Ejercicios para el curso MA 1003: Cálculo III

Transcripción

1 Ejercicios para el curso MA 13: Cálculo III Tomados de los exámenes de la Cátedra 1 Superficies en el espacio R Hallar la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva de intersección de las superficies x 2 + y 2 = 1 y z = x y cuyas generatrices son paralelas al vector (9,1, 15) Obtener la ecuación de un cilindro cuya directriz está dada por la curva x 2 + y 2 + 2z 2 = 8, x y + 2z =, y cuyas generatrices son paralelas a la recta (x, y, z) = ( 3, 1, 5) + t(2, 1, 4), t R Calcular la ecuación del cilindro elíptico que tiene por directriz la elipse x y2 4 = 1, z = y por generatrices rectas paralelas a la recta de intersección de los planos 9x + y + 4z = 14 y x + y + z = Encontrar la ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta 2x + y + z 6 =, x + y =, y cuya directriz es la intersección de la esfera de radio 1 centrada en el punto (1,,1) con el plano x y = Hallar la ecuación del cilindro cuya directriz es la elipse de ecuaciones paramétricas x = cosθ, y = senθ, z = cosθ + senθ y cuyas generatrices son perpendiculares al plano que contiene dicha elipse Calcular la ecuación de la superficie cónica que tiene por vértice el punto (,2,3) y cuya directriz es la elipse x 2 + y 2 = 16, x + y + z = Calcular la ecuación del cono que tiene por vértice el punto ( 4,2,3) y cuya directriz es la curva de intersección de las superficies x y2 = 1, 3x + 2y z =. 16 Recopilado por el Prof. Marco Alfaro C. y reeditado por Joseph C. Várilly en el II Ciclo del 29 1

2 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Calcular la ecuación de la superficie cónica que tiene por vértice el punto (,2,3) y cuya directriz es la curva de intersección del hiperboloide de una hoja x 2 + y 2 4z 2 = 16 con el plano x y + z = Encontrar la ecuación del cono cuyo vértice se encuentra en el centro del elipsoide y cuya directriz es la elipse x y2 3 + z2 4 = 1 x y2 3 + z2 4 = 1, x + y + z = Hallar la ecuación del cono cuyo vértice es el centro de la superficie 2x 2 + y 2 + z 2 = 12 y que tiene por directriz la curva de intersección de esta superficie con el plano x + y + z = Encontrar la ecuación del cono que cuyo vértice es el centro de la superficie cuadrática x 2 y 2 + 4x + 6y + z 2 = 1 y cuya directriz es el círculo x 2 + y 2 + z 2 = 9, x + y + z = Calcular la ecuación de la superficie cónica que tiene por vértice el punto (,,) y cuya directriz es la curva alabeada ( r(t) = 3cost i + 4sent j + tgt k π 2 < t < π ) (a) Identificar la cuádrica x 2 + 4z 2 2x 4y + 25 = como elipsoide, hiperboloide, paraboloide o cono. (b) Especificar las intersecciones de esa cuádrica con los planos y = 2, y = 7 y x = 5. (c) Dibujar un gráfico aproximado de esta superficie Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la recta alrededor del eje x = y = z. x z = 1, x y + z = Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la recta 2x 3y + z =, 3x 2y 4z = 1 alrededor del eje x 1 1 = y 3 2 = z 6 3.

3 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Encontrar la ecuación de la superficie de revolución formada por la rotación de la recta 2x = 3y, z = 3 alrededor del eje x 1 2 = y 3 5 = z Calcular la ecuación de la superficie de revolución que resulta al girar la recta x + y + z =, y z = alrededor del eje que es la intersección de los planos x + y = 1, z = Determinar la ecuación de la superficie de revolución que se obtiene al rodar la recta alrededor del eje x + y + z = 1, x y = La recta x y + z = 1, x + y + 2z = x = y 1 3 = z 2 2 gira alrededor del eje x 2 = y 4 = z Encontrar la ecuación de la superficie que engendra Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la curva plana xy = 1, z = alrededor del eje y = x, z =. Hacer un gráfico de esta superficie Hallar la ecuación de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva alrededor de la recta y = z, x =. x = cosθ, y = senθ, z = senθ ( θ 2π) La hipérbola x 2 z 2 = 1, y = gira alrededor de su asíntota z = x, y =. Hallar la ecuación de la superficie que engendra La curva de intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 + x = con el plano x y + z = gira alrededor de la recta x = y, z =. Calcular la ecuación de la superficie de revolución que engendra.

4 Ejercicios para MA 13: Cálculo III 4 2 Curvas en el espacio R Un punto se mueve en el espacio según la ecuación vectorial r(t) = 4cost i + 4sent j + 4cost k. (a) Probar que la trayectoria es una elipse y encontrar la ecuación del plano que la incluye. (b) Calcular el radio de curvatura en el punto r(π/2) = (,4,) Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas: (a) x = 3sen2t, y = 3cos2t, z = 8t; desde (,3,) hasta (,3,8π). [[ R/: 1π. ]] (b) x = t, y = t 2 / 2, z = t 3 /3; para t 1. (c) x = 6e t cost, y = 6e t sent, z = 17e t ; para t 1. [[ R/: 19(e 1). ]] (d) x = t 2 /2, y = logt, z = 2t; desde ( 1 2,, 2) hasta (2,log2,2 2). (e) x = 3t sent, y = 3t cost, z = 2t 2 ; para t [[ R/: log3. ]] (f) x = 2e t, y = e t, z = 2t; para t Determinar la parametrización por longitud de arco de la hélice r(t) = (3cost,3sent,4t) en términos de la longitud de arco s medida desde el punto inicial (3,,). [[ R/: x(s) = 3cos s 5, y(s) = 3sen s 4s, z(s) = 5 5. ]] 2.4. Determinar la curvatura κ de estas curvas planas en los puntos indicados del plano R 2 : (a) y = cosx; en (,1). [[ R/: 1. ]] (b) x = t 1, y = t 2 + 3t + 2; en (1,12). (c) x = 5cost, y = 4sent; en ( 5 2 (d) x = 5cosht, y = 3senht; en (5,). 2,2 2). [[ R/: ]] 2.5. Determinar los puntos de estas curvas planas en los cuales la curvatura κ alcanza su mayor valor: (a) y = logx; con < x <. (b) x = 5cost, y = 3sent; con < t <. [[ R/: κ = 5 9 en (±5,). ]] Aquí log denota el logaritmo natural; en los libros de cálculo se ve todavía la notación obsoleta ln.

