Separata de matemática III Resolución Decanal N D-FIME

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1 UNIVERIDAD NAIONAL DEL ALLAO FAULTAD DE INGENIERÍA MEÁNIA - ENERGÍA Departamento Académico de Ingeniería Mecánica Asignatura Matemática III eparata de matemática III Resolución Decanal N D-FIME Mag. Vladimiro ontreras Tito vcontrerastito@hotmail.com emestre 21-B Bellavista - allao 211

2 Índice general Prefácio III 1. Integral de Linea La Integral de Linea con respecto de la longitud de arco Aplicaciones de la Integral de Linea con respecto de la longitud de arco a la mecánica Integral de Linea y Trabajo Independencia de la trayectoria ampos onservativos y Funciones Potenciales Teorema de Green uperficies Expresiones de una uperficie uperficie paramétrica Área de la superficie paramétrica Integrales de uperficie Integrales de uperficie egundo tipo de Integral de uperficie El Flujo de un ampo Vectorial El Teorema de la Divergencia Ley de Gauss Ley de oulomb Teorema de tokes Referencias Bibliográficas 45 i

3 ii ÍNDIE GENERAL

4 Prefácio Estas notas corresponden a los últimos temas del curso de Matemática III que se dicta en la Facultad de Ingeniería Mecánica - Energía de la Universidad Nacional del allao. Para su lectura se recomienda previamente revisar los resultados de funciones vectoriales de variable real, funciones reales de varias variables, integrales múltiples y funciones vectoriales de varias variables reales, los cuales que se encuentran en [3] y [4]. Esta separata de Matemática III, consta de tres capítulos: Integrales de Linea, uperficies e Integrales de uperficie. ada sección comienza con un resumen de los conocimientos básicos del tema en cuestión, los cuales se refuerzan con ejemplos de problemas resueltos, que el estudiante podrá consultar antes de enfrentar los ejercicios propuestos que se presentan al finalizar cada sección. También debo indicar que se presentan Teoremas que son de aplicación los cuales no estan demostrados. Para los estudiantes que desean revisar las pruebas de los teoremas, se indica la cita bibliográfica al final de cada Teorema. abe mencionar, que los gráficos presentados se desarrollaron con los software, Derive 6.1 y Winplot Agradezco a la Facultad de Ingeniería Mecánica - Energía de la Universidad Nacional del allao, por permitirme presentar esta eparata de Matemática III. Bellavista, enero del 211 Mag.Vladimiro ontreras Tito iii

5 apítulo 1 Integral de Linea Para definir la integral de linea, comencemos imaginando un alambre delgado con la forma de una curva suave con extremos A y B. upongamos que el alambre tiene una densidad variable dada en el punto (x, y, z) por la función continua conocida f(x, y, z) en unidades tales como gramos por centímetro (lineal)[2]. ea α(t) = ( x(t), y(t), z(t) ), t [a, b] una parametrización suave de la curva, donde t = a corresponde al punto inicial A de la curva y t = b corresponde al punto final B. Para aproximar la masa total m del alambre curvo, comenzamos con una partición Figura 1.1: alambre delgado a = t < t 1 < t 2 <... < t n = b de [a, b] en n subintervalos, todos con la misma longitud t = (b a)/n esta subdivisión de puntos de [a, b] produce, por medio de nuestra parametrización, una división física del alambre en cortos segmentos curvos. ea P i el punto (x(t i ), y(t i ), z(t i )) para i =, 1, 2,...n. Entonces los puntos P, P 1,..P n son los puntos de subdivisión de abemos que la longitud de arco i del segmento de de P i 1 a P i es i = ti t i 1 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt = (x (t i ))2 + (y (t i ))2 + (z (t i ))2 t para algún t i [t i 1, t i ]. Este último resultado es consecuencia del teorema del valor medio para integrales. omo la masa es el producto de la densidad por la longitud entonces tenemos una 1

6 2 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA estimación de la masa total m del alambre: n m f(x(t i ), y(t i ), z(t i )) i. i=1 El limite de esta suma cuando t debe ser la masa real m. Esto motiva nuestra definición de la integral de linea de la función f a lo largo de la curva que se denota por f(x, y, z) d 1.1. La Integral de Linea con respecto de la longitud de arco Definición ea f : D R 3 R una función continua en cada punto de la curva paramétrica suave de A a B. Entonces la integral de linea de f a lo largo de de A a B con respecto de la longitud de arco se define como: b f(x, y, z) d = f(α(t)) α (t) dt a donde α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b] y d = α (t) dt = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt 1.2. Aplicaciones de la Integral de Linea con respecto de la longitud de arco a la mecánica Masa de una curva i δ = δ(x, y, z) es la densidad lineal en el punto variable (x, y, z) de la curva entonces la masa M de la curva es igual a: M = δ(x, y, z)d entro de gravedad de una curva (X, Y, Z) X = 1 xδ(x, y, z)d, Y = 1 yδ(x, y, z)d, Z = 1 M M M Momento estático y momento de inercia M L = d(x, y, z)δ(x, y, z)d, I L = d 2 (x, y, z)δ(x, y, z)d zδ(x, y, z)d donde d(x, y, z): distancia de un punto de la curva a la recta L Momentos estáticos respecto a los planos coordenados son: M X Y = zδ(x, y, z)d, M X Z = yδ(x, y, z)d, M Y Z = xδ(x, y, z)d

7 1.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 3 Momentos de inercia respecto a los ejes coordenados X,Y,Z son: I X = (y 2 +z 2 )δ(x, y, z)d, I Y = (x 2 +z 2 )δ(x, y, z)d, I Z = (x 2 +y 2 )δ(x, y, z)d Ejemplo alcule la integral de linea xyd donde es el cuarto de circunferencia en el primer cuadrante de radio uno. olución ea : x = cos t, y = sent, t [, π/2] luego d = ( sent) 2 + (cos t) 2 dt = dt. Entonces π/2 xyd = cost sent dt = 1 2 sen2 t π/2 = 1 2 Ejemplo Halle la masa total de un alambre cuya forma es la de la curva y = x con 1 x 1. i la densidad de cada punto P de él es igual al valor absoluto del producto de las coordenadas del punto. olución abemos que M = δ(x, y, z)d. Entonces calculemos M = x y d, pero como y = x, M = x2 d. 1 : y = x α 1 (t) = (t, t) 1 t < 2 : y = x α 2 (t) = (t, t) t < 1 M = x 2 d + x 2 d = t 2 α 1 (t) dt = 1 t 2 2dt t 2 2dt = t 2 α 2 (t) dt Figura 1.2: 1.3. Integral de Linea y Trabajo Ahora aproximemos el trabajo W realizado por el campo de fuerza F al mover una partícula a lo largo de la curva de A a B, para lo cual subdividamos como se indica en la figura 1.3. Pensamos que F mueve la partícula de P i 1 a P i dos puntos de división consecutivos de. El trabajo W i realizado es aproximadamente el producto de la distancia i de P i 1 y P i Figura 1.3:

8 4 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA (medida a lo largo de ) y la componente tangencial F.T de la fuerza F en el punto típico (x(t i ), y(t i ), z(t i )) entre P i 1 y P i. Así W i F (x(t i ), y(t i ), z(t i )).T (t i ) i de modo que el trabajo total W está dado aproximadamente por: W n F (x(t i ), y(t i ), z(t i )).T (t i ) i i=1 Esto sugiere que definamos el trabajo W como: W = F.T d Por lo tanto el trabajo es la integral con respecto de la componente tangencial de la fuerza. i la curva está parametrizada por α(t) con t [a, b] entonces: W = F.T d = b a α (t) F (α(t)). α (t) α (t) dt = W = b a F (α(t)).α (t)dt b a F (α(t)).α (t)dt iendo W el trabajo realizado por el campo de fuerzas F sobre una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria α(t) con t [a, b]. Teorema i upongamos que el campo de vectores F = (P, Q, R) tiene funciones componentes continuas y que T es el vector tangente unitario a la curva suave. Entonces F.T d = P dx + Qdy + Rdz (Para la Prueba ver ap. 16 pag. 913 de [2]) Observaciones 1. i la curva estuviera parametrizada por trayectorias diferentes que originan la misma orientación de entonces el resultado de la integral de linea sobre esas trayectorias es la misma es decir, por ejemplo: F (α).dα = F (β).dβ i las trayectorias α(t) y β(t) originan orientaciones opuestas de entonces F (α).dα = F (β).dβ 1 1 denota la curva con su orientación invertida.

