( 2 + y 2 ) + tan 1 ( y )

8 65. Use la regla de la cadena para hallar z u, z v. a) z = 8 2 y 2 + 3y; = uv, y = u v b) z = 2 y tan ; = u v, y = u2 v 2 c) z =, = 2 cos u, y = 3 sen v y 66. Sea f una función derivable y supongamos que w = f( y, y z, z ). Pruebe que se cumple: w + w y + w z = 67. Si w = F(, y) es una función para la que eisten sus primeras y segundas derivadas parciales y = u + v, y = u v, muestre que: a) w w = v u ( F )2 ( F y )2 b) 2 w = 2 F 2 F u v 2 y Sea z = f(, y) con = r cos θ, y = r sin θ. Pruebe que se cumple: a) z = z cos θ 1 r r z sen θ, z θ y = z r sen θ + 1 r z θ cos θ b) ( z )2 + ( z y )2 = ( z r )2 + 1 r 2 ( z θ )2 c) 2 z z 2 = 2 z r r 2 2 z z + 1 θ 2 r r 69. Calcule los máimos y mínimos de las funciones: a) f(, y) = 2 y y + 4 b) g(, y) = y c) z = e y d) F(, y) = sin sin y 7. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los máimos y mínimos de las siguientes funciones sujetas a las restricciones señaladas. a) F(, y, z) = 2 + y 2 + z 2 ; y2 + z 2 = 1 b) G(, y, z) = 2 + 2y + y 2 ; y = 3 c) f(, y, z) = + y + z; 2 + y 2 + z 2 = 1 d) g(, y, z) = yz; + y + z = 32; y + z = e) w(, y, z) = + 2y + 3z; 2 + y 2 = 2; y + z = 1 f) f(, y, z) = 2 + y 2 + z 2 ; + 2z = 6; + y = Determine las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máimo y superficie igual a Encuentre tres números reales positivos cuyo producto sea 24 y su suma sea mínima. 73. Halle los puntos sobre el plano 3 + 2y z = 5 que estén más cercanos al punto (1, 2,3).

9 74. Obtenga las dimensiones del mayor cilindro de base circular que se puede inscribir en una esfera de radio R. 75. Calcule la diferencial de las siguientes funciones. a) F(, y) = y y b) G(, y) = e y + y cos c) f(, y, z) = ln( 2 + 3yz) d)g(, y, z) = y z e) w = tan 1 ( y z ) 76. La presión, volumen y temperatura de un mol de gas ideal están relacionadas por la ecuación PV = 8.31T, donde P se mide en kilopascales, V en litros y T en grados Kelvin. Use la diferencial para hallar el cambio aproimado en la presión si el volumen aumenta de 12 L a 12.3 L y la temperatura se reduce de 31 K a 35 K. 77. Un envase metálico cerrado tiene la forma de un cilindro circular recto de 8 in de altura interior, de 3 in de radio interior y.1 in de grosor. Si el costo del metal es de $.5 por pulgada cúbica, aproime mediante diferenciales el costo total del metal empleado en la elaboración del envase. 78. Las dimensiones de una caja son 2 cm, 25 cm y 1 cm, con un posible error de.25 cm. Aproime mediante diferenciales el máimo error si el volumen de la caja se calcula a partir de estas medidas. 79. Calcule la derivada de las siguientes funciones vectoriales. a) f(, y) = (e y, ln(y)) b) g(, y) = y i + (cos(y) sen y)j c) F(, y, z) = ( 2 yz, y z) d) G(, y, z) = ( + y + z, e) F(, y, z) = sen(yz)i + e +y+z j + ln ( 2 yz ) k y+z, senh (yz ) ) 8. Halle el jacobiano asociado a las siguientes transformaciones. a) (,y,z) ; = r cos θ, y = r sen θ, z = z (r,θ,z) c) (,y,z) (u,v,w) ; = 1 2 (u2 v 2 ), y = uv, w = z (F,G) b) ; F(, y) = (,y) 2 y, G(, y) = e y d) (,y,z) ; = a cosh u cos v, y = a senh u sin v, w = z (u,v,w) 81. Determine la divergencia y el rotacional de las siguientes funciones. a) F(, y, z) = ( 2, yz, yz 2 ) b)f(, y, z) = y ln i + ln y j + y ln z k c) F(, y, z) = 2 i + sen(y) j + yzk d) F(, y, z) = (e y sen z, e z sen y, e yz cos ) e) Para la función del inciso a) calcule ( F)

