CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 9. Integrales múltiples.

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1 CÁLCULO Ingeniería Industrial. Curso epartamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 9. Integrales múltiples. Resumen de la lección Integrales dobles. Integral doble de un campo escalar sobre un rectángulo. Sea el rectángulo R =[a, b] [c, d] y f un campo escalar positivo y continuo sobre R. adas una partición equidistante {x 0,...,x n } del intervalo [a, b] yotra{y 0,...,y m } del intervalo [c, d], sedefine la partición P = {R 1,...,R N } de R en nm subrectángulos iguales de la forma [x p 1,x p ] [y q 1,y q ] con p =1,...,n y q =1,...,m.Lanorma kp k de la partición P es la medida de la diagonal de dichos subrectángulos. (b a)(d c) Todos los subretángulos de la partición P tienen el mismo área,. nm Si en cada uno de los subrectángulos R k =[x p 1,x p ] [y q 1,y q ] con k =1,...,nm se selecciona el vértice (x k,y k )=(x p,y q ) entonces el volumen del paralelepípedo de base R k yalturaf (x k,y k ) es una aproximación del volumen encerrado por la gráfica de f sobre R k. La suma de los volúmenes de todos estos paralelepípedos formados sobre los subrectángulos ofrece una aproximación del volumen encerrado por f sobre el rectángulo R. Si f : R R 2 R es un campo escalar de dos variables continuo sobre el rectángulo R =[a, b] [c, d] entonces se define la integral doble de f sobre R como el número (b a)(d c) nmx f (x, y) da = lím f (x k,y k ). kp k 0 nm R Integral iterada de un campo escalar sobre un rectángulo. Sea el rectángulo R =[a, b] [c, d] y f : R R 2 R un campo escalar continuo en R. Se define Z la integral iterada de f en R primero respecto de x y luego respecto de y d Z b como f (x, y) dx dy. Igualmente, se define la integral iterada de f en R c a Z b Z d primero respecto de y y luego respecto de x como f (x, y) dy dx. a k=1 c

2 Teorema de Fubini sobre rectángulos. Si f : R R 2 R es un campo escalar continuo en el rectángulo R =[a, b] [c, d] entonces Z d Z b f (x, y) da = f (x, y) dx dy R = c Z b a a Z d c f (x, y) dy dx = R f (x, y) dxdy. Región proyectable en el plano. Una región R 2 se dice X-proyectable si existe un intervalo [a, b] y dos funciones c (x),d(x) continuas en dicho intervalo tales que = (x, y) R 2 : x [a, b],y [c (x),d(x)] ª. Igualmente, se dice que es Y -proyectable si existe un intervalo [c, d] ydos funciones a (y),b(y) continuas en dicho intervalo tales que = (x, y) R 2 : y [c, d],x [a (y),b(y)] ª. Integral doble de un campo escalar sobre una región proyectable. Sea f : R 2 R un campo escalar continuo sobre la región X-proyectable = {(x, y) R 2 : x [a, b],y [c (x),d(x)]}. La integral doble en se define como Z b d(x) Z f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx. a Igualmente,sielcampoescalarf es continuo en la región Y -proyectable de la forma = {(x, y) R 2 : y [c, d],x [a (y),b(y)]} entonces se define la integral doble como Z d b(y) Z f (x, y) dxdy = f (x, y) dx dy. Teorema de Fubini sobre regiones proyectables. Si f : R 2 R es un campo continuo sobre la región la cual es X-proyectable y también Y - proyectable, es decir que puede escribirse como = (x, y) R 2 : x [a, b],y [c (x),d(x)] ª c c(x) a(y) ycomo = (x, y) R 2 : y [c, d],x [a (y),b(y)] ª, 2

3 entonces f (x, y) dxdy = Z b a Z d(x) c(x) f (x, y) dy dx = Z d c Z b(y) a(y) f (x, y) dx dy. Propiedades de la integral doble. Sea f : R 2 R un campo escalar continuo sobre la región cerrada y acotada. Se verifican las siguientes propiedades: 1. Linealidad: si g es otro campo escalar también continuo sobre y α, β R entonces (αf + βg) dxdy = α fdxdy + β gdxdy. 2. Aditividad: si = 1 2 de forma que 1 y 2 son regiones cerradas y acotadas con a lo más algún punto frontera en común entonces fdxdy = fdxdy + fdxdy Monotonía: si g es otro campo escalar también continuo sobre tal que g (x, y) f (x, y) para todo (x, y) entonces gdxdy fdxdy. 4. alor absoluto: si f representa al campo escalar f (x, y) = f (x, y) entonces fdxdy f dxdy. 5. olumen encerrado: el volumen encerrado por la gráfica de f sobre la región se calcula como vol ( )= f dxdy. 6. Área: el área encerrada por la región se calcula como área () = dxdy. 3