9 1.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 5 2. uando es una curva cerrada, a la integral de linea del campo vectorial F a lo largo de se le denota por F.T d 3. De acuerdo con la segunda ley de Newton [6], se sabe que si el cuerpo tiene masa m, entonces la fuerza que actúa sobre él es igual a la rapidez de cambio del momento p = m v es decir, F = dp d t = m dv dt = m α (t) ustituyendo este resulta en la integral anterior, y observando que d dt (α (t). α (t)) = 2 α (t). α (t), inferimos que el trabajo W está dado por: W = F.T d = m α (t). T d = = b a b a m α (t). α (t) dt = d dt (m 2 α (t) 2 ) = b a b = m 2 v2 (t) b a = m 2 [ v2 (b) v 2 (a) ] a d dt (m 2 α (t). α (t)) d dt (m 2 v2 (t)) Por tanto el trabajo realizado es igual al incremento o ganacia de la energía cinética del cuerpo de la partícula. 4. i el campo de fuerzas F es irrotacional (conservativo), entonces el trabajo efectuado efectuado para mover una partícula alrededor de una trayectoria cerrada es cero. Ejemplo alcule el trabajo que realiza el campo de fuerzas F (x, y, z) = (x y + 2z, x+y 3z 2, 2xz 4y 2 ) al mover una partícula alrededor de la curva cerrada x2 4 +y2 = 1, z = 2 en sentido antihorario. olución La curva : x y2 = 1 se puede parametrizar por: x = 2 cost y = sent t 2 π z = 2 Luego : α(t) = (2 cost, sent, 2) t [, 2π] α (t) = ( 2 sent, cost, ). y Figura 1.4:

10 6 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA Finalmente W = F.T d = 2π F (α(t)).α (t)dt = 2π ( 3sent cost 8sent + 2cos(2t)) dt = Independencia de la trayectoria ea F = (P, Q, R) un campo vectorial con funciones componentes continuas. La integral de linea de ecuación F.T d = P dx + Q dy + R dz es independiente de la trayectoria en la región D si, dados dos puntos A y B de D, la integral tiene el mismo valor a lo largo de cualquier curva suave por partes o trayectoria en D de A en B. En este caso podemos escribir F.T d = B A F.T d debido a que el valor de la integral sólo depende de los puntos A y B y no de la elección particular de la trayectoria que los une. Teorema (Independencia de la trayectoria) La integral de linea F.T d es independiente de la trayectoria en la región D si y solo si F = f para alguna función f definida en D. (Para la Prueba ver ap. 16 pag. 917 de [2]) 1.4. ampos onservativos y Funciones Potenciales Definición El campo vectorial F definido en una región D es conservativo si existe una función escalar f definida en D tal que F = f en cada punto de D. En este caso, f es una función potencial para el campo vectorial F. Nota En el campo de fuerzas conservativo F = U, a la función U se le llama energía potencial y es una cantidad que sólo tiene significado si consideramos los cambios que en ella se operan, lo que implica que la fijación de un nivel cero para la energía potencial U es arbitrária. En este caso se tiene: W = B A F. T d = U(A) U(B) lo cual significa que el trabajo W desarrollado por F al mover una partícula de A a B es igual al decremento de energía potencial.

11 1.4. AMPO ONERVATIVO Y FUNIONE POTENIALE 7 Ejemplo determine una función potencial par el campo vectorial conservativo ( ) x F (x, y) = x 2 + y, y (x, y) R 2 {(, )} = D 2 x 2 + y 2 olución Notemos que una función potencial para F es f(x, y) = 1 2 Ln(x2 + y 2 ) pues se cumple F = f Ejemplo Evalue (5,12) (3,4) en el contorno de integración) olución omo F (x, y) = ( ) x y, x 2 +y 2 x 2 +y 2 x dx + x 2 +y 2 y x 2 +y 2 dy (el origen de coordenadas no se halla es conservativo, esto es F = f donde f(x, y) = 1 2 Ln(x2 +y 2 ), entonces la integral de linea (5,12) F.T d es independiente de la trayectoria (3,4) por lo tanto (5,12) (3,4) F.T d = f(5, 12) f(3, 4) = 1 (Ln(169) Ln(25)) = Ln(13/5) 2 Definición (onjuntos simplemente conexo en R 2 ) Un conjunto D R 2 es simplemente conexo [4], si para toda curva simple cerrada contenida en D la región encerrado por dicha curva tambien está contenido en D. Intuitivamente, un conjunto D R 2 es simplemente conexo si no tiene agujeros. Figura 1.5: Región simplemente conexo Figura 1.6: Regiones no simplemente conexos De forma similar, un conjunto D R 3 es simplemente conexo[4], si D fuese de un material elástico podría deformarse continuamente, sin cortes ni pegamentos, a una esfera. Figura 1.7: El toro circular no es simplemente conexo

12 8 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA Teorema (ampo conservativo y función potencial en R 2 ) ea D un dominio simplemente conexo en R 2. ean las funciones P (x, y) y Q(x, y) continuas y que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D. Entonces, el campo vectorial F = (P, Q) es conservativo en D si y solo si P y = Q x en cada punto de D (Para la prueba ver ap.1 pag. 415 de [1]) Teorema (ampo conservativo y función potencial en R 3 ) ea D un dominio simplemente conexo en R 3. ean las funciones P (x, y, z), Q(x, y, z) y R(x, y, z) continuas y que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D. Entonces, el campo vectorial F = (P, Q, R) es conservativo en D si y solo si F = (,, ), esto es, P y = Q x, P z = R x, Q z = R y (Para la prueba ver ap.1 pag. 415 de [1]) Observación en cada punto de D e dice que P dx + Q dy y P dx + Q dy + R dz son diferenciales exactas, si cumplen (α) y (β) respectivamente. Ejemplo Determine una función potencial para el campo vectorial olución Notemos que el D = Dom(F ) = R 2. F (x, y) = (6xy y 3, 4y + 3x 2 3xy 2 ) e tiene que P (x, y) = 6xy y 3 y Q(x, y) = 4y + 3x 2 3xy 2. Luego P y = 6x 3y2 = Q x (x, y) D De este último resultado concluimos que F es conservativo, entonces F = f. Ahora hallemos la función potencial f. Dado que F = f (P, Q) = ( ) f, f, luego x y f x = 6xy y 3 (1) f y = 4y + 3x 2 3xy 2 (2) Luego integrando la ecuación (1) se tiene df = (6xy y 3 ) dx f(x, y) = 3x 2 y y 3 x + h(y) (α) (α) (β)

