I. Curvas. (de curvas y superficies) Una parametrización de una curva C es una función vectorial. c : I R R n

Transcripción

1 PARAMETRIZACIONES (de curvas superficies) MARíA DEL CARMEN CALVO I. Curvas Una parametriación de una curva C es una función vectorial c : I R R n con la propiedad que al variar el parámetro t I su imagen c(t) va describiendo los puntos de C. Una interpretación física habitual es pensar que el parámetro t representa al tiempo que c(t) indica en qué posición del plano o del espacio se encuentra una partícula en el instante t. Se presentan a continuación una serie de ejemplos con la intención de aportar ideas métodos para describir paramétricamente a ciertas curvas. 1. C 1 : = 2 en R 2 Los puntos de C 1 son de la forma (, 2) Cada valor de produce un punto sobre la recta C 1. Es decir, la función c 1 : R R 2 es una parametriación de C 1. c 1 () = (, 2)

2 2 MARIA DEL CARMEN CALVO 3 = 1 2. C 2 : en R 3 + = 2 C 2 es una recta en R 3, la intersección de los planos π 1 : 3 = 1 π 2 : + = 2 Despejamos de la ecuación de π 2 : = 2 lo reemplaamos en la ecuación de π 1 3 (2 ) = = 1 4 = 3 De aquí obtenemos que = 4 3 Luego, los puntos de C 2 son los (,, ) tales que = 2 = 4 3 con lo cual (,, ) = (, 2, 4 3) = (0, 2, 3) + (,, 4) = (0, 2, 3) + (1, 1, 4) es decir, C 2 es la recta dirigida por el vector (1, 1, 4) que pasa por el punto (0, 2, 3). Una parametriación de C 2 es entonces c 2 : R R 3 c 2 () = (, 2, 4 3)

3 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III C 3 : = 1 en R 2 Una parametriación de esta circunferencia es la función c 3 : [0, 2π] R 2 c 3 (t) = (cos t, sen t) El parámetro t representa en este caso el ángulo que forma el vector de origen (0, 0) etremo (, ) con el semieje positivo de las abscisas.

4 4 MARIA DEL CARMEN CALVO 4. C 4 : = 1 en R2 Para hallar una parametriación de esta elipse notemos que su ecuación se puede escribir en la forma ( ) 2 ( ) 2 + = lo que significa que un punto (, ) C 4 si sólo si ( 3, 2 ) C 3. Pero en tal caso, para un t [0, 2π]. 3 = cos t e 2 = sen t Despejando e obtenemos una parametriación de esta elipse c 4 : [0, 2π] R 2 c 4 (t) = (3 cos t, 2 sen t) Conviene observar que, como se ve en el gráfico, ahora t a no tiene la misma interpretación que en el caso anterior. 5. C 5 : ( 2) ( + 3)2 4 = 1 en R 2 Comencemos por notar que (, ) C 5 si sólo si ( 2, + 3) C 4. Luego, para cada (, ) C 5 habrá un t [0, 2π] tal que 2 3 = cos t e = sen t

5 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III De modo que una parametriación de esta elipse está dada por c 5 : [0, 2π] R 2 c 5 (t) = (3 cos t + 2, 2 sen t 3) 6. C 6 : 2 2 = 1 en R 2 En primer lugar vamos a parametriar la rama derecha de esta hipérbola, llamada hipérbola equilátera. A partir de esa traectoria construiremos luego por simetría respecto del eje la parametriación de la rama iquierda. Sobre la rama derecha es 1; luego, podemos despejarla de la ecuación = Esto a nos daría una forma describir paramétricamente los puntos de C 6 mediante la función d() = ( 2 + 1, ) definida en R. Pero vamos a encontrar otra parametriación utiliando las funciones hiperbólicas de manera análoga a lo hecho con la circunferencia las funciones trigonométricas. Recordemos que la función senh t es biectiva entre R R, derivable su inversa argsenh tiene estas mismas propiedades

6 6 MARIA DEL CARMEN CALVO senh argsenh Esto nos permite pensar a cada R como = senh t para un único t R 1. De esta forma, = = senh 2 t + 1 = cosh t en virtud de la identidad hiperbólica cosh 2 t senh 2 t = 1 del hecho que cosh t 1 > 0 para todo t R. Resulta entonces que cada punto de la rama derecha de la hipérbola equilátera se puede epresar en la forma (cosh t, senh t) para un único t R tal como se muestra en el siguiente gráfico. el área de esta región mide t/2 1 claramente debe ser t = argsenh