5 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Determinar la curvatura κ(t) de las curvas siguientes: (a) r(t) = t i + (2t 1)j + (3t + 5)k. (b) r(t) = t i + sent j + cost k. [[ R/: κ(t) = 1 2. ]] (c) r(t) = (t,t 2,t 3 ). (d) r(t) = (e t cost,e t sent,e t ). [[ R/: κ(t) = 2 3 e t. ]] 2.7. Determinar el vector tangente unitario T y el vector normal unitario N para estas curvas planas en los puntos indicados: (a) x = t 3, y = t 2 ; en ( 1,1). (b) x = 3sen2t, y = 4cos2t; para t = π/6. (c) x = t sent, y = 1 cost; para t = π/2. [[ R/: T = 2.8. Una curva plana se parametriza por x(t) = 4cos 3 t, y(t) = 4sen 3 t. (a) Calcular su longitud de arco, para t π/ (3, 4 3), N = (4 3,3). ]] (b) Hallar los vectores unitarios tangente T(t) y normal N(t) en el punto (x(t), y(t)), si < t < π/2. (c) Calcular los componentes tangencial y normal de la acelaración en el punto ( 2, 2) Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración, a T y a N, para las curvas planas siguientes: (a) r(t) = 3senπt i + 3cosπt j. (b) r(t) = (2t + 1)i + (3t 2 1)j. [[ R/: a T = 18t/ 9t 2 + 1, a N = 6/ 9t ]] (c) r(t) = cosh3t i + senh3t j. (d) r(t) = (t cost,t sent). [[ R/: a T = t/ 1 +t 2, a N = (2 +t 2 )/ 1 +t 2. ]] 2.1. La trayectoria de una partícula, que se mueve en el plano R 2, se describe por las ecuaciones paramétricas x = t 2, y = t 4. (a) Calcular la velocidad y la aceleración en el instante t = 1. (b) Calcular los vectores unitarios T y N y la ecuación del círculo osculador. (c) Calcular la aceleración en términos de los vectores unitarios T y N.

6 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Determinar los vectores unitarios T, N y B (el triedro móvil) para cada una de estas curvas, en los puntos indicados: (a) r(t) = (t,t 2,t 3 ); en (1,1,1). (b) r(t) = t i + sent j + cost k; en (,,1). [[ R/: T = (c) r(t) = (6e t cost,6e t sent,17e t ); en (6,,17). (d) r(t) = (e t cost,e t sent,e t ); en (1,,1). [[ R/: T = 2 2 (1,cost, sent), N = (, sent, cost). ]] 3 3 (1,1,1), N = 2 2 ( 1,1,). ]] Para la curva alabeada r(t) = (2cosh3t, 2senh3t,6t), determinar el triedro móvil T(t), N(t) y B(t). Mediante las fórmulas de Frenet y Serret: d T ds = κ T, d B ds = τ N, hallar la curvatura κ y la torsión τ en cualquier punto de esta curva. 3 Límites y continuidad 3.1. Considérese la función x 2 y 3 x f (x,y) := 4, si (x,y) (,), + y6, si (x,y) = (,). [[ R/: κ(t) = 1 4 sech2 3t, τ(t) = 1 4 sech2 3t. ]] (a) Mostrar que lim f (x,y) = a lo largo de cualquier recta y = mx. Encontrar la (x,y) (,) ecuación de una curva para la cual lim f (x,y) a lo largo de esta curva. (x,y) (,) (b) Mostrar que f x (,) y f (,) existen y calcular sus valores. y 3.2. Mostrar que la función definida por xy x 2, si (x,y) (,), + y2 f (x,y) :=, si (x,y) = (,), es discontinua en (,).

7 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Demostrar que los siguientes límites existen y valen, usando las coordenadas polares x = r cosθ, y = r senθ. Es decir, si g(r,θ) := f (r cosθ,r senθ), reescribir los límites y concluir que lim r g(r,θ) =. (a) lim (x,y) (,) y 3 x 2, (c) lim + y2 (x,y) (,) 3x 3 y 2 x 2 + y 2, (b) lim (x,y) (,) 7x 2 y 2 2x 2, (d) lim + 2y2 (x,y) (,) x 3 y 4 x 4 + y Demostrar que los siguientes límites no existen: (a) (b) lim (x,y) (,) lim (x,y) (,) x 2 y 2 x 2, (c) lim + y2 (x,y) (,) xy 2 x 2, (d) lim + y4 (x,y) (,) 8x 3 y 2 x 9, (e) lim + y3 (x,y) (,) x 2 y x 3, (f) lim + y3 (x,y) (,) 2xy 4 x 5 + 6y 5, y 3 x y 6 + x Dada la función f tal que f (x,y) = x3 y x 6 si (x,y) (,) y f (,) =, + y2 (a) calcular lim x f (x,mx) para cada m R; (b) calcular lim x f (x,x 3 ). (c) Qué puede concluirse acerca de lim f (x,y)? Justificar su respuesta. (x,y) (,) (d) Mostrar que f x (,) y f (,) existen y calcular sus valores. y 3.6. Considérese la función f (x,y,z) := x + y + z x + y z. Dónde está definida? Demostrar que lim f (x,y,z) no existe. (x,y,z) (,,) [[ Indicación: Hacer que (x, y, z) (,, ) por los ejes coordenados. ]] 3.7. Considérese la función f (x,y,z) := xyz x 3 + y 3 + z 3. Dónde está definida esta función? Demostrar que lim f (x,y,z) no existe. (x,y,z) (,,) [[ Indicación: Dejar (x, y, z) (,, ) por los ejes coordenados y por la recta x = y = z. ]]