13 1.5. TEOREMA DE GREEN 9 Derivemos (α) con respecto a y se tiene: De ésta última ecuación, y de (2) se tiene: 4y + 3x 2 3xy 2 = 3x 2 3y 2 x + dh dy f y = 3x2 3y 2 x + dh dy dh dy = 4y h = 4y dy h(y) = 2y 2 + c Haciendo c = en el último resultado y luego reemplazando en (α) se obtiene una función potencial f(x, y) = 3x 2 y y 3 x + 2y Teorema de Green George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física [4]. El teorema de Green relaciona una integral de linea alrededor de una curva plana cerrada con una integral doble ordinaria sobre la región plana R acotada por donde Figura 1.8: R es un conjunto compacto (es decir es un conjunto cerrado y acotado) y R = es el borde ó frontera de región R. Definición Una curva tiene orientación positiva respecto a la región R cuando el sentido de la curva es tal que la región R está a su izquierda. Es decir, el vector que se obtiene del vector tangente unitario T mediante una rotación de 9 o en sentido contrario al de las manecillas del reloj apunta hacia dentro de la región R. Figura 1.9:

14 1 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA Teorema (GREEN) ea D un dominio simplemente conexo de R 2. ean P (x, y) y Q(x, y) dos funciones continuas y que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D. ea una curva simple cerrada suave por partes y positivamente orientada respecto a la región que lo encierra R, estando y R contenidos en D. Entonces se verifica P dx + Q dy = (Para la prueba ver ap. 11 pag. 465 de [1]) Nota Podemos devidir R en dos regiones R 1 y R 2 y tambien podemos subdividir la frontera de de R y escribir 1 D 1 para la frontera de R 1 y 2 D 2 para la frontera de R 2, obtenemos P dx + Qdy = ( Q 1 D 1 R 1 x P y )dxdy P dx + Qdy = ( Q 2 D 2 R 2 x P y )dxdy P dx + Qdy = P dx + Qdy D 2 D 1 R ( Q x P ) dxdy y Figura 1.1: Ejemplo alcule la integral de linea 3xydx + 2x2 dy donde es la frontera de la región R que está acotada por la recta y = x y la parábola y = x 2 2x olución e tiene que P (x, y) = 3xy y Q(x, y) = 2x 2. Luego P y = 3x y Q x = 4x Q x P y = x Aplicando el teorema de Green se tiene: 3xydx+2x 2 dy = 3 x x 2 2x xdy dx = 3 (3x 2 x 3 )dx = 27 4 Figura 1.11: orolario El área A de la región R acotada por una curva simple suave por partes está dada por: A = 1 2 y dx + x dy = y dx = x dy

15 1.5. TEOREMA DE GREEN 11 Ejemplo Halle el área de la elipse x2 + y2 = 1 a 2 b 2 olución Parametrizando la elipse se tiene: x = a cost y = b sent t 2 π Luego: dx = a sent dt y dy = b cost dt Por el corolario anterior, el área de la elipse es: A = 1 y dx + x dy = 1 2 π ( a b sen 2 t + a b cos 2 t )dt = ab π 2 2 Observación i dividimos una región R en otras más simples, podemos extender el Teorema de Green a regiones con fronteras que consten de dos o más curvas simples cerradas. R ( Q x P y )dxdy = = = Figura 1.12: ( Q R 1 x P y )dxdy + ( Q R 2 x P y )dxdy P dx + Qdy + P dx + Qdy 1 2 P dx + Qdy = R Ejemplo uponga que es una curva cerrada simple suave que encierra al origen (, ). Muestre que: y x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy = 2 π 2 Pero que esta integral es cero si no encierra al origen. olución e tiene que P (x, y) = Luego P y = Q x y x 2 +y 2 y Q(x, y) = x x 2 +y 2. Q x P y = cuando x e y no son cero Figura 1.13:

16 12 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA i la región R acotada por no contiene al origen entonces P y Q y sus derivadas son continuas en R, por tanto el Teorema de Green implica que la integral dada es cero. i encierra al origen, entonces encerramos al origrn en un pequeño círculo a de radio a tan pequeño que a se encuentre totalmentedentro de. Parametricemos este círculo por: x = a cost y = a sent t 2 π Entonces el Teorema de Green, aplicado a la región R entre y a se tiene y x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy + y 2 x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy = da = 2 Luego y x 2 + y 2 dx + a x x 2 + y dy = 2 = = a a 1 2 π = 2 π. R y x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy 2 y x 2 + y 2 dx + a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t a 2 x x 2 + y 2 dy dt Nota Notese que a tiene orientación positiva (en este caso el sentido de las manecillas del reloj) y 1 a es la curva inversa de a. Teorema ea W = P dx + Q dy una diferencial exacta en un conjunto abierto U R 2, es decir, P = Q y x, (x, y) U. e cumple las siguientes propiedades: (1). i U es simplemente conexo, W = (por el teorema de Green) Figura 1.14: (2). i U es doblemente conexo, 1 y 2 homotópicos (es decir, se puede llegar de 2 a 1 mediante un transformación) y tienen el mismo sentido, entonces se cumple:

17 1.5. TEOREMA DE GREEN 13 En efecto, dado que W = 1 W = U 1 W = 1 W 2 W se concluye que 2 W W W = 1 2 W (3). i U es triplemente conexo, se cumple W = 3 W W Figura 1.15: En efecto, dado que U W = 3 W W = 3 W 1 W 2 W se concluye que 3 W = 1 W + 2 W W Figura 1.16: Ejemplo e considera la regioń D del plano, dado por D = D 1 D 2, donde D 1 = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + y 2 4, (x + 1) 2 + y 2 4} D 2 = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + y 2 4, (x + 1) 2 + y 2 4} alcule el trabajo del campo F (x, y) = (3yx 2, x 3 + x + sen(y)) a lo largo de la frontera de D. olución e tiene que P (x, y) = 3y x 2 y Q(x, y) = x 3 + x + sen(y). Luego P y = 3x2 y Q x = 3x2 + 1 Q x P y = 1 Por otro lado, aplicando el Teorema de Green, se Figura 1.17:

18 14 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA tiene: D P dx + Qdy = P dx + Qdy + alculemos ahora el área de la región B A(B) = dx dy = = = B P dx + Qdy = ( Q D 1 x P )dx dy + ( Q y D 2 x P )dx dy y = 2 ( Q D 1 x P y )dx dy por ser simétricos D 1 y D 2 = 2 dx dy D 1 = 2(Área de la circunferencia 1 4 dx dy) 4 (x+1) 2 dy dx 4 (x + 1)2 dx 22 (x + 1) 2 d(x + 1) = 1 2 [(x + 1) 4 (x + 1) arcsen( x + 1 ) 1 2 = 1 2 (4π 3 3) Finalmente P dx + Qdy = 2 ( Área de la circunferencia 1 4 D = 2 ( 4π 2 ( 4π 3 3) ) = 8π EJERIIO PROPUETO B B dx dy ) Figura 1.18: 1. Un alambre delgado se dobla en forma de semicirculo x 2 + y 2 = 4, x. i la densidad lineal es una constante K, encuentre la masa y centro de masa del alambre. 2. Halle la masa y el centro de masa de un alambre en forma de hélice x = t, y = cost, z = sent, t 2 π, si la densidad en cualqpunto es igual al cuadrado de la distancia desde el origen. 3. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F (x, y) = (x, y + 2) al mover una partícula a lo largo de un arco de cicloide r(t) = (t sent, 1 cost), t 2 π.