4 9.2. Cambio de variables para integrales dobles. ½Transformación ¾ uno a uno de regiones. Se dice que el cambio de variables x = x (u, v) transformaunoaunola región A del plano U en la región y = y (u, v) del plano XY si se verifica que = (x (u, v),y(u, v)) R 2 :(u, v) A ª, yademásparatodo(x, y) existe un único (u, v) A con (x, y) =(x (u, v),y(u, v)). Teorema del cambio de variables para integrales dobles. Sea el campo ½ escalar f : ¾ R 2 R continuo en conjunto cerrado y acotado. Sea x = x (u, v) un cambio de variables que transforma uno a uno la región A y = y (u, v) en la región. Si dicho cambio de variables es de clase C 1 en un abierto que (x, y) contenga a la región A en el cual, salvo un cantidad finita de puntos, (u, v) 6=0 entonces f (x, y) dxdy = f (u, v) (x, y) A (u, v) dudv, donde f (u, v) =f (x (u, v),y(u, v)). ½ ¾ x = x (u, v) Interpretación del jacobiano. Sea un cambio de variables y = y (u, v) que transforma uno a uno la región A en la región. Si dicho cambio de variables es de clase C 1 (x, y) en el interior de A y en esos puntos (u, v) 6=0entonces área () = dxdy = (x, y) A (u, v) dxdy. Es decir, el jacobiano del cambio actúa como factor de dilatación o de compresión de las áreas al pasar de A a mediante el cambio de variables dado. Cambios de variables más habituales en el plano. Algunos de los cambios de variables más utilizados en el plano son: ½ ¾ x = a11 u + a 1. Cambio lineal: 12 v a11 a con A = 12.Sujacobianoes y = a 21 u + a 22 v a 21 a 22 (x, y) (u, v) =deta. ½ ¾ x = r cos θ 2. Cambio a coordenadas polares: con r>0 y θ [0, 2π]. Su y = r sen θ (x, y) jacobiano es (r, θ) = r. 4

5 ½ x = a + r cos θ 3. Cambio a coordenadas polares trasladadas al punto (a, b): y = b + r sen θ (x, y) Su jacobiano es (r, θ) = r. 4. Cambio a coordenadas elípticas de semiejes a, b > 0: jacobiano es (x, y) (r, θ) = abr. ½ x = ar cos θ y = br sen θ ¾.Su 9.3. Superficies parametrizadas. Área de una superficie. Superficie parametrizada. Una parametrización para una superficie S en el espacio es una función S : R 2 R 3 continua en de forma que se verifica S = {S (u, v) :(u, v) }. A las variables (u, v) se les denomina parámetros ya región de parámetros. Unasuperficie parametrizada es una superficie definida por una parametrización dada S (u, v) con (u, v). Un punto (x 0,y 0,z 0 ) de la superficie S es simple para su parametrización S (u, v) con (u, v) si existe un único punto (u 0,v 0 ) de forma que S (u 0,v 0 )=(x 0,y 0,z 0 ), en caso contrario se dice que el punto es múltiple para la parametrización dada. Una superficie S es simple si existe una parametrización suya para la cual todos sus puntos sean simples. Sea S (u, v) con (u, v) una superficie parametrizada donde es cerrado yacotado.elborde de la superficie parametrizada es el conjunto de puntos de la superficiequesonimagenporlaparametrizacióndelospuntosdelafronterade. Parametrización de una superficiederevolución.una superficie S se dice de revolución alrededor del eje OZ si existe una curva C en el plano OXZ de forma que S sea el conjunto de puntos del espacio por los que pasa C al girar alrededor de OZ una vuelta completa. Si c (t) =(x (t), 0,z(t)) con t [a, b] es una parametrización de C entonces una parametrización de S es con (t, θ) [a, b] [0, 2π]. S (t, θ) =(x (t)cosθ, x (t)senθ, z (t)), ¾. 5