8 Ejercicios para MA 13: Cálculo III 8 4 Derivadas direccionales y planos tangentes 4.1. Considérese la superficie representada por la ecuación z = xy + x 3 y. (a) Calcular la derivada direccional de z en el punto (,1) en la dirección paralela al vector r = i + 2j. (b) Calcular los planos tangentes a esta superficie en los puntos (1,1,1) y (,2, 4). (c) Encontrar el ángulo que forman dichos planos tangentes Encontrar la ecuación de la recta tangente y la ecuación del plano normal a la curva x 2 y 2 + 2z 2 = 2, x + y + z = 3, en el punto (1,1,1) Demostrar que la ecuación del plano tangente a la superficie cuadrática Ax 2 + By 2 +Cz 2 = D, con A 2 + B 2 +C 2 >, en el punto P = (x,y,z ) de la superficie, es: A(x )x + B(y )y +C(z )z = D La altura h de un monte se describe aproximadamente mediante la función h(x,y) = 2 2,2 2y 2,4 2x 2, donde h es la altura en kilómetros sobre el nivel del mar mientras x e y miden las coordenadas este-oeste y norte-sur respectivamente. Para el punto (x,y) = ( 2, 4), encontrar: (a) Con qué rapidez se incrementa la altura en la dirección noreste? (b) En qué dirección va la trayectoria más empinada hacia arriba? (c) Si T (x,y,z) = 2 2,2 2y 2,4 2x 2 z representa la temperatura en la montaña, calcular en el punto ( 2, 4,1,9952 2) el cambio máximo de temperatura. En qué dirección ocurre? 4.5. Hallar la derivada direccional de la función z = x 3 2x 2 y + xy en el punto (1,2,2) y en la dirección del vector 3i + 4j. Calcular también el vector tangente a la curva de intersección de esa superficie con el plano 3y 4x = (a) Calcular la derivada direccional de la función f (x,y) = x 2 + xy + y 2 en el punto (1,1) y en la dirección de la recta x y =, z =, avanzando en el sentido positivo del eje x. (b) Calcular las ecuaciones de la recta tangente a la curva z = x 2 + xy + y 2, x y = en el punto (1, 1, 3). (c) Si w = x 2 + xy + y 2 z, calcular en el punto (1,1,3) la derivada direccional máxima de w y el vector a lo largo del cual ocurre.

9 Ejercicios para MA 13: Cálculo III El punto P = (2,1,5) pertenece al paraboloide z = x 2 + y 2 y al plano z = 3x + y 2. (a) Calcular la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto P. (b) Hallar un vector tangente en P a la curva de intersección de estas dos superficies. (c) En el mismo punto P, encontrar la derivada direccional de la función w = x 3 + y 3 + z 3 a lo largo de ese vector tangente Sea f (x,y,z) := x 2 +y 2 z 2. Calcular en el punto (3,4,5) la derivada direccional de esta función f, a lo largo de la curva de intersección de las superficies 2x 2 + 2y 2 z 2 = 25, x 2 + y 2 = z Calcular la derivada direccional de la función f (x,y,z) = x 3 +y 3 z 3, en el punto (1,1,1), a lo largo de la curva de intersección de las superficies: 2x 2 + 2y 2 z 2 = 3, x 2 + y 2 = 2z Una superficie tiene por ecuación z = x 2 y 2 + xy + x 2 + y 2. (a) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva z = x 2 y 2 + xy + x 2 + y 2, y = 2x en el punto P = (1,2,11). (b) Si en cada punto (x,y,z) de la superficie la temperatura es w = x 2 y 2 + xy + x 2 + y 2 z, encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel w = 3 en el punto P. (c) Calcular la derivada direccional de w en el punto P, a lo largo del vector v = (1,1,1). (d) Calcular la derivada direccional máxima y el vector unitario a lo largo del cual ocurre Encontrar la ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta de intersección de los planos x + 2y z = 2, 3x + 2y + 2z = 7, y cuya directriz es la intersección del plano x = z con la superficie S : x 2 + y 2 z 2 = 5. En el punto (2,2, 3), calcular también la pendiente vertical de la curva de intersección de S con el plano x = y y la ecuación del plano tangente a la superficie S en ese punto Denótese por D u f (x,y ) la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u evaluada en el punto (x,y ). Si D u f (3,2) = 4 y D v f (3,2) = 5, calcular D w f (3,2), donde u = 1 2 i j, v = 2 5 i j, w = 2 13 i 3 13 j Las tres ecuaciones F(u,v) =, u = xy, v = x 2 + y 2, donde F es diferenciable, definen una superficie en R 3. Determinar un vector normal a esta superficie en el punto (1,1, 3), si se sabe que F F (1,2) = 1 y (1,2) = 2. u v

10 Ejercicios para MA 13: Cálculo III 1 5 Regla de la cadena y derivación implícita 5.1. La función z = f (x,y) es dos veces derivable. Si x = u 2 + v 2, y = u/v, calcular en términos de u y v y de las derivadas parciales f x, f y, f xx, f xy, f yy. 2 z u v 5.2. Sea z := F(u,v) = f (x,y) donde x = y, y = uv, para u >. Calcular la segunda derivada parcial F uu en términos de las derivadas parciales f x, f y, f xx, f xy, f yy Si z = f (u,v) donde f es una función dos veces derivable y si u = x 3 y 2, v = x 2 y 3 ; calcular 2 z x 2 en términos de x, y y las derivadas parciales f u, f v, f uu, f uv, f vv Dada la ecuación e xz + log(y + z) = que define implícitamente z = f (x,y), calcular 2 f en términos de x, y, z. x y 5.5. Si w = f (x,y), donde x = e r cosθ, y = e r senθ, demostrar que se verifica la identidad 2 w x ( w 2 y 2 = w e 2r r ) w θ Sean r = r(t), θ = θ(t) una parametrización en coordenadas polares de una curva trazada por una partícula que se mueve en el plano R 2. Si el vector posición de la partícula es r = r u r, donde u r = icosθ + jsenθ, calcular u θ := d u r /dθ. Enseguida verificar: (a) que u r y u θ son vectores unitarios ortogonales entre sí; (b) que d u θ dθ = u r; (c) que d2 r dt 2 = y [ d 2 r ( dθ dt 2 r dt ) ] [ 2 1 u r + r d ( r 2 dθ ) ] u θ. dt dt [[ Indicación: Recordar que d u r /dt = (d u r /dθ)(dθ/dt). ]] 5.7. Hallar la nueva forma que toma la ecuación diferencial y 2 2 z x 2 2xy 2 z x y x2 2 z y 2 x z x y z y = después del cambio de variable z = f (φ) al ser f una función dos veces diferenciable donde φ := arctg(y/x) Si z = f (r) con r = x 2 + y 2, expresar 2 z x 2 y 2 z x y en términos de x, y, f (r) y f (r) Si z = F(u,v,w) y w = g(u,v) donde F y g son dos veces derivables, obtener una fórmula para 2 z en términos de las derivadas parciales de F y g. u2