19 1.5. TEOREMA DE GREEN Un hombre de 16 lb de peso sube con una lata de 25 lb de pintura por una escalera helicoidal que rodea a un silo, con radio de 2 pies. i el silo mide 9 pies de alto y el hombre hace exactamente tres revoluciones completas, cuánto trabajo realiza el hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior?. 5. Evalue la integral de linea y2 dx + x 2 dy donde es la gráfica de y = x 2 de ( 1, 1) a (1, 1). 6. Evalue la integral de linea F.T ds, donde x i + y j + z ky es la curva f(t) = (e 2t, e t, e t ) t ln2. 7. Evalue la integral de linea zdx + xdy + y 2 dz donde es la curva f(t) = (t, t 3/2, t 2 ) t Evalue la integral de linea xyzds donde es la trayectoria de (1, 1, 2) a (2, 3, 6) formado por tres segmentos de recta, el primero paralelo al eje X, el segundo paralelo al eje Y y tercero paralelo al eje Z. 9. Pruebe que la integral de linea y2 dx + 2xydy es independiente de la trayectoria de A a B. 1. Un alambre con la forma de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2, z = tiene densidad constante y masa total M. Determine su momento inercial con respecto de (a) al eje Z; (b) el eje X. 11. Determine el trabajo realizado por el campo de fuezas F = z i x j + y kpara mover la partícula de (1, 1, 1) a (2, 4, 8) a lo largo de la curva y = x 2, z = x Aplique el teorema de Green para evaluar la integral de linea x 2 ydx + x y 2 dy donde es la frontera de la región entre las dos curvas y = x 2 y y = 8 x Evalue la integral de linea x 2 dy, donde es la cardioide r = 1+cosθ, aplicando primero teorema de Green y pasando despues a coordenadas polares.

20 16 APÍTULO 1. INTEGRAL DE LINEA 14. uponga que la integral de linea P dx + Qdy es independiente de la trayectoria en la región plana D. Demuestre que P dx + Qdy = para cualquier curva simple cerrada suave por partes en D. 15. alcule la integral de linea de la forma diferencial rdr + r 2 dθ a lo largo de la curva γ de ecuación r = senθ, θ π. y 16. e considera el campo vectorial F = ( x 2 + y, x 2 x 2 + y, 2 3z2 ) y la curva γ de ecuaciones paramétricas x = λ, y = λ 3 +λ 2 1, z = λ+3. alcule el trabajo necesario para llevar una masa de unidad a lo largo de γ desde el punto P = ( 1, 1, 2) hasta el punto Q = (1, 1, 4).

21 apítulo 2 uperficies Definición 2..2 e denomina superficie en el espacio R 3, a cualquier función r : R R 2 R 3. En general r será de clase. Figura 2.1: 2.1. Expresiones de una uperficie Las principales expresiones de una superficie [3] son: Ecuación vectorial r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) para cada (u, v) D Ecuación paramétrica x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)) para cada (u, v) D Ecuaciones explicitas alguno de los tipos son: z = f(x, y), x = g(y, z), y = h(x, z)) Ecuación explicita F (x, y, z) =. 17

22 18 APÍTULO 2. UPERFIIE En lo que sigue nos dedicaremos al estudio de las superficies en su forma paramétrica uperficie paramétrica Una superficie paramétrica es la imagen de una función ó transformación r definida en una región R del plano U V y que tiene valores en X Y Z, esto es: r : R R 2 R 3 (u, v) r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (1) upongamos (en lo que sigue) que las funciones componentes de r tienen derivadas parciales continuas con respecto de u y v y también que los vectores r u = r u = ( x u, y u, z u ) r v = r v = ( x v, y v, z v ) on distintos de cero y no paralelos en cada punto interior de R Las variables u y v son los parámetros de la superficie (en analogía con el parámetro t para una curva paramétrica). Ejemplo La función r : [, 2π R R 3 definida por r(u, v) = (cosu, senu, v) representa un cilindro de base regular como se muestra en la figura 2.2. Figura 2.2:

23 2.2. ÁREA DE LA UPERFIIE PARAMÉTRIA 19 Ejemplo A partir de una superficie de ecuación explicita, z = f(x, y) por ejemplo, se puede tener una superficie paramétrica dada por x = x, y = y, z = f(x, y) 2. Podemos considerar de igual forma, una superficie dada en coordenadas cilíndricas por la gráfica de z = g(r, θ) como una superficie paramétrica con parametros r y θ. La transformación r del plano r θ al espacio X Y Z esta dada entonces por: x = r cosθ, y = r senθ, z = g(r, θ) 3. Podemos considerar tambien una superficie dada en coordenadas esféricas por ρ = h(θ, φ) como una superficie paramétrica con parámetros θ y φ y la transformación correspondiente del plano θ φ al espacio X Y Z está dada entonces por x = h(θ, φ) senφ cosθ, y = h(θ, φ) senφ senθ, z = h(θ, φ) cosφ Ejemplo Identifique y haga un esbozo de la gráfica de la superficie parámetrica dada por r = (u, v, 1 u 2 v 2 ) donde (u, v) D = {(u, v) R 2 / u 2 + v 2 1} olución omo x = u, y = v, z = 1 u 2 v 2 z = f(x, y) = 1 x 2 y 2 Figura 2.3: Ahora definamos el área de la superficie paramétrica general dada en la ecuación (1) Área de la superficie paramétrica onsideremos una partición interior de la región R ( el dominio de r en el plano U V ) en rectángulos R 1, R 2,...R n, cada una con dimensiones u y v. ea (u i, v i ) la esquina

24 2 APÍTULO 2. UPERFIIE inferior de R i. La imagén i de R i bajo r no será generalmete un rectángulo en el espacio X Y Z; se verá como una figura curvilinea en la superficie imagen, con r(u i, v i ) como un vertice. ea i el área de esta figura curvilinea i. Figura 2.4: Las curvas paramétricas r(u, v i ) y r(u i, v) (con parámetros u y v respectivamente) están sobre la superficie y se intersectan en el punto r(u i, v i ). En este punto de intersección, estas dos curvas tienen los vectores tangentes r u (u i, v i ), r v (u i, v i ) como se muestra en la figura. Por tanto su producto vectorial N(u i, v i ) = r u (u i, v i ) r v (u i, v i ) es un vector normal a en el punto r(u i, v i ). Figura 2.5: Ahora consideremos que u y v son pequeños. Entonces el área i de la figura curvilinea i será aproximadamente igual al área P i del paralelogramo con lados adyacentes r u (u i, v i ) u y r v (u i, v i ) v. Pero el área de este paralelogramo es

25 2.2. ÁREA DE LA UPERFIIE PARAMÉTRIA 21 P i = r u (u i, v i ) u r v (u i, v i ) v = N(u i, v i ) u v. Figura 2.6: Esto significa que el área a() de la superficie está dada aproximadamente por n n n a() = i P i N(u i, v i ) u v i=1 i=1 i=1 Pero esta última suma es una suma de Riemman para la integral doble N(u, v) du dv R Por tanto, esto nos motiva a definir el área A de la superficie paramétrica como A = a() = N(u, v) du dv = r u r du dv v R Ejemplo alcule el área de la superficie esférica: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 olución La parametrización de la esfera (en coordenadas esféricas) está dada por: r(θ, ϕ) = (a senϕ cosθ, a senϕ senθ, a cosϕ) definida sobre D = {(θ, ϕ) R 2 / θ 2π, ϕ π} r θ = ( a senϕ senθ, a senϕ cosθ, ) r θ r ϕ = a 4 sen 2 ϕ = a 2 senϕ r ϕ = (a cosϕ cosθ, a cosϕ senθ, a senϕ) Luego el área de la superficie esférica es: A = 2π π R a 2 senϕ dϕ dθ = 4 π a 2

26 22 APÍTULO 2. UPERFIIE Ejemplo Determine el area de la rampa espiral dada en coordenadas cilindricas z = θ, r 1 y θ π. olución La parametrización de la rampa espiral está dada por: Figura 2.7: r(r, θ) = (r cosθ, r senθ, θ) definida sobre D = {(r, θ) R 2 / r 1, θ π} r r = (cosθ, senθ, ) r r r θ = 1 + r 2 r θ = ( r senθ, r cosθ, 1 ) Luego el área de la rampa espiral es: π 1 π A = 1 + r2 dr dθ = ( 2 r 1 + r Ln(r r 2 ) 1 dθ = π 2 ( 2 + Ln(1 + 2)) Ejemplo Determine el área de la superficie del toro generado al girar el círculo (x b) 2 + z 2 = a 2 ( < a < b) en el plano XZ alrededor del eje Z. olución El toro queda descrito mediante las ecuaciones: x = r cosθ = ( b + a cosψ) cosθ y = r senθ = ( b + a cosψ) senθ z = a senψ

