1. Límites de sucesiones en R n

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1 1. Límites de sucesiones en R n Definición 1 (Límite de una sucesión). Dada {A k } k=1 = {a1 k,... an k } Rn decimos que el límite de A k cuando k tiende a infinito es L si: lím A k = L ε > 0, N N : A k L < ε, n N (1) k R n. Lema 1. Si existe cada uno de los límites en R, entonces existe el límite en lím a i k = l i, k = 1,..., n = lím A k = (l 1,..., l n ) (2) Si existe el límite en R n, entonces existen cada uno de los límites en R. lím A k = (l 1,..., l n ) = lím a i k = l i, i = 1,..., n (3) Definición 2 (Espacio completo). Un espacio donde toda sucesión de Cauchy es convergente es completo. R n es un espacio completo. 2. Topología de R n Definición 3 (Métrica en R n ). Una función d : R n R n R es una métrica en R n si cumple: 1. d(x, y) = 0 x = y 2. d(x, y) = d(y, x) 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Teorema 2 (Desigualdad de Cauchy-Swartz). Dados vectores x, y R n se tiene que x y y y (4) 1

2 Teorema 3 (Desiguldad triangular). Dados x, y R n se tiene que x y x y (5) x + y x + y (6) Definición 4 (Bola abierta). Llamamos bola abierta de radio r > 0 centrada en x 0 R a un conjunto de puntos de R n que de la forma B r (x 0 ) = {x R n : x x 0 < r} (7) Definición 5 (Conjunto abierto). Se dice que un conjunto A R n es un conjunto abierto si x A, r > 0 : B r (x) A. Teorema 4. La unión arbitraria de abiertos es un abierto. La intersección finita de abiertos es un abierto. Definición 6 (Puntos interiores). Å = Int(A) = {x A : r > 0, B r (x) A} (8) Se cumple que Å A, que Å es un abierto, y que A es abierto Å = A. Definición 7 (Conjunto cerrado). Un conjunto C R n es cerrado si su complementario R n \ C = C es un abierto. Teorema 5. La unión finita de cerrados es un cerrado. La intersección arbitraria de cerrados es un cerrado. Teorema 6. C R n es un cerrado si para toda sucesión contenida en C que tenga límite L se cumple que L C. 2

3 Definición 8 (Puntos de adherencia). Al conjunto de los puntos adherentes se les llama clausura o cierre de C y se denotan por C. C = {x R n : r > 0, B r (x) C } (9) Definición 9 (Puntos de acumulación). C = {x R n : r > 0, B r (x) \ {x} } (10) Todos los puntos de acumulación son puntos de adherencia pero no al revés. Definición 10 (Puntos aislados). Todos los puntos de acumulación que no son puntos de adherencia son puntos aislados: C \ C = {x R n : r > 0, B r (x) C = {x}} (11) Definición 11 (Puntos frontera). C = {x R n : r > 0, B r (x) C B r (x) C } (12) En un conjunto cerrado C C pero en un conjunto abierto A A. Definición 12 (Conjunto acotado). A R n es un conjunto acotado si M > 0 tal que x A, x < M, es decir A B M (0). Definición 13 (Conjunto compacto). Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado. 3

4 3. Límites y continuidad Definición 14 (Límite de una función). Sea A R n un conjunto abierto, x 0 A un punto de acumulación de A, la función f : A R y L R. lím = L ε > 0, δ > 0 : x A, x x 0 < δ = f (x) L < ε (13) x x 0 Proposición (Caracterización del límite por sucesiones). Con las hipótesis anteriores lím = L {x n } A \ {x 0 }, lím x n = x 0 = lím f (x n ) = L (14) x x 0 x n Teorema 7 (Unicidad del límite). El límite es único. Teorema 8 (Operaciones con límites). Los límites de dos variables se comportan como los límites en Cálculo 1. Observación (Acotación entorno al límite). Si existe el límite de f en un punto x 0, entonces f está acotada en un entorno de x 0. Teorema 9 (Límite de una función vectorial). Sea f : A R n R m tal que f (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,... x n ),..., f m (x 1,..., x n )): lím f (x) = L = (l 1,..., l m ) lím f i (x) = l i, i = 1,..., m (15) x x 0 x x0 Definición 15 (Continuidad de una función). f es continua en x 0 si f (x 0 ) = lím x x0 f (x). Teorema 10. Sea f : R n R m. La función f es continua Y R m abierto se cumple que f 1(Y ) R n también es un abierto, donde f 1 (Y ) es la antimagen de un subconjunto Y. Ocurre análogamente para los cerrados. 4