6 z ct () = ( xt (),0, zt ()) y θ x Plano tangente y vector normal a una superficie parametrizada. Sea S (u, v) con (u, v) U una superficie parametrizada donde S es de clase C 1 en el abierto U ysea(u 0,v 0 ) U. El producto vectorial fundamental de la superficie parametrizada en dicho punto es (S u S v )(u 0,v 0 )=S u (u 0,v 0 ) S v (u 0,v 0 ), coincidiendo con la dirección normal a la superficie en S (u 0,v 0 ) cuando se verifica que (S u S v )(u 0,v 0 ) 6= (0, 0). El plano tangente a la superficie dada en el punto S (u 0,v 0 ) cuando (S u S v )(u 0,v 0 ) 6= (0, 0) tiene la ecuación (x, y, z) S (u 0,v 0 ) S u (u 0,v 0 ) S v (u 0,v 0 ) =0. Superficie parametrizada regular a trozos. Sea S (u, v) con (u, v) U una superficie parametrizada donde S es de clase C 1 en el abierto U. Si se verifica que (S u S v ) 6= (0, 0) para todos los puntos de U salvo una cantidad finita entonces se dice que S (u, v) es regular a trozos. Área de una superficie parametrizada. Sea S (u, v) con (u, v) U una superficie parametrizada donde S es regular a trozos en el abierto U. Para todo acotado y cerrado tal que U el área de la porción de superficie S con parametrización S (u, v) con (u, v) se calcula como área (S) = k(s u S v )k dudv. El resultado de la integral anterior es el mismo para cualquier parametrización quesetomeparas. 6

7 9.4. Integrales triples. Integral triple de un campo escalar sobre un paralelepípedo. Sea el paralelepípedo R =[a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ] y sea f : R R 3 R un campo escalar continuo sobre R. Laintegral triple sobre R se define como el número Z Z f (x, y, z) d = f (x, y, z) dxdydz R R Zb 3 Zb 2 Zb 1 = f (x, y, z) dx dy dz. a 1 a 3 El teorema de Fubini para paralelepípedos garantiza que si f : R R 3 R es un campo escalar continuo sobre el paralelepípedo R =[a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ] entonces la integral triple se puede calcular como una integral iterada en cualquier orden de las variables. Región proyectable en el espacio. Sea R 3 una región en el espacio. Se dice que es XY -proyectable si existe una región del plano cerrada y acotada, y existen dos campos escalares a 3 (x, y) y b 3 (x, y) continuos en tales que = (x, y, z) R 3 :(x, y), z [a 3 (x, y),b 3 (x, y)] ª. Igualmente se pueden definir regiones XZ-proyectables y regiones YZ-proyectables. Integral triple de un campo escalar sobre una región proyectable. Sea f : R 3 R un campo escalar continuo sobre la región XY -proyectable = {(x, y, z) R 3 :(x, y), z [a 3 (x, y),b 3 (x, y)]}. La integral triple en se define como Z b 3 Z(x,y) f (x, y, z) dxdy = f (x, y, z) dz dxdy. a 2 a 3 (x,y) Igualmente se definen las integrales triples para regiones XZ-proyectables y regiones YZ-proyectables. Además, el teorema de Fubini para regiones proyectables en el espacio garantiza que si la región puede describirse como región proyectable de más de una forma entonces las integrales triples aplicadas en cada caso obtienen el mismo resultado. Propiedades de la integral triple. Sea f : R 3 R un campo escalar continuo sobre la región cerrada y acotada. Se verifican las siguientes propiedades: 1. Linealidad: si g es otro campo escalar también continuo sobre y α, β R entonces Z Z Z (αf + βg) dxdydz = α fdxdydz + β gdxdydz. 7

8 2. Aditividad: si = 1 2 de forma que 1 y 2 son regiones cerradas y acotadas con a lo más algún punto frontera en común entonces Z Z Z fdxdydz = fdxdydz + fdxdydz Monotonía: si g es otro campo escalar también continuo sobre tal que g (x, y, z) f (x, y, z) para todo (x, y, z) entonces Z Z gdxdydz fdxdydz. 4. alor absoluto: si f representa al campo escalar f (x, y, z) = f (x, y, z) entonces Z Z fdxdydz f dxdydz. 5. olumen: el volumen encerrado por la región se calcula como Z vol ( )= dxdydz Cambio de variables para integrales triples. Teorema del cambio de variables para integrales triples. Sea el cam- escalar f : R 3 R continuo en el conjunto cerrado y acotado. Sea po x = x (u, v, w) y = y (u, v, w) un cambio de variables que transforma uno a uno la región W z = z (u, v, w) en el región. Si dicho cambio de variables es de clase C 1 en un abierto que contenga a la región W en el cual, salvo un cantidad finita de puntos, (x, y, z) (u, v, w) 6=0 entonces Z Z f (x, y, z) dxdydz = f (u, v, w) (x, y, z) (u, v, w) dudvdw, W donde f (u, v, w) =f (x (u, v, w),y(u, v, w),z(u, v, w)). Cambios de variables más habituales en el espacio. Algunos de los cambios de variables más utilizados en el espacio son: x = a 11 u + a 12 v + a 13 w 1. Cambio lineal: y = a 21 u + a 22 v + a 23 w con A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23. z = a 31 u + a 32 v + a 33 w a 31 a 32 a 33 (x, y, z) Su jacobiano es (u, v, w) =deta. 8