11 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Al suponer que z uv = z vu, transformar la ecuación diferencial ( (x y) x 2 2 z x 2 2xy 2 z x y + 2 ) ( z z y2 y 2 = 2xy x z ), y si se hacen los cambios de variable u = x + y, v = xy Si u = f (xy) + xyg(y/x), donde xy >, al ser f y g funciones dos veces diferenciables, probar que se cumple la ecuación diferencial x 2 2 u x 2 y2 2 u y 2 = Si z = f (x,y), donde x = r cosθ, y = r senθ, mostrar que ( ) z ( ) z 2 r r 2 = θ ( ) z 2 + x ( ) z 2. y f (t r) Sea W =, donde f es dos veces diferenciable, r = x r 2 + y 2 + z 2 y la variable t no depende de las variables x, y, z. Mostrar que 2 W t 2 = 2 W x W y W z La función y = f (x) está determinada por la ecuación donde a es constante. Hallar dy dx y d2 y dx 2. log x 2 + y 2 = aarctg y x, La función z = h(x,y) queda determinada por la ecuación Hallar z x y z y. x 3 + 2y 3 + z 3 3xyz 2y + 3 = Sea z una función determinada por la ecuación x 2 + y 2 + z 2 = F(ax + by + cz), donde F es una función diferenciable y a,b,c son constantes. Demostrar que (cy bz) z z + (az cx) = bx ay. x y

12 Ejercicios para MA 13: Cálculo III La relación F(x y,x z) = define implícitamente una función f dada por z = f (x,y). Comprobar que z satisface la ecuación diferencial z x + z y = Si h(x/z,y/z) = para alguna función diferenciable h, demostrar que x z x + y z y = z En cada uno de los casos siguientes, resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales, mediante los cambios de variable indicados: (a) Resolver z x = z, si u = x + y, v = x y. y (b) Resolver y z x x z y =, si u = x, v = x2 + y 2. (c) Resolver x z x + y z y = z, si u = x, v = y/x En cada caso que sigue, transformar la ecuación diferencial dada en otra ecuación diferencial en términos de las derivadas parciales de z con respecto a las variables u, v: (a) 2 z t 2 = 2 z c2 (c constante, c ); si u = x ct, v = x + ct. x2 (b) x 2 2 z x 2 + 2xy 2 z x y + y2 2 z y 2 = ; (c) x 2 2 z x 2 y2 2 z y 2 = ; si u = xy, v = x/y. si x = u, y = uv Determinar la solución de la ecuación diferencial 4 f x (x,y) + 3 f (x,y) =, y que satisfaga la condición f (x, ) = sen x para todo x Si f es una función diferenciable de una variable, verificar que la función u definida por h(x,y) := f (xy) satisface la ecuación en derivadas parciales x h x y h y =. Hallar una solución tal que h(x,x) = x 4 e x2 para todo x. Se puede asumir la igualdad de derivadas parciales mixtas; por ejemplo, z uv = z vu.

13 Ejercicios para MA 13: Cálculo III 13 6 Máximos y mínimos relativos, puntos críticos 6.1. Obtener y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones de dos variables e identificar los extremos de cada función. (a) f (x,y) = x 2 + (y 1) 2. [[ R/: Mínimo en (,1). ]] (b) f (x,y) = 1 + x 2 y 2. [[ R/: Punto de ensilladura (,). ]] (c) f (x,y) = (x 1) 2 2y 2. [[ R/: Punto de ensilladura (1,). ]] (d) f (x,y) = (x y + 1) 2. [[ R/: Mínimo sobre la recta y = x + 1. ]] (e) f (x,y) = x 2 + xy + y 2 2x y. [[ R/: Mínimo en (1,). ]] (f) f (x,y) = 2x 2 xy 3y 2 3x + 7y. [[ R/: Punto de ensilladura (1,1). ]] (g) f (x,y) = x 2 xy + y 2 2x + y. [[ R/: Mínimo en (1,). ]] (h) f (x,y) = x 3 + y 3 3xy. [[ R/: Puntos críticos: (,), (1,1). ]] (i) f (x,y) = x 3 y 2 (6 x y) para x >,y >. [[ R/: Máximo en (3,2). ]] (j) f (x,y) = e 2x+3y (8x 2 6xy + 3y 2 ). [[ R/: Puntos críticos: (,), ( 1 4, 1 2 ). ]] (k) f (x,y) = xy 1 x2 3 y2. [[ R/: Puntos críticos: (,), (±1,±1), (±1, 1). ]] 3 (l) f (x,y) = e x y (x 2 2y 2 ). [[ R/: Puntos críticos: (,), ( 4, 2). ]] (m) f (x,y) = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2). [[ R/: Mínimo en (,), máximo sobre x 2 + y 2 = 1. ]] (n) f (x,y) = 1 + x y. [[ R/: Máximo en (1, 1). ]] 1 + x 2 + y2 (o) f (x,y) = x 3 3xy 2 + y 3. [[ R/: Punto de ensilladura (,). ]] (p) f (x,y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2. [[ R/: Puntos críticos: (,), (± 2, 2). ]] (q) f (x,y) = 1 (x 2 + y 2 ) 2/3. [[ R/: Máximo en (,). ]] 6.2. Determinar y clasificar los extremos de la función f (x,y) = x 2 xy + y 2 + 3x 2y + 1, definida en el rectángulo 2 x, y Considérese la función f (x,y) = (x y) 2 + ( 2 x 2 9 ) 2 = 2 + y 2 2xy + 81 y y x y 2. (a) Identificar los cuatro puntos críticos de la función f. (b) Clasificar los puntos críticos (1,3) y (1, 3).