7 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III La verificación de que el parámetro t se puede interpretar como el doble del área de la región sombreada requiere un simple cálculo integral. Ya estamos en condiciones de escribir la parametriación prometida de la rama derecha de la hipérbola equilátera, c 6d : R R 2, c 6d (t) = (cosh t, senh t) La siguiente figura ilustra cómo definir la parametriación de la rama iquierda c 6i : R R 2, c 6i (t) = ( cosh t, senh t) 7. C 7 : gráfico de f : [a, b] R

8 8 MARIA DEL CARMEN CALVO Tal como se muestra en la figura anterior, cada punto del gráfico de f se puede epresar en la forma (t, f (t)) para t [a, b]. Luego, una parametriación de C 7 estará dada por c 7 : [a, b] R 2 c 7 (t) = (t, f (t)) 8. C 8 : r = θ (coordenadas polares) Notemos que, si epresáramos a las coordenadas de la parametriación en coordenadas polares, la epresión claramente sería (θ, θ) para θ R >0 dado que r debe ser positivo. Con la auda del siguiente gráfico tratemos de hallar una parametriación usando coordenadas cartesianas. C 8 Dado P C 8, sus coordenadas polares necesariamente son (θ, θ) para algún θ 0; por lo tanto, sus coordenadas cartesianas serán para θ 0. (θ cos θ, θ sen θ) Deducimos de aquí la fórmula de una parametriación de esta espiral c 8 : R 0 R 2 c 8 (t) = (t cos t, t sen t)

9 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III C 9 = Im(c 9 ), donde c 9 : [0, 3π] R 3, c 9 (t) = (3 cos t, 3 sen t, t) Esta curva recibe el nombre de hélice circular. Si llamamos ((t), (t), (t)) a las componentes de c 9 (t) (t) = cos t, (t) = sen t, (t) = t Las dos primeras satisfacen (t) 2 + (t) 2 = 1 Esto muestra que su imagen está contenida en el cilindro de ecuación = 9 La figura siguiente ilustra lo que acabamos de afirmar nos va a permitir encontrar mu fácilmente una parametriación para la proección de esta curva sobre el plano C 9 P Q Claramente la proección de la hélice sobre el plano es la intersección de dicho plano con el cilindro antes mencionado (en el gráfico, la curva aul) pues cada punto P de la hélice cae verticalmente sobre el punto Q de dicha intersección. La proección de la hélice sobre el plano se epresa (en R 3 ) mediante las ecuaciones = 9 2 = 0 2 Conviene observar que en R 3 la ecuación = 9 representa un cilindro, no una curva.

10 10 MARIA DEL CARMEN CALVO O sea, la circunferencia de radio 3 centrada en el origen contenida en el plano. Queda entonces claro que una parametriación de esta curva está dada por d 9 : [0, 2π] R 3 d 9 (t) = (3 cos t, 3 sen t, 0) 10. C 10 = Im(c 10 ), donde c 10 : R R 3, c 10 (t) = (cosh t, senh t, t) Si, como en el caso anterior, llamamos ((t), (t), (t)) a las componentes de c 10 (t) Las dos primeras satisfacen (t) = cosh t, (t) = senh t, (t) = t (t) 2 (t) 2 = 1 lo que nos dice que la traa de esta curva se encuentra sobre el cilindro hiperbólico de ecuación 2 2 = 1 Más precisamente, sobre una de sus hojas. Esta situación se ilustra en la siguiente figura P Q C 10 Como en el caso anterior, nuestro objetivo en este ejemplo es hallar una parametriación de la proección de la traa de c 10 sobre el plano.

11 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III Siendo que la curva en cuestión está sobre una superficie cilíndrica, el cilindro hiperbólico 2 2 = 1, que es ortogonal al plano (sobre el que queremos proectar) su proección será la intersección 2 2 = 1 = 0 Tal como se ve en el gráfico, esta curva es una de las ramas de la hipérbola equilátera sobre el plano. Y por lo tanto, podemos decir que la función es una parametriación de esta curva. d 10 : R R 3 d 10 (t) = (cosh t, senh t, 0) 11. Imagen de una curva en el plano por una función f : R 2 R Como último ejemplo haremos un proceso inverso al de los dos previos. Partimos de una curva en el plano d 11 : R R 3, d 11 (t) = (t, sen t, 0) queremos hallar una parametriación de la curva obtenida al subir 3 los puntos de la traa de d 11 al gráfico de una función f : R 2 R, f (, ) = c 11 f(,) Q P d 11 3 o bajar