9 2. Coordenadas cilíndricas: Se representa un punto (x, y, z) en el espacio mediante las coordenadas en polares (r, θ) de su proyección sobre el plano OXY ysucoordenadaz, (r, θ, z), de forma que r>0, θ [0, 2π) y z R. Las ecuaciones del cambio son x = r cos θ y = r sen θ z = z. El cambio consiste en tomar la región como XY -proyectable y aplicar un cambio a coordenadas polares en la integral doble sobre la proyección en el plano XY. z ( xyz,, ) θ r z y x Coordenadas cilíndricas 3. Coordenadas esféricas: Se representa un punto (x, y, z) mediante su distancia ρ = p x 2 + y 2 + z 2 alorigen,elángulopolarφ de su proyección sobre el plano OXY y el ángulo θ que forma su radio vector con la parte positiva del eje OZ, (ρ, φ, θ), de forma que ρ>0, φ [0, 2π) y θ [0,π]. Las ecuaciones del cambio son Su jacobiano es x = ρ cos φ sen θ y = ρ sen φ sen θ z = ρ cos θ (x, y, z) (ρ, φ, θ) = ρ2 sen θ.. 9

10 z φ θ ( xyz,, ) ρ y x Coordenadas esféricas 4. Cambio a coordenadas esféricas trasladadas al punto (a, b, c): x = a + ρ cos φ sen θ (x, y, z) y = b + ρ sen φ sen θ. Su jacobiano es (ρ, φ, θ) = ρ2 sen θ. z = c + ρ cos θ 10

11 Ejercicios de la lección. Ejercicio 1. Calcula las siguientes integrales dobles sobre rectángulos. 1. (xy + x) dxdy. [1,2] [0,3] 2. cos (x + y) dxdy. [0, π 2 ] [0, π 2 ] 3. (x 2 y + xe y ) dxdy. [1,3] [ 1,1] 4. (x 2 + y 2 + xy 3x) dxdy. [1,2] [1,2] Ejercicio 2.Calcula las siguientes integrales dobles. 1. (x + y) dxdy, donde es el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 2). 2. 2xydxdy, donde es la región del primer cuadrante encerrada entre la curvas y = x 2 e y = x (x y) dxdy, donde es el triángulo de vértices (0, 0), (1, 1) y (2, 0). 4. ydxdy, donde es la región del primer cuadrante donde x y 2 y x + y x 3 y 3 dxdy, donde es la región del primer cuadrante encerrada por las curvas x 2 + y 2 =4,x 2 + y 2 =2,x 2 y 2 =1y x 2 y 2 =2. Ejercicio 3. Resuelve las siguientes integrales dobles. Z 1 Z 1 1. e y2 dy dx. 0 x Z " 1 Z π # 2 y 2. xdx dy Z 1 0 arc sen y Z 1 x sen xdx dy. (Septiembre 03-04) y 2 11