5 3.1. Procedimiento para el cálculo de límites Si queremos averiguar el límite de f (x, y) R cuando (x, y) (a, b): 1. Límites reiterados: hacemos límites cuando x a y y b. Si los dos existen y son distintos, entonces f no tiene límite. 2. Límite radial: despejamos y = b + λ(x a). Si existe y es distinto de los reiterados, entonces f no tiene límite. 3. Límite por coordenadas polares: tomamos x = a + r cosθ e y = b + r sinθ y comprobamos que lím r 0 f (a + r cosθ, b + r sinθ) L = 0 4. Diferencial, derivadas parciales y gradiente Definición 16 (Derivada parcial). Sea f : U R n R definimos la derivada parcial iésima de f (x 1,..., x n ): f f (x 1,..., x i + h,..., x n ) f (x 1,..., x n ) = lím x i h 0 h (16) Ejemplo 1 (Utilización de la definición de derivada parcial). Dada una función definida a trozos de la forma: { g(x, y) si (x, y) (x0, y 0 ) f (x, y) = k si (x, y) = (x 0, y 0 ) utilizamos las técnicas de derivación para el primer caso y la definción para el caso constante. Definición 17 (Matriz jacobiana). Sea f : U R n R m. Si existen todas las derivadas parciales a la matriz que forman se la llama matriz jacobiana y se escribe f 1 x 1... D f (x) =.... f n x 1... f 1 x n. f n x n (17) 5

6 Observación (Gradiente). Si m = 1, f : R n R, es decir f es una función escalar, a la matriz jacobiana la llamamos gradiente: ( ) f f f (x) =... (18) x 1 x n El vector f va en la dirección en la que f crece más rápidamente. Definición 18 (Condición de diferenciabilidad). Sea f : U R n R m tal que existen todas sus derivadas parciales. Decimos que f es diferenciable si f (x) f (x 0 ) D f (x 0 )(x x 0 ) lím = 0 (19) x x 0 x x 0 x n x 1 0 donde x x 0 = x n x (20) x n xo n Teorema 11 (Diferenciabilidad = continuidad). Si f : U R n R m es diferenciable en x 0 U R n, entonces f es continua en x 0. Ojo: es necesario que la función sea diferenciable, no vale con que existan las derivadas parciales. Teorema 12 (Derivadas parciales continuas = diferenciabilidad). Sea f : U R n R m. Si existen todas las derivadas parciales y son continuas en un punto x 0 U, entonces f (x) es diferenciable en x 0. Y por extensión f es continua en x 0. Definición 19. Decimos que f : U R n R m es de clase C 1 (U), es decir f C 1 (U), si existen todas las derivadas parciales y son continuas en U. Entonces si f C 1 (U) entonces f es diferenciable en U. Teorema 13. Las operaciones con funciones (producto por un escalar, suma, producto y cociente) hacen que las derivadas se comporten como en Cálculo 1. 6