12 12 MARIA DEL CARMEN CALVO Si subimos el punto P de la traa de d 11 al gráfico de f obtenemos el punto Q. Decir esto es lo mismo que decir que el punto Q se proecta, sobre el plano en el punto P. Se deduce de aquí que ambos comparten sus dos primeras coordenadas; más precisamente, siendo P = (t, sen t, 0) Q debe tener la forma Q = (t, sen t, ) pero como además está sobre el gráfico de f, su última coordenada debe ser la imagen de las dos primeras. Luego, Q = (t, sen t, f (t, sen t)) De esta forma, la función c 11 : R R 3 es la parametriación que buscamos. c 11 (t) = (t, sen t, f (t, sen t))

13 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III II. Superficies Una parametriación de una superficie en S R 3 es una aplicación φ : [a, b] [c, d] R 3 tal que al variar los parámetros s [a, b] t [c, d] su imagen φ(s, t) va describiendo los puntos de la superficie S. En esta sección vamos a presentar parametriaciones de las cuádricas de algunas otras superficies destacadas. 1. S : = 2 (plano vertical) Los puntos de S se caracterian por tener vinculadas sus dos primeras coordenadas por la relación = + 2 mientras que la última coordenada puede tomar cualquier valor. -2 (, +2, ) 2 Luego, la aplicación es una parametriación del plano S. φ : R 2 R 3 dada por φ(, ) = (, + 2, )

14 14 MARIA DEL CARMEN CALVO 2. S : = 1 (plano no vertical) Como es un plano no vertical, el coeficiente de siempre será no nulo podremos despejar de la ecuación que define a S. En nuestro caso, = (,, _ 3 - _ 1 - _ 74 ) 2 4 Por lo tanto, un punto (,, ) S si sólo si (,, ) = (,, 3 1 7) donde, son números reales cualesquiera. Luego, la aplicación φ : R 2 R 3 dada por φ(, ) = (,, 3 1 7) es una parametriación de S. 3. S : = f (, ) (gráfico de una función f : A R 2 R) El gráfico de f se define como gráf( f ) = {(,, ) R 3 / (, ) A = f (, )}

15 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III De modo que lo que caracteria a los puntos de este conjunto es que su última coordenada es la imagen por f de las dos primeras, que deben estar en el dominio de f. Gráficamente, (,, f(, )) (,,0) Podemos decir entonces que la aplicación φ : A R 3 dada por φ(, ) = (,, f (, )) es una parametriación del gráfico de f. 4. S : = r 2 (esfera de radio r) (0,0,r) θ P = φ ( α, θ ) α (r,0,0) α = constante Meridiano θ = constante Paralelo

16 16 MARIA DEL CARMEN CALVO Recordando la definición de las coordenadas esféricas, un punto (,, ) S si sólo si (,, ) = (r cos α sen θ, r sen α sen θ, r cos θ) donde 0 α 2π 0 θ π. Luego, la aplicación φ : [0, 2π] [0, π] R 3 dada por φ(α, θ) = (r cos α sen θ, r sen α sen θ, r cos θ) es una parametriación de la esfera de radio r. 5. S : 2 a b c 2 = 1 (elipsoide) c a b Siguiendo el procedimiento que utiliamos para encontrar una parametriación de la elipse a partir de la de la circunferencia, escribimos la ecuación de S en la forma ( ) 2 ( ) 2 ( ) = 1 a b c De modo que (,, ) S si sólo si (,, ) pertenece a la esfera de radio 1, por lo cual, a b c ( a, b c), = (cos α sen θ, sen α sen θ, cos θ) para 0 α 2π 0 θ π. Es decir, (,, ) = (a cos α sen θ, b sen α sen θ, c cos θ)

17 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III Podemos afirmar entonces que la función φ : [0, 2π] [0, π] R 3 dada por φ(α, θ) = (a cos α sen θ, b sen α sen θ, c cos θ) es una parametriación del elipsoide de semiejes a, b c. 6. S : = r 2 (cilindro circular) Los puntos de S tienen la particularidad que sus dos primeras coordenadas están vinculadas por la ecuación que define a S mientras que la última puede tomar cualquier valor totalmente independiente de las dos primeras. Además, según se ve en el gráfico (,,) (,,0) = (r cos t,r sen t, 0) el par (, ) pertenece a la circunferencia centrada en (0, 0) de radio r, por lo cual sabemos que eiste un t [0, 2π] tal que Concluimos entonces que la aplicación (, ) = (r cos t, r sen t) φ : [0, 2π] R R 3 dada por φ(t, ) = (r cos t, r sen t, ) es una parametriación del cilindro S. NOTA: Un raonamiento análogo al hecho para obtener una parametriación del elipsoide a partir de una de la esfera proporciona una forma de parametriar un cilindro elíptico.