12 4. Z 3 0 " Z 4 x 1 # sen (πy) 2 y dy dx. (Segundo Parcial 05-06) Ejercicio 4. Utiliza un cambio de variables para resolver las siguientes integrales dobles. 1. xydxdy, donde es el paralelogramo encerrado por las rectas y =2x, y =2x 2, y= x e y = x x 3 y 3 dxdy, donde es la región del primer cuadrante encerrada por las curvas x 2 + y 2 =4,x 2 + y 2 =2,x 2 y 2 =1y x 2 y 2 =2. p 3. x2 + y 2 dxdy, donde R =[0, 1] [0, 1]. R 4. xdxdy, donde = {(x, y) R 2 : x y, x 2 + y 2 2x} dxdy, donde es la región del primer cuadrante exterior a la cardioide r =1+cosθ e interior a la circunferencia x 2 + y 2 =3x. x 6. log (x 2 + y 2 ) dxdy, donde = {(x, y) R 2 : a 2 x 2 + y 2 b 2,x,y 0} xy dxdy, donde = {(x, y) R2 :1 x 2 + y 2 4, x y 2x, x, y 0}. x 2 y 2 dxdy, donde = {(x, y) R 2 :1 xy 2, x y 4x, x, y 0}. Ejercicio 5. Halla el área de las siguientes regiones del plano. 1. El área de una elipse de semiejes a, b > El área de la región = (x, y) R 2 :1 x + y 2, y x, x 2 y 2 1 ª. 3. El área encerrada por la cardioide r =3+2cosθ. 4. El área de la región del primer cuadrante encerrada por las siguientes curvas x 2 y 2 =1, y 2 x 2 =1,x+ y =1y x + y =2. (Junio 05-06) Ejercicio 6. Sea el cambio de variables de ecuaciones x = u + v e y = v u 2. 12

13 1. Halla el jacobiano del cambio. 2. eterminalaregións en el plano XY en que se transforma el triángulo del plano U con vértices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). 3. Calcula el área de dicha región S. Ejercicio 7. (Junio 03-04) 1. Sea I = Z 1 0 " Z # 1+ 1 y 2 f (x, y) dx dy. 2y y 2 Expresa el valor de I mediante integración iterada primero en la variable y y después en la variable x. 2. Calcula la integral (x + y) dxdy siendo la región = (x, y) R 2 : y 0, x 2 + y 2 2x, x 2 + y 2 2y ª. Ejercicio 8. Encuentra una parametrización de las siguientes superficies y calcula el producto vectorial fundamental para dichas parametrizaciones. 1. La porción del x + y z =1que verifica z La porción verificando 1 x z<2 del plano paralelo al eje OZ que contiene al punto (1, 1, 0) y a la dirección (1, 1, 0). 3. La porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 =1con z 0, usando coordenadas cartesianas. 4. La esfera x 2 + y 2 + z 2 =1. 5. La esfera x 2 + y 2 + z 2 = x + y. 6. El paraboloide 2z = x 2 + y 2 con z [0, 1], usando coordenadas cartesianas. 7. El paraboloide z = x 2 + y 2 con z [0, 2] como superficiederevolución. 8. El cilindro x 2 + y 2 =4. 9. La porción de cilindro x 2 + z 2 =1con y El cilindro x 2 + y 2 =2y. 11. La porción de cono x 2 = y 2 + z 2 con x [0, 1], usando coordenadas cartesianas. 13

14 12. El cono z 2 = x 2 + y 2 como superficiederevolución. Ejercicio 9. Encuentra una parametrización de las siguientes superficies y calcula el producto vectorial fundamental para dichas parametrizaciones. 1. El cilindro elíptico x2 a 2 + y2 b 2 =1. 2. El paraboloide x2 a 2 + y2 b 2 = z. 3. El elipsoide x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =1. 4. El cono x2 a 2 + y2 b 2 = z2. Ejercicio 10. Halla el plano tangente y la recta normal a dicha superficie en el puntoindicadodelassiguientessuperficies: 1. El cono z 2 = x 2 +4y 2 yelpunto( 1, 0, 1). 2. El paraboloide z = x 2 + y 2 yelpunto(1, 2, 5). µ 1 3. La esfera unidad y el punto 3, 2 3, El parabolide hiperbólico z = x 2 y 2 y el punto (1, 1, 0). 5. La superficiederevolucións (t, θ) µ =(t cos θ, t sen θ, a + b t) de forma que (t, θ) [a, b] [0, 2π] yelpunto 0, a + b 2, a + b. 2 Ejercicio Prueba que si una superficie parametrizada regular tiene la forma S (x, y) = (x, y, f (x, y)) con (x, y) entonces la norma del producto vectorial fundamental es q ks x S y k = 1+fx 2 + fy Prueba que para una superficie de revolución con parametrización regular S (t, θ) =(x (t)cosθ, x (t)senθ, z (t)) para (t, θ) [a, b] [0, 2π] la norma del producto vectorial fundamental es q ks t S θ k = x (x 0 ) 2 +(z 0 ) 2. 14