7 Observación (Ecuación del plano tangente). Si la función viene dada como z = f (x, y), la ec. del plano π, tangente a f en el punto (x 0, y 0 ) es: π z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (y y 0) (21) Si la función viene dada como f (x, y, z) = c, entonces es más cómodo utilizar: donde z 0 = f (x 0, y 0 ). π < f (x 0, y 0, z 0 ),(x x 0, y y 0, z z 0 ) >= 0 (22) Definición 20 (Derivada direccional). Dado un vector u unitario se define la derivada direccional de f en la dirección del vector u en un punto x 0 R n : D u f (x 0 ) = d dt f (x 0 + t u) = lím t 0 f (x 0 + t u) f (x 0 ) t (23) Teorema 14 (Regla de la cadena). Sea f : R n R m y g : R m R p de tal manera que f es diferenciable en x 0 y g lo es en f (x 0 ). Entonces se cumple que: D(g f )(x 0 ) = D g(f (x 0 )) D f (x 0 ) (24) La matriz jacobiana resultante tiene n filas y p columnas. 5. Derivadas de orden superior. Maximos y mínimos Definición 21 (Matriz Hessiana). La matriz formada por las segundas derivadas parciales se conoce como matriz Hessiana: f x1 2 x 1 x n H f =..... (25) 2 f x n x f y 2 7

8 Teorema 15 (Teorema de Taylor de orden 2). Sea f : R n R una función de clase C 2. Entonces al rededor de un punto x 0 podemos decir que: f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (x 0 ) h h H f (x 0) h t + R 2 (x 0, h) (26) f (x) = f (x 0, y 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) (x x 0) H f (x 0 ) (x x 0 ) t + R 2 (x, x x 0 ) (27) sabiendo que R 2 ( x, h) lím = 0 (28) h 0 h 2 Teorema 16 (Teorema de Schwartz-Clairaut). En una función de clase C 2, las segundas derivadas mixtas son iguales. Definición 22 (Extremos condicionados). Sea f : U(abierto) R n R y sea x 0 U. Entonces diremos que x 0 es un mínimo local si ε > 0 : x B ε (x 0 ) U, f (x) f (x 0 ) un máximo local si ε > 0 : x B ε (x 0 ) U, f (x) f (x 0 ) un punto crítico si f (x0 ) = 0. Además si x 0 es un punto crítico y no es ni máximo ni mínimo, entonces diremos que x 0 es un punto de silla. Teorema 17 (extremo local = punto crítico). Sea f : U(abierto) R n R. Si x 0 U es un extremo local, entonces x 0 es un punto crítico, es decir f (x 0 ) = 0. No todos los puntos críticos son extremos locales, pueden ser puntos de silla. 8

9 Definición 23 (Forma cuadrática). Dada una matriz cuadrada A de dimensión n. Definimos la función g A : R n R llamada forma cuadrática como: a a 1n h 1 g A (h 1... h n ) = (h 1... h n ) (29) a n1... a nn Decimos que la forma cuadrática g A es: definida positiva si g(h) 0 h R n \ {0} y g(h) = 0 h = 0 definida negativa si g(h) 0 h R n y g(h) = 0 h = 0 h n Definición 24 (Hessiano). A la siguiente expresión se le llama hessiano: 1 2 hh f (x 0)h t = 1 2 n i, j=1 2 f x j x i (x 0 )h i h j (30) Teorema 18 (Criterio del hessiano). Si f es una función escalar del claso C 2 en un entorno un punto x 0 de su dominio, y se cumple que f (x 0 ) = 0 (x 0 es pto. crítico), entonces (identificamos H f (x 0 ) con su forma cuadrática): Si H f (x 0 ) es definida positiva, entonces x 0 es un mínimo local de f Si H f (x 0 ) es definida negativa, entonces x 0 es un máximo local de f Si H f (x 0 ) toma valores positivos y negativos, entonces x 0 es un punto de silla de f. Teorema 19 (Criterio de Sylvester). Para una matriz simétrica A de n n elementos a a 1k A a a k = n a M =..... k1... a kk a n1... a k = 1,2,..., n nn 9