18 18 MARIA DEL CARMEN CALVO 7. S : 2 = 0 (cilindro parabólico) La condición que debe satisfacer un punto de R 3 para estar en este cilindro afecta sólo a la primera última coordenadas; la segunda puede tomar cualquier valor (totalmente independiente de las otras dos). En la siguiente figura se muestra la proección de un punto P de S sobre el plano (el punto Q) sobre el plano (el punto R). = 2 Q P c R c 2 b ( c2, b, c) Al proectarlo sobre el plano vemos que Q se mueve sobre la parábola = 2 de modo que la siguiente aplicación es una parametriación de esta superficie φ : R R R 3 dada por φ(, ) = ( 2,, ) NOTA: también podríamos haber pensado que de la ecuación 2 = 0 se puede despejar como función de de esta forma interpertar a S como el gráfico de la función = f (, ) = 2 Utiliando el método aplicado en el ejemplo 3. llegamos a la misma parametriación de S.

19 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III S : 2 2 = 1 (cilindro hiperbólico) Esta cuádrica, como todas las superficies cilíndricas 4 generadas por una recta que es paralela a uno de los ejes, tiene la propiedad que una de las coordenadas de sus puntos se mueve de manera independiente de las otras dos. En este caso, se trata de la variable. (,,) (-,,) (-,,0)=(-cosh t,senh t,0) (,,0)=(cosh t,senh t,0) Basta entonces conseguir una parametriación de la curva 2 2 = 1 (pensada como curva, no como superficie) para obtener la de la superficie. Como vimos en la sección anterior, para parametriar la hipérbola completa debemos definir dos aplicaciones c 1 (t) = (cosh t, senh t, 0), c 2 (t) = ( cosh t, senh t, 0) ambas definidas en R. Luego, una parametriación del cilindro hiperbólico está dada por las aplicaciones φ 1 : R R R 3, φ 1 (t, ) = (cosh t, senh t, ) φ 2 : R R R 3, φ 2 (t, ) = ( cosh t, senh t, ) 4 superficie generada por una recta que se mueve paralelamente a sí misma recorre una curva dada, según el diccionario de la Real Academia

20 20 MARIA DEL CARMEN CALVO 9. S : = 2 2 (paraboloide hiperbólico) La ecuación de S muestra que se trata del gráfico de la función f (, ) = 2 2 cuo dominio es R 2. La siguiente figura ilustra este hecho, (,,0) (,, 2-2) De modo que, como vimos en un ejemplo anterior, una parametriación de S es φ : R R R 3 dada por φ(, ) = (,, 2 2 ) 10. S : = (paraboloide circular) Este caso es análogo al anterior pues también la ecuación de S muestra que se trata del gráfico de una función; esta ve de f (, ) = 2 + 2

21 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III Gráficamente, (,, ) (,,0) De modo que, una parametriación de S es φ : R R R 3 dada por φ(, ) = (,, ) 11. S : = 1 (hiperboloide de una hoja) La ecuación de S es equivalente a = Escrita de esta forma se ve 5 que los puntos de S verifican para cada fijo que sus dos primeras coordenadas se mueven sobre la circunferencia centrada en (0, 0, ) de radio contenida en el plano horiontal que pasa por (0, 0, ), como se ilustra en la siguiente figura, 5 por ser > 0 para todo R

22 22 MARIA DEL CARMEN CALVO 2-2 =1 2+ 2= cosh 2t Q P Es decir, son de la forma ( cos t, sen t, ) para cada R cada 0 t 2π. Esto a nos da una parametriación, pero vamos a utliar las funciones hiperbólicas para encontrar otra que nos será más útil. En la sección anterior recordamos que la función senh : R R es biectiva, derivable su inversa argsenh : R R también es derivable. Por otro lado, de la identidad hiperbólica se deduce inmediatamente que cosh 2 u senh 2 u = 1 senh 2 u = cosh 2 u + 1 Esto sugiere interpretar a cada R como = senh u para un único u R 6 pues de esta forma, = senh 2 u + 1 = cosh 2 u = cosh u de aquí deducimos que los puntos del hiperboloide de una hoja se pueden escribir en la forma (cosh u cos t, cosh u sen t, senh u) 6 claramente, u = argsenh.

