TEMA 11: INTEGRAL DE LINEA.

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA TITULACIONES Ingeniería Industrial (GITI/GITI+ADE) Ingeniería de Telecomunicación (GITT/GITT+ADE) CÁLCULO Curso TEMA 11: INTEGRAL DE LINEA. Objetivos: Introducir al alumno en el concepto de integral de un campo vectorial sobre una curva del plano o del espacio. Dotar a éste de las principales herramientas para el cálculo de dichas integrales. Introducir el concepto de circulación de un campo vectorial. Introducir el concepto de función potencial de campo conservativo así como la relación eistente entre ambos. Bibliografía básica: Los contenidos teóricos corresponden a los siguientes capítulos del libro Cálculo II: Teoría problemas de funciones de varias variables de A. García A. López G. Rodríguez S. Romero A. de la Villa: Capítulo 14. Contenidos: Integral de línea: definición propiedades. Epresiones de una integral de línea. Circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva. Función potencial de un campo vectorial. Conjunto simplemente coneo. Eistencia de función potencial. Campos conservativos. Caracterización de campos conservativos. Teorema de Green. HOJA 11A 1. Hallar d d en los casos siguientes: a) es el segmento rectilíneo de origen 00 etremo 11. b) es el arco de la parábola de origen 00 etremo 11. F e i e j.. Sea el campo vectorial ( ) b) En caso afirmativo hallar una función potencial.. Hallar el trabajo desarrollado por el campo de fuerzas F ( ) i j para mover una partícula de masa unidad a lo largo de la curva ( 1) Log( ) desde el punto 0 0 hasta el punto 1 1.

2 4. Dadas las funciones P ( ) Q ( ) se pide: a) Comprobar que en todo ecepto en el origen de coordenadas se verifica Q P. cost b) Calcular Pd Qd siendo 1 0 t 1 sen t cos c) Calcular Pd Qd siendo sen cost d) Calcular Pd Qd siendo 0 t sen t R cost e) Calcular Pd Qd siendo R 0 t R Rsen t 4cost f) Calcular Pd Qd siendo 4 0 t 4 sen t g) Calcular Pd Qd siendo 5 la circunferencia centrada en el punto radio Sea el campo vectorial F z e z e z e ze z. b) En caso afirmativo calcular una función potencial. 6. Sea el campo de fuerzas F z sen( ) i cos j 4z k. Se pide calcular el trabajo necesario para llevar una masa unidad a lo largo de la curva de ecuaciones paramétricas 5 t t ( t 1) Logt z t 5 para 1 t en 8 Log4 presencia del campo F. 7. Calcular el valor de la integral cos es la circunferencia de centro el punto 0 antihorario. 0 0 d 8 16 d donde radio recorrida en sentido

3 8. Calcular el valor de la integral e sen d e d donde es el arco de la curva de ecuaciones paramétricas cos sen para. HOJA 11B 1.- Calcular d d zdz a lo largo del arco de hélice de ecuaciones paramétricas 4cos 4sen z para 0. Sea el campo vectorial F sen cos cos. b) En caso afirmativo calcular una función potencial. 4. Hallar el trabajo desarrollado por el campo de fuerzas F( ) i 4 j para mover una partícula de masa unidad a lo largo de la curva t t 1 t t en el plano XY Se considera el campo vectorial F i j Se pide calcular el trabajo necesario para llevar una partícula de masa unidad desde el punto P 1 1 hasta el punto 5 acción del campo de fuerzas F. Q a lo largo de la curva 5 bajo la 5. Calcular d 4 4 paramétricas cos sen para 0. d siendo la circunferencia de ecuaciones 6. Sea el campo vectorial i j plano XY de ecuación F. Sea la curva cerrada en el 1 a orientada en sentido antihorario.

4 Se pide calcular el trabajo necesario para llevar una masa unidad a lo largo de la curva en presencia del campo F según los diversos valores del parámetro real a 0 a 1.. z z 7. Sea el campo vectorial F( z) z i z e j e k b) En caso afirmativo hallar una función potencial 8. Se considera el campo de fuerzas F i j z k. Hallar el trabajo del campo F para llevar una partícula de masa unidad desde el punto 5 1 al punto 1 0 a lo largo de la curva ( t) t 5 5t 1 sen t 0 t 1 por dos procedimientos distintos. 9. Sea el campo vectorial F z f sen i gcos j z k donde g son funciones derivables en todo. Se pide: a) Determinar unas funciones f siendo la curva de ecuaciones paramétricas: cos sen z b) Hallar utilizando las funciones f f g no nulas tales que F dl 0. g obtenidas en el apartado anterior el trabajo necesario para llevar una partícula de masa unidad a lo largo de la curva de ecuaciones paramétricas cos 4sen 6 z 1 0 bajo la acción del campo de fuerzas F.

5 Calcular la integral ) d sen( ) 16 1 donde 1 para cos( d siendo es la curva de ecuaciones paramétricas cos 7 sen 7 0 el arco de parábola 1 para Hallar el trabajo desarrollado por el campo de fuerzas F( ) e i j para mover una partícula de masa unidad a lo largo cost de la curva t 1 sen t. 1. Sea Q () una función continua con derivada primera continua en. Sabiendo que la integral d Q( ) d 1 donde es la semielipse de ecuaciones paramétricas cos 4sen para se pide hallar el valor de la integral d Q( d donde es el segmento rectilíneo de ecuaciones ) paramétricas 0 para 4 4. e d e d siendo el arco de la curva 1. Hallar desde el punto 00 hasta el punto 11. recorrido