f(x,y) = 2x 2 4x+y 2 4y +1

Transcripción

1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE17 Cálculo Vectorial Tarea Individual Entregue en clase a su profesor de la MAGISTRAL la semana 11 (Ma. 16 Oct. Vi. 19 Oct.) Segundo Examen Parcial P: Sábado 7 de Octubre 7: - 9: a.m. 1. (4 points) Dada la función f(x,y) x 4x+y 4y +1 y la región R del plano xy acotada por las rectas x, y, y x en el primer cuadrante. (a) Encuentre los puntos críticos de f en todo su dominio. (b) Encuentre los valores máximos y mínimos de f en R. En qué puntos de R la función f obtiene esos valores extremos?. Especifique. Solution: (a) El único punto crítico en todo el dominio R está en B(1,). En este punto la función tiene un mínimo global igual a 5. (b) Observaciones: f(x,y) (x 1) +(y ) 5, es decir el gráfico de f es un paraboloide elíptico abierto hacia arriba con vértice en V(1,, 5). En general todas las curvas de nivel son elipses verticales (x 1) ) +(y 1. La curva (c+5)/ c+5 de nivel 1 es la elipse que pasa por el origen (x 1) (y ) Por lo tanto en el triángulo ABC donde A(,), B(1,), C(,) el mínimo está en el vértice B(1,) y el máximo en A(,). El valor máximo es 1 y el valor mínimo es 5. El problema también se puede resolver usando multiplicadores de Lagrange. Como no hay más extremos globales que el mínimo global en B(1,) se debe usar tres veces el métoo de multiplicadores de Lagrange, una vez por cada lado del triángulo ABC.. (4 points) Encuentre la distancia máxima desde el origen del sistema de coordenadas a la hoja de Descartes x 3 +y 3 3axy, donde a >, x, y.

2 Solution: Podemos observar primero que el gráfico asociado a esta ecuación es simétrico ( respecto a la recta y x y sobre ella se encuentran dos puntos O(,) 3a y M, 3a ). Aplicaremos el método de multiplicadores de Lagrange usando el cuadrado de la distancia como función objetivo a maximizar f(x,y) x + y, y como restricción la curva, g(x,y) x 3 +y 3 3axy. x 3λ(x ay) y 3λ(y ax) x 3 +y 3 3axy Suponiendo que la solución buscada no es O(, ), entonces podemos suponer que x, y, λ. De las dos primeras obtenemos únicamente ( x y que al 3a reemplazar en la tercera ecuación obtenemos que la solución es M, 3a ). Por lo tanto las dos únicas soluciones encontradas usando el método ( de multiplicadores 3a de Lagrange son O (,) cuya distancia es mínima y M, 3a ) para el cual la distancia es máxima y es igual a d 3a. 3. (4 points) La densidad poblacional (número de personas por kilómetro cuadrado) de una ciudad de la costa norte está dada por la siguiente función, f(x,y) 1ey 1+.5 x donde x e y están medidos en kilómetros. Encuentre el tamaño de la población dentro del área rectangular descrito por, R {(x,y) 5 x 5, y }. Solution: El gráfico de la función f(x,y) 1ey es simétrico respecto al plano 1+.5 x yz, es decir f( x,y) f(x,y). Además la regón R también es simétrica respecto al eje y. Por lo tanto, si d es el tamaño de la población en R, entonces 5 d 5 ( 5 1e y 1+.5 x dydx )( x dx 5 1e y dy 1e y 1+.5x dydx ) dydx 4(ln(3.5)) ( 1 e ) Page

3 4. (4 points) Sea H un hemisferio sólido de radio a, cuya densidad en cada punto es proporcional a la distancia al centro de la base. a) Encuentre la masa de H. b) Encuentre el centro de masa. Solution: a) El centro de la base será (,,), luego la función de densidad es ρ(x,y,z) c x +y +z para cierta constante positiva no nula c. Usando que lo podemos expresar H en coordenadas polares como H {P(θ,φ,ρ) : θ π; φ π/; ρ a} y que x +y +z ρ, entonces m c H π ρ(x, y, z)dv dθ π/ sin(φ)dφ π π/ a a cρ 3 sin(φ)dρdφdθ ρ 3 dρ c(π)(1)(a 4 /4) (cπa 4 )/. b) Por la simetría de la figura y de la función de densidad, M yz y M xz. Ahora, usando que z ρcos(φ), tenemos M xy c H π z ρ(x,y,z)dv dθ π/ π π/ a cos(φ) sin(φ)dφ a Por lo tanto el centro de masa es (x,y,z) (,, 5 a) cρ 4 cos(φ)sin(φ)dρdφdθ ρ 4 dρ c(π)([sin(φ) /] π/ )(a 5 /5) 1 5 cπa5. Respuestas: a) m (cπa 4 )/, b) (x,y,z) (,, 5 a) 5. (4 points) Evalúe la siguientes integrales usando coordenadas esféricas o cilíndricas, según corresponda. a) 1 x x y 1 1 x x +y (x +y ) 3/ dzdydx Page 3