10 82. Para las funciones mostradas abajo, calcule el laplaciano (Suponga que las derivadas parciales requeridas son continuas en algún intervalo). a) r(, y, z) = 2 + y 2 + z 2 b) f(, y) = sen cosh y + cos senh y c) g(, y, z) = e 2 sen(2y) d) F(, y) = sin( 2 y 2 ) cos(2y) e) G(, y, z) = +z z y 83. En relación al ejercicio 82, qué funciones fueron armónicas en algún dominio?. 84. Sean F, G: R 3 R 3 ; f, g: R 3 R y suponga que las derivadas parciales requeridas son continuas en algún dominio, pruebe: a) (ff) = f F + F f b) (gg) = g G + ( g) G c) ( F) = ( F) 2 F d) (F F) = 2(F )F + 2F ( F) e) (f g g f) = f 2 g g 2 f f) f =, ( F) = 85. Sea r = (, y, z) y r = r. Pruebe que: a) (ln r) = 1 r 2 r b) (rn r) = (n + 3)r n, n N c) (r n r) = d) 2 ( 1 r ) = 86. Las ecuaciones de Mawell para el vacío son: E =, B =, E = 1 B y B = 1 E, donde c t c t E, B y c son el campo eléctrico, el campo magnético y la velocidad de la luz, respectivamente. Empleé las identidades del ejercicio 84 para probar que los campos eléctrico y magnético satisfacen la ecuación de onda, es decir: 2 E = 1 2 E y c 2 t 2 2 B = 1 2 B c 2 t Haga una investigación del tema de coordenadas curvilíneas ortogonales y determine el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en coordenadas cilíndricas y esféricas. 88. Calcule F F y y para la función F(, y) dada por la epresión: a) F(, y) = ye t dt 1 y c) F(, y) = ( + 3t)dt 1 b) F(, y) = (y + t) 2 dt 1 y d) F(, y) = ln(t)dt Determine si las siguientes funciones vectoriales tienen una función potencial y, en su caso, hallarla. a) F(. y) = (e, sen(y)) b) F(. y) = 2yi + 2 j c) F(, y) = (y) 2 i + ( + y 4 )j d) F(. y) = ( 2 y, y 2 )