10 si A k > 0, k, entonces g M es definida positiva si A 1 < 0, A 2 > 0, A 3 < 0,... (signos alternos), entonces g M es definida negativa si no se cumple nada de lo anterior entonces g M no es ni definida positiva ni negativa. Observación (Aplicación del criterio de Sylvester). Si consideramos la matriz hessiana de f en un punto x 0 en el que f (x 0 ) = 0 como la matriz M del teorema anterior se tiene que: si det(h f (x 0 )) = A n < 0, entonces x 0 es un punto de silla si A n = 0 no se puede utilizar el teorema y x 0 pasa a ser un punto crítico degenerado que puede ser mínimo, máximo o punto de silla. Teorema 20 (Criterio de la derivada segunda). Un punto (x 0, y 0 ) perteneciente al dominio (en R 2 ) de una función de clase C 3 es un mínimo local escricto si se cumple: 1. f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) (es pto crítico) 2 f 2. (x x 2 0, y 0 ) > 0 (el primer elemento de la matriz hessiana es positivo) ( )( ) ( 3. D = 2 f 2 f f 2 x 2 y x y) > 0 en 2 (x0, y 0 ), (si el determinante de la matriz hessiana también es positivo) Definición 25 (Extremos globales o absolutos). Sea f : D R n R (D no necesariamente abierto), x 0 D. Diremos que x 0 es un máximo absoluto de f si f (x 0 ) f (x), x D un mínimo absoluto de f si f ( x 0 ) f (x), x D Teorema 21 (de Bolzano-Weierstrass). Sea C un conjunto acotado con infinitos elementos, entonces queda asegurado que existe un punto x R n que es un punto de acumulación de C, es decir x C. [En cualquier sucesión acotada siempre existe una subsucesión convergente] 10

11 Teorema 22 (Existencia de extremos absolutos). Sea f : C(compacto) R n R continuea, entonces existen x 0, x 1 C tal que f alcanza su valor máximo en x 0 y su valor mínimo en x 1. Teorema 23 (Criterio para obtener extremos absolutos). Sea f : C(compacto) R n R: 1. Hallamos los ptos. críticos en el interior de C: x C : f (x) = 0 2. Hallamos los ptos. críticos en la frontera de C: x C, f (x) = Hallamos los ptos. donde la función no es suave 4. Evaluamos f en los ptos obtenidos para decidir cuáles son los extremos. Teorema 24 (Teorema del multiplicador de Lagrange). Sean f, g : U R n R de clase C (según convenga) y sea S = {x R n : g(x) = c} (conjunto de nivel c). Supongamos que f (x 0 ) = 0 para algún x 0 S, entonces si f S (f restringida a S) tiene un extremo en x 0, se cumple que f (x 0 ) = λ g(x0 ), λ R. Observación. Si hay varias restricciónes S = {x R n g 1 (x) = c 1 g 2 (x) = c 2 g n (x) = c n }, entonces f S ha decumplir que f (x 0 ) = λ 1 g1 (x)+λ 2 g2 (x)+ + gn (x) 6. Funciones con valores vectoriales en R n Definición 26 (Curva parametrizada). Llamamos curva parametrizada en R n a una función continua tal que c : I R R n c(t) = (x 1 (t),..., x n (t)). 11

12 Definición 27 (Velocidad, aceleración y recta tangente a una curva parametrizada). Dada una curva c : I R R n entonces: 1. si c C 1, su velocidad es el vector v = c (t) que es tangente a la curva c(t) 2. si c C 2, su aceleración es el vector a = c (t) 3. la recta tangente a la trayectoria c(t) en un punto c(t 0 ) es s(t) = c(t 0 ) + tc (t 0 ) Definición 28 (Campo vectorial). Llamamos campo vectorial en R m a una aplicación F : R m R m que asigna a cada punto un vector. Definición 29 (Campo vectorial gradiente). Definición 30 (Lineas de flujo). Llamamos lineas de flujo de un campo vectorial F : R n R n a las curvas c : I R R n diferenciables tal que c (t) = F(c(t)). Definición 31 (Superficie parametrizada). Una parametrización de una superficie es una funcion Φ : D R 2 tor 3, donde D es algún dominio de R 2. La superficie S correspondiente a la función Φ es su imagen S = Φ(D). Podemos escribir: Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (31) 12