27 2.2. ÁREA DE LA UPERFIIE PARAMÉTRIA 23 Figura 2.8: Luego r(θ, ψ) = (( b + a cosψ) cosθ, ( b + a cosψ) senθ, a senψ) definida sobre D = {(θ, ψ) R 2 / θ 2 π, ψ 2 π} r θ r ψ = a ( b + a cosψ) Luego el área de la superficie del toro es: A = 2 π 2 π a ( b + a cosψ)dθ dψ = 4 π 2 a b EJERIIO PROPUETO 1. Identifique las superficie con la ecuaci on vectorial dada: a) r(u, v) = (ucosv, usenv, u 2 ) b) r(u, v) = (1 + 2u, u + 3v, 2 + 4u + 5v) c) r(u, v) = (u, cosv, senv) 2. Encuentre una representación paramétrica para la superficie. a) La parte del hiperboloide x 2 y 2 +z 2 = 1 que se encuentra abajo del rectángulo [ 1, 1] [ 3, 3]. b) La parte del cilindro x 2 + z 2 = 1 que encuentra entre los planos y = 1 y y = 3. c) La parte del paraboloide eliptico x + y 2 + 2z 2 = 4 que se encuentra frente al plano x =.

28 24 APÍTULO 2. UPERFIIE 3. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la superficie generada por la curva y)e x, x 3, al girar alrededor del eje x, y uselas para trazar la superficie. 4. Encuentre el área de la superficie. a) La parte de la superficie z = x + y 2 que se encuentra arriba del triángulo con vertices (, ), (1, 1) y (, 1). b) La parte del cilindro x 2 +z 2 = a 2 que se encuentra dentro del cilindro x 2 +y 2 = a 2. c) La parte del paraboloide hiperboloide hiperbólico z = y 2 x 2 que se encuentra entre los cilindros x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = Estime el área de la parte de la superficie z = (1 + x 2 )/(1 + y 2 ) que se encuentra arriba del cuadrado x + y 1 con una aproximación de 4 cifras decimales.

29 apítulo 3 Integrales de uperficie 3.1. Integrales de uperficie Una integral de superficie es a las superficies en el espacio lo que una integral de linea es a las curvas planas [2]. onsideremos una delgada hoja de metal curva con la forma de la superficie. upongamos que esta hoja tiene densidad variable dada en el punto (x, y, z) por la función continua conocida f(x, y, z) en unidades tales como gramos por centimetro cuadrado de superficie. Deseamos definir la integral de superficie f(x, y, z) ds de modo que al evaluar nos de la masa total de la delgada hoja del metal. i f(x, y, z) = 1, el valor numérico de la integral debe ser igual al área de. ea una superficie paramétrica descrita por la función ó transformación r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) para (u, v) en la región D en el plano U V. upongamos que las funciones componentes de r tienen derivadas parciales continuas y que los vectores r u y r v son distintos de cero y no paralelos en cada punto interior de D. abemos que el área a() de la superficie está dada aproximadamente por n n a() = P i = N(u i, v i ) u v i=1 i=1 donde P i = N(u i, v i ) u v es el área del paralelogramo P i tangente a la superficie en el punto r(u i, v i ). El vector N = r u r v 25

30 26 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE es normal a en r(u, v). i la superficie tiene ahora una función de densidad f(x, y, z), entonces podemos aproximar la masa total m de la superficie (masa = densidad area por: m n f(r(u i, v i )) P i = i=1 n f(r(u i, v i )) N(u i, v i ) u v i=1 Esta aproximación es una suma de Riemann para la integral de superficie de la función f sobre la superficie, que se denota por: En la integral de superficie f(x, y, z) ds = f(r(u, v)) N(u, v) du dv D = r f(r(u, v)) D r u v du dv f(x, y, z) ds, ds = N(u, v) du dv convierte la integral de supereficie en una integral doble ordinaria sobre la región D en el plano U V En el caso particular de una superficie descrita por z = h(x, y), con (x, y) D en el plano X Y, podemos utilizar x e y como parámetros ( en vez de u y v). Entonces el elemento de área de la superficie adquiere la forma [5] ds = 1 + ( h x )2 + ( h y )2 dx dy La integral de superficie de f sobre está dada entonces por f(x, y, z) ds = f(x, y, h(x, y)) 1 + ( h x )2 + ( h y )2 dx dy D Los centroides y los momentos de inercia para las superficies se calculan de manera análoga a sus correpondientes en las curvas. Ejemplo alcule la integral de superficie x 2 z ds, donde es la superficie del cono circular recto truncado z 2 = x 2 + y 2, limitado superior e inferiormente por los planos z = 1 y z = 4. olución Notemos que la superficie está formado por el cono: h(x, y) = x 2 + y 2, y por los planos z = 1 z = 4, luego h x = h y = x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 Proyectando ahora la superficie sobre el plano X Y (que es la más facil de observar) se tiene que: y Figura 3.1:

31 3.1. INTEGRALE DE UPERFIIE 27 x 2 z ds = D x 2 z 1 + h 2 x + h 2 y dx dy = 2 x 2 x 2 + y 2 dx dy D y luego parametricemos usando coordenadas polares la región proyectada D: x = r cosθ y = r senθ donde 1 r 4, θ 2 π y J(r, θ) = r. Finalmente, Figura 3.2: x 2 z ds = D 2 x 2 x 2 + y 2 dx dy = 2 π r 4 cos 2 θ dr dθ = π 5 x z Ejemplo alcule la integral de superficie ds, donde es la superficie y formado por la parte del cilindro x = y 2 que se encuentra en el primer octante entre los planos z =, z = 5, y = 1 y y = 4. olución Notemos que la superficie es más fácil proyectarlo sobre el plano Y Z. Por lo tanto consideraremos que: x z y ds = D x z y 1 + g 2 y + g 2 z dy dz donde g(y, z) = x = y 2 y D la proyección de sobre el plano Y Z. omo g(y, z) = y 2, se tiene: g y = 2y Figura 3.3: g z = La región D está dada por: D = {y, z) R 2 / z 5, 1 y 4}

32 28 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE Luego x z y ds = = D = 25 2 = = (65 x z y y 2 z y 1 + g 2 y + g 2 z dy dz 1 + 4y2 dz dy y 1 + 4y 2 dy 1 + y2 d(1 + 4y 2 ) ) Figura 3.4: Ejemplo Determine el centroide de la superficie hemisférica con densidad unitaria, z = a 2 x 2 y 2, x 2 + y 2 a 2 olución El centroide se encuentra en el eje Z, es decir, (,, z) donde z = 1 m onsideremos ρ(x, y, z) = 1. omo z = a 2 x 2 y 2 se tiene ds = 1 + ( h x )2 + ( h y )2 dx dy = a dx dy z Luego la masa del hemisferio (en este caso área de la semiesfera) es m = ρ(x, y, z) ds = ds = 2πa 2 Finalmente z = 1 z a 1 dx dy = 2π a 2 D z 2πa D donde D es el círculo de radio a en el plano X Y. dx dy = 1 2πa π a2 = a 2 z ρ(x, y, z) ds 3.2. egundo tipo de Integral de uperficie La integral de superficie f(x, y, z) ds es análoga a la integral de linea f(x, y)ds. Existe un segundo tipo de integral de linea de la forma P dx + Qdy. Para definir la integral de superficie [2] f(x, y, z) ds con dx dy en vez de d, reemplazamos el área del paralelogramo P i en la ecuación ( ) por el área de su proyección en el plano X Y.