11 9. Calcule las integrales de línea de las funciones proporcionadas a continuación, para el contorno señalado. a) F(, y) = ( 2 2y)i + (y 2 2y)j a lo largo de la curva y = 2 de los puntos ( 2,4) a (1,1). b) f(, y, z) = (, y, z y) sobre el segmento de recta que une los puntos (,,) y (1,2,4). c) G(, y) = (y 2, ) para la curva r(t) = (cos t, sen t) en el intervalo t [, π]. d) g(, y, z) = sin z i + cos z j (y) 1 3k a lo largo de la curva r(t) = (cos 3 t, sen 3 t, t), t [, 7π 2 ]. e) f(, y) = (2y, 2 ) a lo largo del cuadrado de longitud 1 centrado en el origen y recorrido en el sentido positivo. 91. Determine el valor de las siguientes integrales iteradas. π 3y y a) cos(2 + y)ddy π 3 1+cos θ 3 cos θ d) rdrdθ 2 2 y 2 g) dzddy 1 2 b) e 2 dyd π 2 sen θ π 6 e) 6r cos θ drdθ y 2 4 h) dzdyd c) 2ydyd 3 y f) 24ydzdyd 92. Obtenga el volumen de la superficie descrita por la función z = F(, y) para la región delimitada por las curvas señaladas. a) F(, y) = 3 y 2 ; y =, y =, = 1 b) z = 2 + 4y + 1; y = 2, y = 3 c) F(, y) = 1+y y ; y = 2 + 1, y = 3 2 d) F(, y) = 1 e) z = sen ( π y ) ; = y2, =, y = 1, y = 2 ; y =, y = 1, =, = Aplique una integral doble para hallar el área de la región limitada por las curvas indicadas. a) y =, y = 2 2 b) y = e, y = ln, = 1, = 4 c) y = 2 + 3, y = d) y = 2 3, y = Determine el volumen del tetraedro limitado por los planos 3 + 4y + z 12 =, =, y =, z =. 95. Calcule el volumen del sólido delimitado por las superficies descritas por las siguientes ecuaciones z = + y, 2 + y 2 = 9, =, y =, z =. 96. Obtenga el volumen del sólido limitado por las superficies: 2 + y 2 = 4, z =, z = 1.

12 97. Aplique coordenadas polares para calcular el valor de las siguientes integrales dobles a) 2 + y 2 dy d y 2 +y c) 2 dy d π π π y 2 b) sen( 2 + y 2 )d dy d) 1 (1+ 2 +y 2 ) 2 dy d e) 4 2 y 2 da donde R es la región limitada por el sector del primer cuadrante del círculo R 2 + y 2 = 4, entre y =, y =. 98. Evalúe las siguientes integrales. π 2 2cos 2 θ 4 r 2 a) r sen θdz dr dθ 4 z π 2 c) re r dθ dr dz 2π π 5 2 e) ρ 2 sin φ dρ dφ dθ 2π 3 3 r 2 b) r dz dr dθ π 2 π sen θ d) (2 cos φ) ρ 2 dρ dθ dφ π 4 π 4 cos θ f) ρ 2 sin φ cos φ dρ dθ dφ 99. Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe las integrales: 1 1 y y 2 a) z dz d dy c) (4z + 1) dy d dz y 2 b) 2 + y 2 dz dy d ( 2 +y 2 ) 2 d) ( 2 + y 2 ) dz dy d 1. Transforme a coordenadas esféricas y calcule el valor de las siguientes integrales y 2 a) ( 2 + y 2 + z 2 ) dz d dy 2 +y y 2 b) dz dy d 2 4 y y 2 y c) 2 + y 2 + z 2 dz d dy y 2 d) yz dz dy d 11. Aplique una integral múltiple y un sistema de coordenadas apropiado para hallar el volumen del sólido señalado. a) El sólido limitado por los planos z = y z = h, fuera del cilindro 2 + y 2 = 1 y dentro del hiperboloide 2 + y 2 z 2 = 1. b) El sólido que queda tras taladrar un agujero de radio b a través de una esfera de radio R, (b < R). c) El sólido que se halla fuera del cono z 2 = 2 + y 2 y dentro de la esfera 2 + y 2 + z 2 = 1. d) El sólido limitado por las superficies z = 2 + y 2, 2 + y 2 = 4 y z =.

13 12. Empleé el teorema de Green para calcular el valor de las siguientes integrales de línea. a) (5y d + 3 dy) donde C es la trayectoria cerrada, recorrida en el sentido positivo, que consta C de las curvas y = 2 y y =, entre los puntos (,) y (2,4). b) (2y d + [ 2 + y 2 ] dy) C donde C es la curva cerrada C(t) = 3 cos t i + 2 sin t j, t [,1]. c) (y d + [ + y] dy) C en el sentido positivo. donde C es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen y recorrida d) ( 2 y 2 d + [ 2 y 2 ] dy) donde C es el cuadrado con vértices (,), (1,), (1,1) y (,1), recorrido C en el sentido positivo.