4 b) 1 y x y x +y (x +y +z )dzdxdy. Solution: a) La región a integrar esta acotada por abajo por el paraboloide z x +y y por arriba por el paraboloide z x y. El primer paraboloide esta descrito en coordenadas cilindricas por z r y el segundo por z r. Además, en el plano xy la region describe un circulo de radio 1, entonces 1 x x y 1 1 x x +y (x +y ) 3/ dzdydx π π dθ r r r 4 dzdr π π r (r 4 r 6 r 6 )dr 8π/35. r [zr 4 ] r r dr (r ) /3 rdzdrdθ b) La región a integrar esta en el primer octante y esta acotada por abajo por el cono z x + y y por arriba por la esfera x + y + z. En cordenadas esfericas el cono esta dado por φ π/4, luego φ π/4, ahora como la figura vive en el primer octante θ π/, y la esfera esta descrita por ρ, por tanto ρ. Entonces π/ dθ π/4 sin(φ)dφ 1 y x y (x +y +z )dzdxdy x +x π/ π/4 ρ 4 sin(φ)dρdφdθ ρ 4 dρ (π/)(1 /)(( ) 5 /5). Respuestas: a) 8π/35, b) (π/)(1 /)(( ) 5 /5). 6. (4 points) Calcule el volumen del sólido encerrado por el elipsoide x a + y b + z c 1, usando las transformaciones x au,y bv,z cw. La Tierra no es una esfera perfecta; la rotación a hecho que lo polos se aplanen un poco. La forma de la tierra puede aproximarse por un elipsoide con a b 6378 Km, c 6356 Km, usando el cálculo anterior y una calculadora de un estimado del volumen de la Tierra. Page 4

5 Solution: (x,y,z) (u,v,w) a b c abc. Note que la regio a integrar bajo el cambio de coordenadas es simplemento los (u,v,w) tal que u +v +w 1, entonces si S es el solido encerrado por el elipsoide V(S) dv (abc)dudvdw S (u,v,w):u +v +w 1 abc(volumen de una esfera de radio 1) 4/3π(abc) Respuesta: 4/3π(abc), Km (4 points) Sea f : [,1] R una función continua y R la región triangular con vértices (,),(1,),(,1). Muestre haciendo uso del cambio de variables u x+y, v y, que R f(x+y)da uf(u)du. Solution: Tomando u x+y, v y, se tiene que x u v, y v, (x,y) (u,v) 1, y R es la imagen de la región triangular con vértices (,),(1,),(1,1). Entonces R f(x+y)da u f(u)dvdu uf(u)du. 8. (4 points) Considere la siguiente integral iterada triple: 4 5 y 5 x y 1 1/y f(x,y,z)dzdxdy (a) Haga un dibujo de la región de integración en R 3. (b) Plantee las cinco integrales triples iteradas restantes según los diferentes órdenes de integración iterada. Page 5

6 Solution: a) La región de integración es el sólido E en Fig. 1. Figura 1 b1) Dibujamos la proyección del sólido E sobre el plano XOY (ver Fig.). Figura : la proyección del sólido E sobre el plano XOY. Entonces, I 4 5 y 5 x y 1 1/y 4 5 x y 1/4 1/x f(x,y,z)dzdxdy f(x,y,z)dzdydx+ 4 5 x 5 x y 1 1 f(x,y,z)dzdydx. b) Dibujamos la proyección del sólido E sobre el plano YOZ (ver Fig.3). Page 6

7 Figura 3: la proyección del sólido E sobre el plano YOZ Entonces, I 4 5 y 1/y 5 y z 1 1/y 3/4 4 5 y z f(x,y,z)dxdzdy f(x,y,z)dxdydz + 3 φ(z) 5 y z 1 3/4 1 f(x,y,z)dxdydz, donde la función y φ(z) 1 [5 z+ (z 5) 4] es una solución de la ecuación z 5 y 1/y. b3) Dibujamos la proyección del sólido E sobre el plano XOZ (ver Fig.4, Fig.5). Figura 4: la proyección del sólido E sobre el plano XOZ Page 7