33 3.2. EGUNDO TIPO DE INTEGRAL DE UPERFIIE 29 como onsideremos el vector normal unitario a n = N N N = = (cosα, cosβ, cosγ) i j k x u x v y u y v z u z v o en la notación del Jacobiano N = ( (y,z), (z,x), (x,y) (u,v) (u,v) (u,v) Las componentes del vector normal unitario n son cosα = 1 (y, z) N (u, v), cosβ = 1 (z, x) N (u, v) ). Figura 3.5:, cosγ = 1 (x, y) N (u, v) De la figura vemos que la proyección (con signo) del área P i en el plano X Y es P i cosγ. La correspondiente suma de Riemann motiva la definición f(x, y, z) dx dy = f(x, y, z) cosγ d = R De manera análoga, definimos f(x, y, z) dy dz = Nota y esto implica que (x,y) f(r(u, v)) du dv (u,v) f(x, y, z) cosα d = (y,z) f(r(u, v)) du dv R (u,v) f(x, y, z) dz dx = f(x, y, z) cosβ d = (z,x) f(r(u, v)) du dv (u,v) (x, z) (u, v) = (z, x) (u, v) f(x, y, z) dx dz = f(x, y, z) dz dx La integral de superficie general de segundo tipo es la suma P dy dz + Q dz dx + R dx dy = (P cosα + Q cosβ + Rcosγ) d ( ) = P (y,z) + Q (z,x) + R (x,y) du dv (u,v) (u,v) (u,v) En este caso P, Q y R son funciones continuas de x, y y z. upongamos que F = (P, Q, R). Entonces, el integrando de la ecuación ( ) es simplemente F. n de modo que obtenemos F.n d = P dy dz + Q dz dx + R dx dy R

34 3 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE entre estos dos tipos de integrales de superficie. Esta fórmula es análoga a la fórmula anterior para integrales de linea. F.T ds = P dx + Qdy + Rdz Ejemplo upongamos que es la superficie z = h(x, y) con (x, y) en D Muestre entonces que P dy dz + Q dz dx + R dx dy = D ( P z ) x Q z y + R dx dy donde P, Q y R de la segunda integral se evaluan en (x, y, h(x, y)) olución e tiene que P dy dz+q dz dx+r dx dy = luego (y, z) (x, y) = y x z x y y z y = z x, ( P (z, x) (x, y) = Reemplazando estos resultados en ( ) se tiene: P dy dz + Q dz dx + R dx dy = 3.3. El Flujo de un ampo Vectorial ) (y, z) (z, x) (x, y) + Q + R dx dy (x, y) (x, y) (x, y) D z x x x z y x y = z y, (x, y) (x, y) = 1 ( P z ) x Q z y + R dx dy Una de las aplicaciones más importantes de las integrales de superficie requieren del cálculo del flujo de un campo vectorial. Para definir el flujo del campo vectorial F a través de la superficie, supondremos que tiene un campo vectorial normal unitario n que varia de manera continua de un puntro a otro de. Esta condición excluye de nuestra consideración a las superficies con un solo lado (no orientables) como la banda de Möbius [5]. i es una superficie con dos lados (orientable) entonces existen dos elecciones posibles de n. Por ejemplo si es una superficie cerrada (como una esfera) que separe el espacio en dos partes, entonces podemos elegir como n el vector normal exterior ( en cada punto de ) o el vector normal interior. El vector n = N puede ser el normal exterior o interior; N la elección de estos depende de la forma como se ha parametrizado a. ( )

35 3.3. EL FLUJO DE UN AMPO VETORIAL 31 Figura 3.6: Banda de Möbius: r(u, v) = ( (2 v sin( u 2 )) sen(u), (2 v sin( u 2 )) cos(u), v cos( u 2 )) Ahora consideremos el flujo de un campo vectorial. upongamos que tenemos el campo vectorial F, la superficie orientable y un campo vectorial normal unitario n sobre. Definamos el flujo φ de F a traves de en la dirección de n φ = F.n d ( ) Por ejemplo si F = ρ V donde V es el campo vectirial de velocidades correspondiente al flujo estacionario en el espacio de un fluido de densidad ρ y n es elvector normal unitario exterior para una superficie cerrada que acota la región T del espacio, entonces el flujo determinado por la ecuación ( ) es la tasa neta de flujo del fluido fuera de T a través de su superficie frontera en unidades tales como gramos por segundo. Una aplicación similar es al flujo de calor, que desdde el punto de vista matemático es bastante similar al flujo de un fluido. upongamos que un cuerpo tiene temperatura u = u(x, y, z) en el punto (x, y, z). Los experimentos indican que el flujo de calor en el cuerpo queda descrito por el vector del flujo del calor q = k u El número k (que por lo general pero no siempre es constante) es la conductividad térmica del cuerpo. El vector q apunta en la dirección del flujo de calor y su longitud es la razón de flujo de calor a través de un área unitaria normal a q. Esta razón de flujo se mide en unidades como calorias por segundo por centimetro cuadrado. i es una superficie cerrada dentro del cuerpo que acota la región sólida T y n denota el vector normal unitario exterior a, entonces q.n d = k u.n d

36 32 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE es la razón neta del flujo de calor ( en calorias por segundo, por ejemplo) hacia fuera de la región T a través de su superficie frontera. Ejemplo Determine el flujo del campo vectorial F = (x, y, 3) hacia afuera de la región T acotada por el paraboloide z = x 2 + y 2 y por el plano z = 4. olución El flujo total de F hacia fuera de T está dado por: F. n d = F. n 1 d + T 1 2 F. n 2 d Figura 3.7: Figura 3.8: ea n 1 = (,, 1), luego F. n 1 d = 3 d = 3 (π 2 2 ) = 12 π. 1 1 Por otra parte, sea G(x, y, z) = x 2 +y 2 z =. Luego N 2 = G = (2x, 2y, 1) (orientación hacia afuera) y F. n 2 d = 2 R F. N 2 N 2 N 2 dx dy = ( 2x 2 + 2y 2 3 ) dx dy R donde R = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 4} es la proyección de la superficie T sobre el plano X Y. Parametricemos R mediante las coordenadas polares: x = r cosθ y = r senθ donde r 2, θ 2 π y J(r, θ) = r

37 3.3. EL FLUJO DE UN AMPO VETORIAL 33 2 F. n 2 d = = R 2 π 2 = 4 π ( 2x 2 + 2y 2 3 ) dx dy ( 2r 2 3 ) r dr dθ Por lo tanto el flujo total hacia fuera de T es: 12 π + 4 π = 16 π. Ejemplo La temperatura u de una bola metálica es proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro de la bola. Encuentre la rapidez del térmico que atraviesa la esfera de radio a con centro en el centro de la bola. olución onsiderando el centro de la esfera (,, ), se tiene: u(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) donde es la constante de proporcionalidad. Entonces el flujo térmico es: F (x, y, z) = k u = k (2x, 2y, 2z) donde k es la conductividad del metal. La normal a la esfera que está dada por:g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 a 2 = es: N = G = (2x, 2y, 2z) (con orientación hacia afuera) N F. n d = F. N d = k (2x, 2y, 2z). (x, y, z) d a = 2 k a (x2 + y 2 + z 2 ) d 2 k = a (x2 + y 2 + z 2 ) d 2 k = a a2 d = 2 a k d = 2 a k ( 4 π a 2 ) = 8 k a 3.