23 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III Luego, φ : R [0, 2π] R 3 dada por φ(u, t) = (cosh u cos t, cosh u sen t, senh u) es una parametriación de S. 12. S : = 1 (hiperboloide de dos hojas) Imitando el procedimiento seguido en el ejemplo anterior, despejamos de la ecuación de S, que se escribe entonces = 2 1 Una primera observación es que esta superficie no tiene nada en común con la parte del espacio encerrada entre los planos de ecuación = 1 = 1 dado que debe ser 2 1 para que el punto (,, ) S. Esto se ve claramente en la siguiente figura, P Q' P' Q Como sucede con la hipérbola, en este caso también vamos a necesitar dos aplicaciones para parametriar este hiperboloide. Consideremos primero la hoja superior. Los puntos de esta parte satisfacen 1. Siendo la función cosh : R 0 R 1 biectiva derivable, con inversa argcosh : R 1 R 0 también derivable recordando nuevamente la identidad hiperbólica, podemos pensar que cada 1 es de la forma = cosh u para un único u R 0. Luego, todo punto (,, ) S tal que 1 verifica = 2 1 = cosh 2 u 1 = senh 2 u

24 24 MARIA DEL CARMEN CALVO para un u R 0. Esto nos dice 7 que los puntos de la parte superior de S se corresponden eactamente con los de la forma para u 0 0 t 2π. De modo que (senh u cos t, senh u sen t, cosh u) φ 1 : R 0 [0, 2π] R 3 dada por φ 1 (u, t) = (senh u cos t, senh u sen t, cosh u) es una parametriación de la hoja superior de S. Con respecto a la hoja inferior, por raones de simetría respecto del plano, es claro que φ 2 : R 0 [0, 2π] R 3 dada por φ 2 (u, t) = (senh u cos t, senh u sen t, cosh u) es una parametriación de esa parte del hiperboloide de dos hojas. 13. S : 2 = (cono) Consideremos primero los puntos del cono tales que 0; i.e., cualquiera que no sea el vértice. Para ellos, la ecuación de S es equivalente a ( ) 2 + ( ) 2 = 1 = = 2 = 7 recordar el gráfico de senh u

25 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III O sea, (,, ) S si sólo si (, ) pertenece a la circunferencia unitaria. Luego, para un t [0, 2π]. Es decir, Llegamos entonces a que la aplicación = cos t, = sen t = cos t, = sen t φ : [0, 2π] R R 3 dada por φ(t, ) = ( cos t, sen t, ) es una parametriación del cono. Cabe observar que el vértice corresponde a φ(t, 0) para cualquier 0 t 2π. 14. S : 2 = r 2 ( a ) 2, (a > r > 0) (toro) La siguiente figura ilustra la forma de esta superficie, Podemos pensar en una porción de cilindro circular recto que esté confeccionado en un material fleible; lo doblamos de forma tal que coincidan los etremos. Así generamos el toro. Con el objeto de hallar una descripción paramétrica de los puntos de S, consideremos el siguiente gráfico esquemático

26 26 MARIA DEL CARMEN CALVO a+r P u a a+r v P=( (a+r cos(u)) cos(v), (a+r cos(u)) sen(v),r sen(u) ) A partir de él se puede hallar la manera de describir el punto genérico P de la superficie S en función de los parámetros u, v [0, 2π]. Pero también lo podemos hacer a partir de su ecuación. Si (,, ) S, por lo tanto, eiste un u [0, 2π] tal que ( a) = r a = r cos u, = r sen u o sea, = a + r cos u, = r sen u equivalentemente, = (a + r cos u) 2, = r sen u entonces, podemos afirmar que eiste v [0, 2π] tal que = (a + r cos u) cos v, = (a + r cos u) sen v, = r sen u Obtenemos así una parametriación del toro φ : [0, 2π] [0, 2π] R 3 dada por φ(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen u) 8 dado que ambos miembros son positivos por ser 0 < r < a