8 Figura 5: sólido E y su proyección sobre el plano XOZ La parte I de la proyección es cubierto por las superficies y 1 y y 5 x z, la parte II por y 1/x y y 5 x z, y la parte III por y 1/x y y 4. Entonces, I 1/4 x 4 3/4 1 z 1/x 5 x z 1/x f(x,y,z)dydzdx+ + 1/4 4 4 x 5 x z 1 1 3/4 z 4 1/4 1/x f(x,y,z)dydxdz + donde x φ(z) 1 [5 z + (z 5) 4]. 5 x 1/x 5 x z 1 x 1/x f(x,y,z)dydzdx f(x,y,z)dydxdz+ 3 5 x z 3/4 φ(z) 1/x 3 4 z 5 x z f(x,y,z)dydzdx+ f(x,y,z)dydxdz+ f(x,y,z)dydxdz, 9. (4 points) Halle el valor de la integral E ( ) x z 4 + y dv, 9 donde E {(x,y,z) 9x +4y 36, z 1}. Page 8

9 Solution: Hacemos el cambio de coordenadas x rcosφ,y 3rsinφ,z z. Entonces, el Jacobiano es J det x r y r r x φ y φ φ x y det cosφ rsinφ 3sinφ 3rcosφ 1 6r Con respecto a las coordenadas (r,φ,z) el sólido E es dada por las condiciones r 1, φ π, z 1, y ( ) x z 4 + y zr. 9 Entonces, E ( ) x z 4 + y dv 9 π zr (6r)dφdrdz π 6zr 3 dφdrdz 3 π. 1. (4 points) Sea E un sólido acotado por las superficies x + y z + z 1, z, x, y la densidad del sólido es dada por la función d(x,y,z) z +1. (a) Probar que el centro de masa del sólido E esta en el plano y. (b) Encuentre el centro de masa del sólido E. Solution: a) Porque la ecuación x +y z +z 1 se puede reescribir en la forma x + y (z 1) el sólido E es un semicono con el vértice (,,1) y la base x +y 1, x (x ). Consideremos el caso x. Por la simetría de E con respecto al plano y y porque la densidad d(x,y,z) no depende de y tenemos que el centro de masa M(x,y,z ) esta en el plano y, entonces y. b) El centro de masa M(x,y,z ) esta en el plano y, entonces y. Calculemos la masa de E usando coordenadas cilíndricas: π/ r M d(x,y,z)dv (z +1)rdzdrdφ 5 4 π. E π/ Page 9

10 Luego y x 1 M z 1 M E xd(x,y,z)dv E zd(x,y,z)dv π/ r π/ π/ r π/ r cosφ(z +1)dzdrdφ 4 5π z(z +1)rdzdrdφ 7 5. Entonces el centro de masa es M( 4 5π,, 7 5 ). Para el caso x, por la simetría obtenemos que M( 4 5π,, 7 5 ). 11. (4 points) Sea D es el disco x +y 1. Pruebe que 3 < e x+y +1dA < 18 D Solution: Encontraremos los valores mínimo y máximo de la función f(x,y) e x+y sobre el disco D. Porque la función y e x +1 es monótona, es suficiente encontrar los valores extremos de la función g(x,y) x+y sobre el disco D. Usamos el método de multiplicadores de Lagrange. Construimos la función y resolvemos el sistema G(x,y,λ) x+y +λ(x +y 1), G 1+λx x G 1+λy y G λ x +y 1 Las soluciones son x 1 1, y 1 1, λ 1 1 y x 1, y 1, λ 1. Entonces el valor máximo de la función g(x,y) x+y sobre el disco D es g max g(x,y ) g( 1 1, ) y el valor máximo de la función f(x,y) e x+y + 1 es f max e +1. Por el misma manera obtenemos que el valor mínimo de la función f(x,y) e x+y +1 es f min e +1 Ahora por las propiedades de la integral doble obtenemos que 3 < f min Área(D) (e +1)π D e x+y +1dA f max Área(D) (e +1)π < 18. Page 1

11 1. (4 points) Calcule (1,3) y (,). D e x y da donde D es el interior del triángulo con vértices (,), Solution: Partiendo la región D en dos (x 1 y x 1) tenemos: f da D 3x x ex y dydx+ 4 x e x y dydx 1 x 1 e x dx+ 1 1 ex 4 dx 1+e. 13. (4 points) Calcule D sin(x +y ) da donde D es el disco definido por x +y π. Solution: En coordenadas polares: D f da π π sin(r )r drdθ π. 14. (4 points) Calcule 4 y/ e x dxdy. Solution: Cambiando el orden de integración: 4 xex dx e 4 1. y/ ex dxdy x e x dydx 15. (4 points) Cambie el orden de integración en I : (1 x) 3(1 x y/) f(x,y,z) dzdydx para obtener las otras cinco formas correspondientes a la misma triple integral. Haga un bosquejo de la región de integración. Solution: La región de integración es la región acotada por los planos coordenados y el plano 6x+3y +z 6. Así por ejemplo: I : 3 z/3 (1 x z/3) f(x,y,z) dydxdz Page 11