15 Ejercicio 12. Calcula el área de las siguientes superficies. 1. La porción del cilindro x 2 +z 2 = a 2 que está dentro del cilindro x 2 +y 2 = a La porción del plano x +y +z = a que está dentro del cilindro x 2 +y 2 = a La porción del plano 2x + y +2z =16que está delimitada por los planos x =0,x+ y =1e y =0. 4. La esfera de radio a. 5. La porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está dentro del cilindro x 2 + y 2 = ax. 6. La porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 =2z que está dentro del paraboloide z = x 2 + y La porción del cono z 2 = x 2 + y 2 interior a la esfera x 2 + y 2 + z 2 =2ay. 8. La porción de cono 4z 2 = x 2 + y 2 interior al cilindro 4=x 2 + y La porción de helicoide recto de ecuación en coordenadas cilíndricas z = θ con r [0, 1]. Ejercicio 13. Calcula el área de las siguientes superficies. 1. S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 =2y, 0 z x 2 + y 2 }(Segundo Parcial 03-04) 2. S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2,z 2 y 2 1, x y, x, y, z 0}(Segundo Parcial 05-06) Ejercicio 14. Considera el toro generado al girar la circunferencia de ecuación (x a) 2 + z 2 = b 2 con b<aalrededor del eje OZ. 1. etermina una parametrización de dicha superficie. 2. Calcula el plano normal en el punto (a + b, 0, 0). 3. Hallaeláreadelasuperficie. Ejercicio 15. Calcula las siguientes integrales triples sobre paralelepípedos. Z 1. (x + y + z) dxdydz. [ 1,2] [0,2] [1,2] Z 2. (xy +2z) dxdydz. [0,1] [1,3] [ 1,2] 15

16 Z 3. (x 2 z) dxdydz. [1,4] [ 2,2] [0,3] Ejercicio 16. Halla las siguientes integrales triples. Z 1. xdxdydz, donde es la región del octante positivo interior al paraboloide x 2 + y 2 = z yconz 2. Z 2. zdxdydz, donde es el sólido acotado superiormente por el elipsoide x 2 +4y 2 + z 2 =9e inferiormente por el paraboloide z +3=x 2 +4y 2. Z 3. (1 + x) dxdydz, donde es el sólido con z 0 acotado superiormente por la esfera x 2 +y 2 +z 2 =2z e inferiormente por el cono de ecuación z 2 =4x 2 +4y 2. Ejercicio 17. Calcula las siguientes integrales triples usando algún cambio de variables. Z 1. (x + y + z) dxdydz, donde Z Z = (x, y, z) R 3 :1 x + y + z 2, 0 x + y 2, 0 x 1 ª. xyz dxdydz, donde x 2 + y 2 + z2 = (x, y, z) R 3 : x, y, z 0, 0 x 2 + y 2 + z 2 4 ª. z p x 2 + y 2 dxdydz, donde es el trozo de la esfera unidad limitado por el cono de ecuación z 2 =(x 1) 2 + y 2 en el octante positivo. Z ³p x2 + y 2 + z 2 3 dxdydz, donde = (x, y, z) R 3 : z [0, 2],x 2 + y 2 z 2ª. 5. Z p x2 + y 2 + z 2 dxdydz, donde = n (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2y, p o x 2 + y 2 z. (Septiembre 03-04) 16

17 Z 6. xydxdydz, donde = (x, y, z) R 3 :4x 2 +2y 2 z, 2x 2 + y 2 1, x,y,z 0 ª. (Segundo Parcial 05-06) Ejercicio 18. Halla el volumen de los siguientes sólidos. 1. El sólido del primer octante interior al cilindro y 2 + z 2 =1encerrado entre los planos x + y =1y x + y =3. 2. = {(x, y, z) R 3 :2(x 2 + y 2 ) z 4}. 3. El sólido del primer octante interior al cilindro x 2 + y 2 =2y yexterioral cono z 2 = x 2 + y = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 2y, x 2 + y 2 + z 2 4}. 5. La esfera de radio a>0. 6. = {(x, y, z) R 3 : z 0, x 2 + y 2 z 2,x 2 + y 2 + z 2 9}. 7. El sólido acotado por los paraboloides x 2 +2y 2 = z y 2x 2 + y 2 =12 z. 8. = n(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, y z p o 4 x 2 y = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 2y, 0 z x 2 + y 2 }. (Segundo Parcial 03-04) 10. El sólido acotado entre dos esferas y un cono en el semiespacio superior, = {(x, y, z) R 3 : a 2 x 2 + y 2 + z 2 b 2,x 2 + y 2 z 2,z 0}.(Examen Final 07-08) 17