38 34 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE 3.4. El Teorema de la Divergencia El teorema de la divergencia es a las integrales de superficie lo que el teorema de Green a las integrales de linea. Nos permite convertir una integral de superficie sobre una superficie cerrada en una integral triple sobre la región que encierra la superficie o viceversa. El Teorema de la Divergencia también se conoce como el teorema de Gauss y como el teorema de Ostrogradski. Gauss lo utilizó para estudiar los campos de fuerzas del cuadrado inverso; mientaras que Ostrogradski lo utilizó para estudiar el flujo de calor. Ambos realizaron sus estudios en la década de 183 [6]. Teorema (DIVERGENIA) upongamos que es una superficie cerrada suave por partes que acota la región del espacio T. ea F = P i + Q j + R k un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en T. ea n el vector normal unitaria exterior a. Entonces F.n d =.F dv (Para la prueba ver ap. 9 pag. 139 de [6]) OBERVAIÓN i n está dado en términos de sus cosenos directores como n = (cosα, cosβ, cosγ), entonces podemos escribir el teorema de la divergencia en forma escalar: (P cosα + Q cosβ + R cosγ) d = ( P x + Q y + R z ) dv Es mejor parametrizar de modo que el vector normal dado por la aproximación sea la normal exterior. Entonces escribir la ecuación anterior en forma cartesiana: P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ( P x + Q y + R z ) dv Ejemplo Resuelva el ejemplo usando el teorema de la divergencia. olución ean Dado que F = (x, y, 3) se tiene que P = x, Q = y, R = 3 P = 1, Q = 1, R = x y z luego div F = 2 Dado que F es de clase 1, el teorema de la divergencia implica que F.n d = 2 dv T T T T

39 3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENIA 35 Para resolver la integral triple usemos coordenadas cilindricas x = r cosθ θ 2π y = r senθ r 2 z = z, r 2 z 4, J(r, θ, z) = r 2π 2 4 F.n d = 2 r dz dr dθ = 16 π r 2 Ejemplo ea la superficie del cilindro sólido T acotada por los planos z =, z = 3 y por el cilindro x 2 + y 2 = 4. alcule el flujo hacia fuera F.n d dado que F = (x 2 + y 2 + z 2 ) (x, y, z). olución ean P = (x 2 + y 2 + z 2 ) x, Q = (x 2 + y 2 + z 2 ) y, R = (x 2 + y 2 + z 2 ) z P = x 3x2 + y 2 + z 2, luego div F = 5 (x 2 + y 2 + z 2 ) Q y = 3y2 + z 2 + x 2, R z = 3z2 + x 2 + y 2 Dado que F es de clase 1, el teorema de la divergencia implica que F.n d = 5 (x 2 + y 2 + z 2 )dv Para resolver la integral triple usemos coordenadas cilindricas F.n d = x = r cosθ θ 2π y = r senθ r 2 z = z J(r, θ, z) = r 2π 2 3 T 5 (r 2 + z 2 ) r dz dr dθ = 3 π Ejemplo Muestre que la divergencia del campo vectorial F en el punto P está dada por 1 {div F }(P ) = lím F.n d r V r r donde r es la esfera de radio r con centro en P y V r = 4 3 π r3 es el volumen de la bola B r acotada por la esfera. olución abemos que F.n d = divf dv r B r Entonces aplicamos el teorema del valor promedio para integrales triples divf dv = V r {divf }(P ) B r (α)

40 36 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE para algún punto P de B r ; supongamos que las funciones componentes de F tienen derivadas parciales de primer orden, continuas en P, de modo que {div F }(P ) {div F }(P ) cuando P P Obtenemos la ecuación (α) al dividir ambos lados entre V r y considerar el limite cuando r. NOTA upongamos que F = ρ V es el campo de vectorial para el flujo de un fluido. Podemos interpretar la ecuación (α) diciendo que {divf }(P ) es la tasa neta por unidad de volumen de masa de fluido que fluye fuera (o diverge ) del punto P. Por esta razón, el punto P es una fuente si {divf }(P ) > y un sumidero si {div F }(P ) <. El calor en un cuerpo conductor se puede considerar desde el punto de vista matemático como si fuera un fluido que fluye por el cuerpo. El teorema de la divergencia se aplica para demostrar que si u = u(x, y, z, t) es la temperatura en el punto (x, y, z) en el instante t en un cuerpo por el que fluye el calor, entonces la función u debe satisfacer la ecuación 2 u x + 2 u 2 y + 2 u 2 z = 1 u 2 k t donde k es una constante (la difusión térmica del cuerpo). Esta es una ecuación diferencial parcial llamada ecuación dl calor. i están dadas la temperatura inicial u(x, y, z, ) y la temperatura en la frontera del cuerpo, entonces sus temperaturas interiores en los instantes futuras quedan determinadas por la ecuación del calor. [6]. A continuación se mencionan dos aplicaciones inmediatas del teorema de la divergencia Ley de Gauss La ley de Gauss de la electrostática afirma: el flujo neto de electricidad a traves de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella divida entre la constante de permitividad del espacio libre ε o. u formulación matemática se establece como sigue: Φ ɛ = 1 ε o N q i = q = ε o i=1 donde Φ ɛ denota el flujo eléctrico y q la carga total. E.n d

41 3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENIA 37 Utilizando el teorema de la divergencia se deduce que Φ ɛ = div E.dV = q ε o V El valor matemático preciso de la constantes física ε (permitividad del vacio o del espacio libre) es: ε o = 17 4 π c 2 donde c = m/s es el valor exacto de la velocidad de la luz en el vacio Ley de oulomb La ley Gauss es tan importante, que hasta la misma ley de oulumb se puede deducir como un corolario de aquella, como se menciona a continuación. Teorema Dos cargas eléctricas q y q, separadas entre si una distancia r, se atraen con una fuerza F de magnitud Prueba F = q o q 4 π ε o r 2 upongamos que se tiene una carga puntual q, considerada en el centro de una esfera de radio r. ea E un campo de vectores que represnta el campo eléctrico sobre. Es claro que los dos vectores E y d = n d apuntan ambos hacia afuera de la esfera de manera perpendicular a ésta, así que el ángulo que forman ambos vectores en un mismo punto tiene que ser cero. Por tanto, E.n d = E. d = E n ds cos o = E d Al aplicar la ley de Gauss a esta esfera de radio r, se obtiene q = E.n d = E d = E d = E (4 π r 2 ) ε o De aqui que E = q 4 π ε o r 2 (1) Ahora consideremos una segunda carga eléctrica q o separada a una distancia r de la carga q (no importa si se trata de cargas del mismo signo o de signos contrarios). Obviamente q o está sobre la esfera, así que la magnitud de la fuerza que actúa sobre q o es F = E q o (2)

42 38 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE ombinando (1) y (2) se obtiene la fórmula para la ley de oulomb: F = 1 q q o 4 π ε o r 2 La forma vectorial de la ley de oulumb se puede expresar introduciendo el vector r, que va desde el punto donde se encuentra la carga q hasta el punto donde se encuentra la carga q o : Teorema de tokes F = 1 q q o 4 π ε o r r 3 El teorema de tokes se puede considerar como versión del teorema de Green para tres dimensiones. Mientras que el teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región plana D con una integral de linea alrededor de su curva frontera plana, el teorema de stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie con una integral de linea alrededor de la curva frontera de (que es una curva en el espacio)[4]. La figura 3.9 muestra una superficie orientada con vector normal unitario n. La orientación de induce la orientación positiva de la curva frontera como se muestra en la figura. Esto significa que si usted camina a lo largo de la curva, en la dirección positiva con su cabeza apuntando en la dirección de n, entonces la superficie siempre estará a su izquierda. Teorema ( TOKE) ea una superficie Figura 3.9: suave a trozos y orientada que está limitada por una curva frontera, cerrada, suave a trozos y positivamente orientada. ea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta R 3 que contiene a. Entonces F.T d = (rot F ).n d (Para la prueba ver ap. 9 pag. 928 de [4]) Notas En terminos de las componentes de F = (P, Q, R) y las de rot F, podemos replantear el teorema de tokes, con la ayuda de la ecuación F.n d = P dy dz + Q dz dy + R dx dy