14 Ejercicios para MA 13: Cálculo III 14 7 Multiplicadores de Lagrange, extremos con ligaduras 7.1. Usando multiplicadores de Lagrange, encontrar los extremos de la función f (x, y) = 6 4x 3y con la condición de que las variables x, y satisfagan la ecuación x 2 + y 2 = 1. Clasificar los extremos obtenidos Encontrar el valor mínimo de la función f (x,y) = x 4 + 3y 4/3 a lo largo de la hipérbola xy = c, donde c >. Enseguida, demostrar que la desigualdad es válida para a >, b > cualesquiera. 4ab a 4 + 3b 4/ Dada la función f (x,y,z) = x 2 y 2 + z 2 sujeta a la restricción x + 2y + 3z = 1: (a) utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para obtener los puntos críticos; (b) si ( 1 6, 1 3, 1 2 ) es un punto crítico para el multiplicador λ = 3 1, determinar, usando hessianos o mediante el desarrollo de Taylor, si se trata de un máximo, un mínimo, o un punto de ensilladura La suma de tres números positivos es 12. (a) Cual es el mayor valor posible de su producto? (b) Verificar por el método de la segunda derivada que este producto es efectivamente un máximo Usted debe construir una caja rectangular sin tapa con materiales que cuestan /c 5 el metro cuadrado para el fondo y /c 75 el metro cuadrado para los otros cuatro lados. La caja debe tener un volumen de 15 metros cúbicos. Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que su costo sea mínimo? 7.6. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos críticos de la función f (x,y,z) = 2x+3y+z, sujeta a la restricción 4x 2 +3y 2 +z 2 2 = ; e identificar su naturaleza Para la función f (x,y,z) = xyz restringida al plano x + y + z = 9, encontrar sus puntos críticos y clasificarlos en máximos y mínimos relativos o puntos de ensilladura Usando el método de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos críticos de f (x,y,z) = x 4 y 4 z 4 sujeta a la restricción x y + z 6 =. Clasificar estos puntos críticos ligados como máximos relativos, mínimos relativos o puntos de ensilladura Si la función u = (x + y)z se restringe a la superficie 1 x y = 4 en el octante x >, y >, z >, z2 encontrar y clasificar todos los valores extremos de u, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.

15 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Calcular, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de f (x,y,z) = xyz en la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. Escoger dos de estos puntos y describir su naturaleza Usando multiplicadores de Lagrange, calcular y clasificar los extremos de la función f (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 sujeta a la condición 1 4 x y2 + z 2 1 = Determinar los puntos críticos de la función f (x, y, z) = xy + xz + yz bajo la restricción x 2 + y 2 z 2 1 = ; e identificar su naturaleza (máximos, mínimos o puntos de ensilladura) Encontrar los puntos críticos de la función f (x,y,z) = xy + 3xz + 3yz, restringida a la superficie 2x 2 + 2y 2 3z 2 4 =. Indicar la naturaleza de esos puntos críticos La función f (x,y,z) = 4xy + 4xz + 4yz, con la restricción 4x 2 + 4y 2 z 2 = 1, posee exactamente dos puntos críticos ligados. Encontrar y clasificar esos puntos La intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 81 con el plano x + y + z = 15 es un círculo. Encontrar el máximo y el mínimo valor de la función f (x,y,z) = xyz en este círculo, identificando todos los puntos en donde xyz alcanza uno de esos extremos Demostrar, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, que f (1,1, 1) y f ( 1, 1,1) son valores extremos de la función f (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 sujeta a las condiciones z(x + y) = 2, xy = 1. Determinar la naturaleza de estos extremos Encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de la función f (x,y,z) = x + y + z sujeta a las restricciones x 2 + y 2 = 2, x + z = La intersección del cono z 2 = x 2 +y 2 y el plano 3x+4y+6z = 11 es una elipse. Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos de esta elipse más cercanos y más lejanos al origen. 8 Integrales dobles 8.1. Calcular la integral (x+y)dydx donde R es la región limitada por las curvas y 2 = 2x, x + y = 4, x + y = 12. R 8.2. Expresar como integral doble y luego calcular el volumen del sólido T limitado por los paraboloides z = x 2 + y 2, z = 4x 2 + 4y 2, el cilindro y = x 2, y el plano y = 3x Calcular I := π/2 π/2 π/ Calcular el valor de I := sen x + y dydx. π/2 π π 8.5. Evaluar la integral doble I = cos(x + y) dydx. π π x sen(y 2 )dydx.

16 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Con x >, evaluar la integral doble I = 8.7. Dada la expresión integral I = R 1 + e 2y dydx = 2 logx (a) dibujar la región R de integración; (x 1) 1 + e 2y dydx. 1 + e 2y dydx + e logx 1 + e 2y dydx, (b) cambiar el orden de integración a dxdy, luego calcular el valor de I. [[ Indicación: recordar que 1 + u 2 du = log(u u 2 ) +C. ]] 8.8. Dada la integral doble I := a b f (x,y)dydx donde c < a, dibujar la región de b c a a 2 x2 integración y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de integración Para la integral doble 2a 4ax 2ax x 2 (a) dibujar la región de integración; f (x,y)dydx, donde a >, (b) expresar el resultado obtenido al cambiar el orden de integración Dada la suma de integrales dobles: y y 2 f (x,y)dxdy (y+6) (y+6) f (x,y)dxdy, dibujar la región de integración y luego escribir la nueva expresión que resulta de cambiar el orden de integración dxdy en el orden dydx Dada la siguiente suma de integrales dobles: π 1 arccosy 2π arccosy π 3π/2 f (x,y)dxdy + f (x,y)dxdy + f (x,y)dxdy, 1 π y+π/2 dibujar la región de integración y mostrar la expresión que resulta de cambiar el orden de integración Dada la integral doble I = (a) dibujar la región de integración; π 4+senx f (x,y)dydx, 3 12 π 2 (x π 2 )2