13 Definición 32 (Superficie parametrizada diferenciable). Una superficie parametrizada por una función Φ es diferenciable si la aplicación Φ también lo es. Utilizamos la notación: de manera que T u = dφ du (u 0, v 0 ) Tv = dφ dv (u 0, v 0 ) (32) N(u 0, v 0 ) = Tu Tv (33) y así el plano tangente a la superficie en el punto Φ(u 0, v 0 ) como: [(x, y, z) Φ(u 0, v 0 )] N = 0 (34) Definición 33 (Superficie regular o suave). Diremos que una superficie es regular o suave si N no se anula en todo R El operador diferencial vectorial nabla Definición 34 (Operador nabla). = ( d dx, d,...) (35) d y Definición 35 (Divergencia). Dado un campo vectorial F : R n R n llamamos divergencia del campo F a F = div(f). 13

14 Definición 36 (Rotacional). Análogamente, llamamos rotacional del campo F a i j k d d d F = rot(f) = (36) dx d y dz F 1 F 2 F 3 Si tenemos un campo vectorial en R 2 podemos trabajar con él en R 3 considerando la tercera componente nula. Teorema 25. Dado un campo vectorial F de clase C 2, la divergencia del rotacional es nula: ( F) = div(rot(f)) = 0 (37) Teorema 26. Dada una función escalar f de clase C 2, el rotacional del gradiente es nulo: rot( f ) = 0 (38) Definición 37 (Operador de Laplace). El operador de Laplace de un campo escalar f : R n R se define como la divergencia del gradiente: f = f = div( f ) = 2 f (39) Lista de definiciones 1. Definición (Límite de una sucesión) Definición (Espacio completo) Definición (Métrica en R n ) Definición (Bola abierta) Definición (Conjunto abierto)

15 6. Definición (Puntos interiores) Definición (Conjunto cerrado) Definición (Puntos de adherencia) Definición (Puntos de acumulación) Definición (Puntos aislados) Definición (Puntos frontera) Definición (Conjunto acotado) Definición (Conjunto compacto) Definición (Límite de una función) Definición (Continuidad de una función) Definición (Derivada parcial) Definición (Matriz jacobiana) Definición (Condición de diferenciabilidad) Definición (Derivada direccional) Definición (Matriz Hessiana) Definición (Extremos condicionados) Definición (Forma cuadrática) Definición (Hessiano) Definición (Extremos globales o absolutos) Definición (Curva parametrizada)

16 27. Definición (Velocidad, aceleración y recta tangente a una curva parametrizada) Definición (Campo vectorial) Definición (Campo vectorial gradiente) Definición (Lineas de flujo) Definición (Superficie parametrizada) Definición (Superficie parametrizada diferenciable) Definición (Operador nabla) Definición (Divergencia) Definición (Rotacional) Definición (Operador de Laplace) Lista de teoremas 2. Teorema (Desigualdad de Cauchy-Swartz) Teorema (Desiguldad triangular) Teorema (Unicidad del límite) Teorema (Operaciones con límites) Teorema (Límite de una función vectorial) Teorema (Diferenciabilidad = continuidad) Teorema (Derivadas parciales continuas = diferenciabilidad) Teorema (Regla de la cadena)

17 15. Teorema (Teorema de Taylor de orden 2) Teorema (Teorema de Schwartz-Clairaut) Teorema (extremo local = punto crítico) Teorema (Criterio del hessiano) Teorema (Criterio de Sylvester) Teorema (Criterio de la derivada segunda) Teorema (de Bolzano-Weierstrass) Teorema (Existencia de extremos absolutos) Teorema (Criterio para obtener extremos absolutos) Teorema (Teorema del multiplicador de Lagrange)