43 3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENIA 39 en su forma escalar: P dx + Q dy + R dz = ( R y Q ) dy dz + ( P z z R ) dz dx + ( Q x x P ) dx dy y En el caso especial en el que la superficie es plana y se encuentre en el plano X Y con orientación hacia arriba, la norma unitaria es k, la integral de superficie se convierte en una integral doble y el teorema de tokes es: F.T d = rot F.n d = rot F.k da Ésta es precisamente la forma vectorial del teorema de Green que se dió anteriormente. Así que el teorema de Green es realmente un caso especial del teorema de tokes. El teorema de tokes tiene una interesante interpretación geométrica [6]: En la figura 3.1 se muestra una curva cerrada y orientada que encierra una superficie abierta, a la que se le asignado orientación positiva en una de sus caras. En el lado con orientación positiva de podemos imaginar un número Figura 3.1: infinitamente grande de circulaciones adyacentes infinitamente pequeñas, las cuales se cancelan entre si de tal manera que la unica componente que contribuye al rotacional neto del campo vectorial F integrando sobre la superficie es precisamente la integral de linea sobre el contorno. Ejemplo Utilice el teorema de tokes para calcular la integral rot F.n d donde F (x, y, z) = (yz, xz, xy) y es la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y arriba del plano X Y. olución La curva es la intersección del cilindro con la esfera: x 2 + y 2 + z 2 = 4 : x 2 + y 2 = 1 La parametrización de es: x = cosθ y = senθ θ 2 π z = 3 : α(θ) = (cosθ, senθ, 3) x 2 + y 2 = 1 z = 3 > Figura 3.11:

44 4 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE rot F. n d = F. T d = F (α(θ)). α (θ) dθ F (α(θ)) = ( 3 senθ, 3 cosθ, cosθ senθ α (θ) = ( senθ, cosθ, ) F (α(θ)). α (θ) = 3 sen 2 θ + 3 cos 2 θ Finalmente rot F. n d = F (α(θ)). α (θ) dθ = = = 2π 2π 3 ( sen 2 θ + cos 2 θ) dθ 3 cos(2 θ) dθ Observaciones 1. i 1 y 2 son dos superficie orientadas con la misma curva frontera orientada y ambos satisfacen las hipótesis del teorema de tokes [5], entonces rot F. n d = F. T d = rot F. n d Utilicemos el teorema de tokes para explicar el significado del vector rotacional [5]. upongamos que es una curva cerrada orientada y V representa el campo de velocidades de un fluido. onsideremos la integral de linea V. T d recordemos que V.T es la componente de V en la dirección del vector tangente unitaria T. Esto es, cuanto más cercana sea la dirección de V a la dirección de T, mayor es el valor de V.T. Entonces V. T d es una medidad de la tendencia del fluido a moverse al rededor de y se llama IRULAIÓN de V alrededor de. Ahora sea P (x o, y o, z o ) un punto del fluido y sea a un pequeño disco con radio a y centro P o. Entonces (rot F ) (P ) (rot F ) (P o ) para todos los puntos P sobre a porque rot F es continuo. Así por el teorema de tokes, obtenemos la siguiente aproximación a la circulación alrededor del circunferencia frontera a : V. T d = rot V. n d a a rot V (P o ). n(p o ) d a = rot V (P o ). n(p o ) π a 2

45 3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENIA 41 Figura 3.12: V.T ds > circulación positiva Figura 3.13: V.T ds < circulación negativa Esta aproximación mejora a medida que a y tenemos 1 rot V (P o ). n(p o ) = lím V. T d a π a 2 a ( ) La ecuación ( ) da la relación entre el rotacional y la circulación. Demuestra que rot V. n es una medida de la rotación del fluido alrededor del eje n. El efecto de rotación es mayor alrededor del eje paralelo al rot V. Imaginemos una pequeña rueda de paletas colocada en el fluido en un punto P, como en la figura, la rueda de paletas gira con más rapidez cuando su eje es paralelo al rot V. Ejemplo Aplique el teorema de tokes para calcular la integral de superficie rot F. n d Figura 3.14: donde F = (3y, xz, yz 2 ) y es la superficie z = (x 2 + y 2 )/2 tomando como frontera de a la curva descrita por el corte de la misma con el plano z = 2 y orientada en el sentido de las manecillas del reloj cuando se ve desde arriba. olución rot F. n d = F. T d = P dx + Q dy + R dz = 3y dx xzq dy + yz2 dz : es una curva dada por la intersección del paraboloide y el plano: z = 1 2 : (x2 + y 2 ) x 2 + y 2 = 4 z = 2

46 42 APÍTULO 3. INTEGRALE DE UPERFIIE Luego se parametriza por: α(θ) = (2 cosθ, 2 senθ, 2) t [, 2π] rot F. n d = 3y dx xzq dy + yz 2 dz = = 2 π 2 π = 2 π. (3( 2senθ)( 2senθ) (2cosθ)(2)(2cosθ) + ( 2senθ)(4)())dt (12sen 2 θ + 8cos 2 θ)dt Ejemplo e consideran el campo vectorial F (x, y, z) = (x 2, x 2x y, ), y la superficie regular (con vector normal n de tercera componente positiva) que resulta de la intersección del plano 2y + z 6 = y el cubo [, 4] [, 4] [, 4]. i γ es el borde de, con orientación antihoraria, calcule G. T d. donde F = rot G. γ olución La superficie está parametrizado por r(x, y) = (x, y, 6 2y), luego r x = (1,, ) r y = (, 1, 2) r x r y = (, 2, 1) = N Por el Teorema de tokes, se tiene: G. T d = rot G.n d γ = F.N dx dy = D 4 3 = ( 2x + 4xy) dy dx Ejemplo alcule la circulación del campo de velocidades de un fluido F (x, y, z) = ( arctan (y 2 ), 3x, e 3 z tan(z)) a lo largo de la Figura 3.15: intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 con el cilindro x 2 + y 2 = 1, con z >. olución La circulación de un campo es su integral a lo largo de la curva cerrada (trabajo), esto es: F. T ds. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva, tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a cero; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional.

47 3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENIA 43 Primero parametricemos la superficie (que es la intersección del cilindro con la esfera) por r(r, θ) = (r cosθ, r senθ, 4 r 2 ) donde r 1 y θ 2 π. Luego se tiene: r N = r r r θ = ( 4 r 2 cosθ, r 4 r 2 senθ, r ) Para calcular la circulación del campo F, apliquemos el teorema de tokes: F. T ds = = Observación = = D 2 π 1 2 π 1 = 3 π rot F. n d rot F. N dr dθ r (,, 3). ( cosθ, 4 r 2 3 r dr dθ Figura 3.16: r senθ, r ) dr dθ 4 r 2 Notemos que calcular la circulación en forma directa es bastante engorroso. EJERIIO PROPUETO 1. alcule (x2 + y 2 ) d, siendo la superficie del cono z 2 = 3(x 2 + y 2 ), con z ea la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 a 2 =, z. Halle (x2 + y 2 ) d. 3. ea F un campo irrotacional con derivadas primeras continuas en un dominio D simplemente conexo de R 3. ea γ una curva simple cerrada contenida en D. Pruebe que la circulación ( F. T ds) es cero. γ 4. alcule 2ydx+3xdy z2 dz siendo la circunferencia de ecuaciones paramétricas x = 3cost, y = 3sent, z =, para t 2 π. 5. e consideran el cono de ecuaciones paramétricas x = ucosv, y = usenv, z = 3u, para u 1, v 2 π y el campo vectorial F = (x, y, z). Halle el flujo de F a través de en el sentido normal exterior. 6. Halle el flujo de F = (sen(xyz), x 2 y, z 2 e x/5 ) que atraviesa la parte del cilindro 4y 2 + z 2 = 4 que está arriba del plano XY y entre los planos x = 2 y x = 2 con