17 Ejercicios para MA 13: Cálculo III 17 (b) escribir la suma de integrales que resulta al cambiar el orden de integración Para la integral doble I := π/2 sen2x x 2 π 2 x+π 4 f (x,y)dydx, dibujar la región de integración y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de integración En la integral doble I := 2π 3+cos2x cosx f (x,y)dydx, dibujar el área de integración y luego expresar el resultado de las integrales que resultan al cambiar el orden de integración Evaluar la integral doble a ax x 2 adydx a 2 x 2 y 2, donde a >, con un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares Calcular el área encerrada por la curva (que se llama cardioide) cuya ecuación en coordenadas polares es r = 1 + cosθ Usando coordenadas polares e integrales dobles, calcular el volumen del cono de helado limitado superiormente por la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 96, z e inferiormente por el semicono 5x 2 + 5y 2 z 2 =, z Con el uso de coordenadas elípticas x = a r cos θ, y = b r sen θ, calcular la integral ( x 2 ) 3/2 I = a 2 + y2 b 2 dxdy, R donde R es el interior de la elipse x2 a 2 + y2 b 2 = Calcular I = (x+y)e x y dxdy, donde R es el rectángulo acotada por las cuatro rectas R x + y = 1, x + y = 4, x y = 1, x y = Calcular la integral doble 2ydxdy, si R es la región del primer cuadrante limitada R por las rectas y = 2 1 x, y = 2x, y por las hipérbolas xy = 2, xy = 8, mediante el cambio de variable u = xy, v = y/x.

18 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Determinar el área de la región en el primer cuadrante acotada por las curvas y = x 2, y = 2x 2, x = y 2, x = 4y 2, mediante el cambio de variables u = y/x 2, v = x/y Sea R la región limitada por las cuatro hipérbolas xy = 2, xy = 5, 4x 2 y 2 = 2, 4x 2 y 2 = 6. Mediante la transformación de coordenadas u = xy, v = 4x 2 y 2, calcular I = (4x 2 + y 2 ) 3 dxdy. R Usar el cambio de variables u = x 2 + y 2, v = x 2 y 2 para calcular la integral doble I := (x 5 y xy 5 )dxdy, donde S es la región determinada por 25 x 2 + y 2 36, cuadrante x, y. S 4 x 2 y 2 9 en el primer Mediante una transformación conveniente de coordenadas, encontrar el área de la región limitada por las curvas en el primer cuadrante del plano xy. xy = 4, xy = 8, xy 3 = 5, xy 3 = 15, Calcular el área de la región en el primer cuadrante del plano xy, limitada por las dos rectas y = 3 3 x, y = 3x y por las dos hipérbolas xy = 1, xy = Utilizando un cambio de variables adecuado, calcular la integral xy(y + 2x 2 )dxdy R donde R es la región encerrada por las curvas y = x 2 + 1, y = x 2 + 3, xy = 1, xy = Sea R la región dentro del círculo x 2 + y 2 = 1, pero fuera del círculo x 2 + y 2 = 2y, con x, y. (a) Dibujar esa región. (b) Sean u := x 2 +y 2, v := x 2 +y 2 2y. Dibujar la región S en el plano uv que corresponde a R bajo ese cambio de coordenadas. (c) Calcular xe y dxdy usando ese cambio de coordenadas. R Sea R la región en el primer cuadrante acotada por los círculos x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 6x, x 2 + y 2 = 2y, x 2 + y 2 = 8y. Usar la transformación u = 2x x 2 + y 2, v = 2y x 2 + y 2 para evaluar la integral R dxdy (x 2 + y 2 ) 2.

19 Ejercicios para MA 13: Cálculo III 19 9 Integrales triples 9.1. Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen del sólido limitado por las superficies x 2 + y 2 + z 2 = 2, z =, x y 2 = ; con z, x y Calcular la integral dzdydx, donde T es el sólido limitado por los paraboloides T z = x 2 + y 2, z = 5x 2 5y 2, los cilindros y = 3x 2, y = 3x 2 y el plano y = x Calcular el volumen dxdydz del sólido T limitado por el par de paraboloides T z = x 2 + y 2, z = 4x 2 + 4y 2, el cilindro y = x 2 y el plano y = 3x Calcular la masa del sólido T cuya densidad es ρ(x,y,z) = x 2 y 2 z 2, si T es limitado por el cilindro parabólico x = y 2 y los planos x = z, z =, x = Plantear como suma de integrales iteradas, en cualquier orden de integración, la integral triple I = x 2 dv, donde T es la pirámide limitada por la superficie x + y + z = 4 y por T el plano z = Obtener una integral triple, en el orden dzdxdy, que representa el volumen del poliedro en el primer octante limitado por los planos coordenados x =, y =, z = y por los planos x + y + z = 11, 2x + 4y + 3z = 36, 2x + 3z = 24. (No es necesario evaluar la integral.) 9.7. Calcular, usando coordenadas cilíndricas, el volumen del cuerpo limitado por la parte superior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 y el paraboloide x 2 + y 2 = z Encontrar el volumen del sólido de revolución z 2 x 2 + y 2 encerrado por la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1. [[ Indicación: Usar coordenadas esféricas. ]] 9.9. Usando coordenadas esféricas, calcular I := 9.1. Calcular la integral triple 3 9 x 2 9 x 2 y 2 dzdydx 9 x 2 y 2 z x 2 9 x 2 y 2 I := 3 z x 2 + y 2 + z 2 dzdydx, 9 x 2 mediante un cambio de variables a coordenadas cilíndricas o esféricas La integral I = π 4 16 r 2 2 (16 r 2 z 2 )r dzdr dθ está dada en coordenadas cilíndricas. Expresarla en coordenadas esféricas.

20 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Usando coordenadas esféricas, calcular la integral la bola sólida x 2 + y 2 + z Usar coordenadas esféricas para evaluar I := T dxdydz (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, T x 2 + y 2 dxdydz, donde T es donde T es el sólido acotado por las dos esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4, semicono x 2 + y 2 z 2 =, z. x 2 + y 2 + z 2 = 9 y el Si el sólido T limitado por el paraboloide z = x 2 + y 2, el cilindro x 2 + y 2 = 25 y los planos z = y z = 25 tiene densidad constante ρ, encontrar el momento de inercia de T alrededor del eje z Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido limitado por las superficies x 2 + y 2 = 4, z =, z = x y, con z Usar coordenadas cilíndricas o esféricas para evaluar la integral I := (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz, T donde T es la región determinada por las condiciones 1 2 z 1, x2 + y 2 + z Considérese la integral triple I := (x 2 + y 2 + z 2 )dzdydx, donde T es la región determinada por las condiciones 1 z 2, x 2 + y 2 + z 2 4. (a) Expresar la integral I en coordenadas cilíndricas. (b) Expresar la integral I en coordenadas esféricas. (c) Evaluar I por cualquiera de las expresiones (a) o (b). T Hallar el volumen del sólido limitado inferiormente por el paraboloide 2az = x 2 + y 2, con a > ; y limitado superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 3a Encontrar el volumen de la porción de la bola x 2 + y 2 + z 2 a 2 que queda dentro del cilindro r = asenθ, usando coordenadas cilíndricas Calcular el volumen del sólido encerrado por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 y envuelto por el cilindro x 2 + y 2 = 2x Calcular la masa del sólido acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 2x y por el semicono z 2 = x 2 + y 2, z, cuya densidad es dada por ρ(x,y,z) = x 2 + y 2. Obtener también las coordenadas de su centro de masa. [[ Indicación: Usar coordenadas cilíndricas. ]]

21 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Encontrar el volumen del sólido formado por la intersección de los tubos cilíndricos x 2 + y 2 36, x 2 + z Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido limitado por las superficies x 2 + 2y 2 = 2, z =, x + y + 2z = Usar el cambio de variables x = vcosw, y = vsenw, z = u v 2 para calcular la integral triple I = zdxdydz, donde el sólido T es la intersección del casco esférico T 9 x 2 + y 2 + z 2 16 con el casco cilíndrico 1 x 2 + y 2 4, con z En la integral triple I = a y z e (a x)3 dxdzdy, con a >, cambiar el orden de integración dxdzdy al orden dzdydx. Luego evaluar I, usando este último orden Calcular la integral triple I := T dxdydz x 2 + y 2 + (z 1 2 )2, donde el sólido T es la bola unitaria x 2 + y 2 + z Integrales de línea y de superficie 1.1. Un alambre tiene la forma de un segmento de recta que une los puntos A = (,1) con B = (1,1), seguido de otro segmento que une B con C = (1,2) y finalmente el segmento de parábola y = x que va del punto C al punto A. Si la densidad del alambre está dada por ρ(x,y) = x, calcular su masa Calcular xyds, donde s es la longitud de arco y C es el contorno del rectángulo C 3x + 2y = 12, recorrido una vez en el sentido contrario al reloj Encontrar la masa de un alambre que tiene la forma de la hélice x = t, y = cost, z = sent, para t 2π, si la densidad en cualquier punto del alambre está dada por ρ(x,y,z) = z Un alambre tiene la forma de la curva x 2 + y 2 = 1, z = x + y + 6. Calcular la masa de este alambre, si su densidad está dada por ρ(x,y) = 2(1 xy) Un alambre tiene la forma de la curva x 2 + y 2 + z 2 = 16, x = y. Calcular la masa del alambre, si su densidad está dada por ρ(x,y,z) = 2y 2 + z Hallar la masa de un alambre que sigue la intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano x + y + z =, si su densidad está dada por ρ(x,y,z) = x 2.

22 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Calcular yzdx + zxdy + xydz, donde C es la porción de la curva dada por las ecuaciones C x 2 + y 2 + z 2 2(x + y + z) = 26, xy + xz x + y 3z = 13, que une el punto A = ( 1, 2, 3) con el punto B = (3,4,5) Calcular la integral de línea del campo vectorial F(x,y,z) = 2xyzi + x 2 zj + x 2 yk a lo largo de la curva (x 4) 2 + y 2 + z 2 = 16, x + y z =, desde el punto O = (,,) al punto A = (2,3, 3) Calcular F d r, donde F(x,y,z) = (3y 2 z + ye x )i + (6xyz + e x )j + 3xy 2 k, si C es la C curva r(t) = (sen 2 t + cos2t 1)i +t cost j +t2 sent k que une los puntos A = (,,) y B = (1, π,) Calcular la integral C y 3 z dx + x xy dy + 3 z (3 z) 2 dz, donde C es la curva cerrada 4x 2 + 5y 2 = 7, 3x + 2y 9z = Calcular la integral de línea del campo vectorial F(x,y,z) = (2xcosy + zseny)i + (xzcosy x 2 seny)j + xsenyk a lo largo de la línea poligonal que une los cuatro puntos A = ( 1 3,5), B = ( 1,4,5), C = ( 1,4,8) y D = (2,6, 3), en ese orden Calcular el trabajo ejercido por un campo vectorial de fuerzas F := 2xy 3 z 4 i + 3x 2 y 2 z 4 j + 4x 2 y 3 z 3 k, al mover una partícula del punto A = (,, ) al punto B = (1, 1, 1), a lo largo de la curva de intersección de las superficies 2z 3 = x 3 + y 3, z = x4 2 + x2 4 + y Calcular el trabajo ejercido por el campo vectorial de fuerzas F(x,y,z) = 2xyzi + x 2 zj + x 2 yk sobre una partícula que se mueve desde A = (1, 2,3) al punto B = (2,4, 5), a lo largo de la intersección de la superficie xy + 2x 2y = 4 con la superficie 9x 2 + 4z 2 x 2 z 2 = 36.

23 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Un campo de fuerzas F viene dado por la fórmula F(x,y,z) := (x y)i + (y z)j + (x z)k. Calcular el trabajo realizado al recorrer una vez, en sentido contrario al reloj, el contorno x + y = 1, z = y Calcular el área de la elipse recortada del plano 2x + 3y + z = 6 por el cilindro x 2 + y 2 = 2, z Calcular el área de la superficie dada por la ecuación z = xy que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = Calcular el área de la porción del cono z 2 = x 2 + y 2 que se encuentra encima del plano xy y dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 4y = (a) Calcular el área de la porción del cilindro x 2 + y 2 = 4y que queda entre los dos embudos del cono x 2 + y 2 = z 2. (b) Calcular el área de la parte de la superficie cónica anterior encerrada por ese cilindro Expresar mediante una integral doble (sin evaluarla), el área superficial de la intersección de un tubo sólido de 4 cm de radio que se introduce en ángulo recto en otro de 1 cm de radio. Considérese que x 2 +z 2 = 1 y y 2 +z 2 = 16 son las ecuaciones de los respectivos tubos Obtener la integral doble (con su integrando y sus cotas de integración, pero sin evaluarla) que representa el área de la superficie del cilindro y 2 + z 2 = 4 que queda dentro del cilindro x 2 + y 2 = 4, con z Si la superficie simple S queda parametrizada por r(u,v) R 3, con (u,v) R R 2, comprobar que el área superficial de S puede calcularse por la fórmula Area(S) = EG F 2 dudv, en donde E = r u 2, F = r u r v, G = r v 2. R 11 Los teoremas de Green, Gauss y Stokes Usar el teorema de Green para calcular (x + y)dx + (y x)dy, donde C es el círculo x 2 + y 2 6x = Usar el teorema de Green para calcular (x 2 + y 2 )dx + xydy, donde C consiste del arco de la parábola y = x 2 desde O = (,) a A = (2,4), el segmentos rectilíneo desde A a B = (,4) y el segmento rectilíneo desde B a O. C C

24 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Por medio del teorema de Green, calcular y 1 + x 2 dx + log(1 + x2 )dy C en donde C es el borde del cuadrado de vértices (,), (1,), (1,1) y (,1), recorrido en el sentido antihorario Usando el teorema de la divergencia (teorema de Gauss), evaluar I = F nds, donde F(x,y,z) := x 3 i + y 3 j + zk S y S es la esfera unitaria x 2 +y 2 +z 2 = 1 con sus vectores normales apuntando hacia el exterior Evaluar la integral de superficie F nds, si F es el campo vectorial S F := xz 2 i + (x 2 y z 3 )j + (2xy + y 2 z)k, donde S es la superficie total del sólido hemisférico acotado por z = 25 x 2 y 2 junto con el plano z = Usar el teorema de la divergencia para calcular I = F nds, donde F(x,y,z) := x 3 i + y 3 j + z 3 k S y n es un vector normal unitario exterior a la esfera S : x 2 + y 2 + z 2 = Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F(x,y,z) = 2x 2 yi y 2 j + 4xz 2 k definido en el sólido del primer octante limitado por y 2 + z 2 = 9 y x = Aplicando el teorema de la divergencia, calcular I = F nds, donde F(x,y,z) := x 3 i + y 3 j + z 3 k S y S es la superficie total del sólido cónico x 2 + y 2 z 2, z H, con H > Usar el teorema de la divergencia para calcular I = F nds, donde F(x,y,z) := xzi + yzj + z 2 k S y n es el vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre el hemisferio superior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2z y la superficie cónica x 2 + y 2 = z 2.

25 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Usar el teorema de la divergencia para evaluar la integral I = F nds, donde F = x 3 i + x 2 yj + x 2 zk, S si S es la superficie cerrada que se obtiene al unir la porción del cono x 2 + y 2 = z 2 que queda dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2z, con la porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2z que queda dentro del semicono z = x 2 + y Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F(x,y,z) := xy 2 i + y 3 j + x 2 zk, definido en el sólido T determinado por las condiciones z x 2 + y 2 1. [[ Indicación: Calcular las integrales de superficie con coordenadas cilíndricas y la integral de volumen con coordenadas esféricas. ]] Usar el teorema de la divergencia para calcular I = F nds, donde F(x,y,z) := xz 2 i + yz 2 j + z 3 k S y n es un vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre el hemisferio x 2 + y 2 + z 2 = 2x, z y la superficie cónica x 2 + y 2 = z Aplicando el teorema de Stokes (únicamente), calcular I = rot F nds, donde F(x,y,z) := yi + xj + (y + z)k, S S es la porción de la superficie 2x + y + z = 2 situada en el primer octante y n es el vector normal unitaria a la superficie, con componente z no negativa Considérese el campo vectorial F(x,y,z) = x 2 i + xyj + z 2 k. La curva de intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 con el plano x + y + z = 1 es el borde de una superficie S. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F sobre esta superficie S Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x,y,z) = y 3 i + x 3 j z 3 k y la curva C formada por la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 y el plano x + y + z = 1. La orientación de C corresponde al movimiento antihorario, visto por un observador colocado en el punto (5,,) Calcular, por medio del teorema de Stokes, la integral de superficie I = rot F nds, donde F(x,y,z) := 2yzi (x + 3y 2)j + (x 2 + z)k, S la superficie S es la porción del cilindro x 2 + z 2 = 9 dentro del tubo cilíndrico x 2 + y 2 9 e incluida en el primer octante x, y, z ; y n es el vector unitario normal a S tal que n k.

26 Ejercicios para MA 13: Cálculo III Usar el teorema de Stokes para calcular xdx + (x + y)dy + (x + y + z)dz, donde C es la curva: C x = 4sent, y = 4cost, z = 4(sent + cost), con t < 2π.