Tema 4 Diferenciación de funciones de una y varias

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1 Tema 4 Diferenciación de funciones de una y varias variables. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Definición.: Función derivable Sea f : R R definida en un entorno de a R, se dice que f es derivable en a si existe y es finito) f fa + h) f lím o f fx) f lím x a x a Sea I R un intervalo), se dice que f es derivable en I si lo es en todo punto de I. Ejemplo.2 Comprobar que fx) 2x 2 3x + es derivable en el punto x 2 y calcular f 2). f f2 + h) f2) 22 + h) h) + 3 2h 2 + 5h 2) lím lím lím h2h + 5) lím lím 2h f 2) 5 h 0 Observación. Interpretación geométrica de la derivada: Sea f : R R, la derivada de f en el punto x a es la pendiente de la recta tangente a la curva y fx) en dicho punto. Por tanto, la ecuación de esta recta tangente es: y f x a) + f Teorema.3 Sea f : R R definida en un entorno de a R, si f es derivable en a entonces f es continua en a. El resultado recíproco no es cierto, es decir, que la continuidad no implica derivabilidad. Ejemplo.4 Sabemos que la función fx) x es continua en x 0, pero vamos a comprobar que no tiene derivada en este punto. h f f0 + h) f0) h lím 0) lím lím h 0 h h, lím h 0 + h como vemos, los límites laterales no son iguales por lo que no existe el límite, por consiguiente, tampoco la derivada.

2 2 Definición.5: Derivadas laterales Sea f : R R definida en un entorno de a R: ) Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe f a fa + h) f ) lím o f a fx) f ) lím h 0 h x a x a 2) Se dice que f es derivable por la derecha en a si existe f a + ) lím h 0 + fa + h) f h o f a + ) lím x a + fx) f x a Observación: fx) x es derivable por ambos lados en x 0, f 0 ) y f 0 + ) ver ejemplo ) Proposición.6 Sea f : R R definida en un entorno de a R, f es derivable en a si y sólo si existen las dos derivadas laterales y estas son iguales, f a ) f a + ). Definición.7: Función derivada y derivadas sucesivas Sea f : I R R una función derivable en I, se define la función derivada de f, o simplemente derivada de f, como aquella función que a cada punto a I le hace corresponder el punto f. f : I R a f, f x) Si a su vez, la función f : I R es derivable, llamaremos derivada segunda de f a la derivada de su derivada, f x) f ) x). Así podemos definir la derivada n-ésima de f como la derivada de la n )-ésima derivada de f, f n) x) f n ) ) x). Ejemplo.8 Sea fx) x 2 +, calcular f x). f fx + h) fx) x + h) 2 + x 2 + ) h 2 + 2xh x) lím lím lím hh + 2x) lím lím h + 2x 2x f x) 2x. h 0 Definición.9: Función derivada y clase de una función Sea f : I R R se dice que f es de clase C n en I, f C n I), si es n-veces derivable en I y su derivada n-ésima es continua en I. f es de clase C I), si admite derivada de cualquier orden.

3 3 2. REGLAS DE DERIVACIÓN ) k f) x) k f x) k R 2) f + g) x) f x) + g x) 3) f ) g) x) f x) gx) + fx) g x) f 4) x) f x) gx) fx) g x) g gx) 2 5) Regla de la cadena: f g) x) [fgx))] f gx)) g x) 6) Derivadas de las funciones elementales: fx) f x) - fx) f x) k 0 - x r rx r e x e x - ln x x a x a x ln a - log b x x ln b sen x cos x - arc sen x x 2 cos x sen x - arc cos x x 2 tg x - arc tg x cos 2 x Sh x Ch x - argsh x +x 2 x 2 + Ch x Sh x - argch x x 2 Th x Ch 2 x 7) Derivada de la función inversa: f ) x) - argth x x 2 f f x)) arc sen x. fx) sen x f x) arc sen x f x) cos x f f x)) cosarc sen x) sen 2 arc sen x) x 2 arc sen x) f f x)) x 2 Vamos a obtener la derivada del 8) Derivación logarítmica: Para calcular la derivada de y fx) gx) cogemos logaritmos a ambos lados de la igualdad ln y ln fx) gx)) ln y gx) lnfx)) ahora derivamos ambas miembros de la igualdad y y y y g x) lnfx)) + gx) f x) fx) y y g x) lnfx)) + gx) f ) x) fx) y fx) gx) g x) lnfx)) + gx) f ) x) fx) Calcular la derivada de y sen x) cos x Cogiendo logaritmos ln y cos x lnsen x), derivando x sen x lnsen x) + cos xsen cos x y y sen x lnsen x) + sen x) y sen x) cos x sen x lnsen x) + sen x) sen x) +cos x lnsen x))

4 4 3. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3.. Derivadas parciales. Sea f : R n R una función real de varias variables reales. Consideremos la base canónica {e,..., e n } del espacio vectorial R n, se define la i-ésima derivada parcial de f en a R n como: fa + he i ) f D i f lím Esta derivada también se suele expresar como, D xi f o f xi. Si a a,..., a n ) fa,..., a i + h,..., a n ) fa,..., a n ) a,..., a n ) lím Observar que lo que estamos haciendo para calcular la i-ésima derivada parcial, es fijar todas las variables menos la i-ésima, y hacer una derivada normal respecto a esta coordenada. Sea, pues, ϕ : R n R la función que se obtiene de f fijando todas las variables menos la i-ésima, ϕx i ) fa,..., a i, x i, a i+,..., a n ), entonces Ejemplo 3. ϕa i + h) ϕa i ) lím ϕ a i ) Calcular las derivadas parciales de la función fx, y) senxy + y 2 ). x x, y) y cosxy + y2 ) y x, y) x + 2y) cosxy + y2 ) Definición 3.2 Sea f : R n R m, a R n, tal que f f,..., f m ), f i : R n R. Se define la i-ésima derivada parcial de f en a como:,..., ) m 3.2. Diferencial de una función. Sea f : R n R m, a R n, f f,..., f m ), f i : R n R. Se dice que f es diferenciable en a si existen todas las derivadas parciales i i, j y estas son continuas x j en a. Se define la diferencial de f en a como la aplicación lineal df : R n R m cuya matriz, respecto a las bases canónicas, es x df 2 x m m x 2... m m n A esta matriz se le denomina matriz jacobiana de f en a y la vamos a denotar por Jf o, cometiendo un abuso de notación, df. Si n m esta matriz es cuadrada, por lo que podemos calcular su

5 determinante, a éste le llamaremos jacobiano de f en a y lo denotaremos por Jf, detjf) o f,..., f n ) x,..., x n ). Ejemplo 3.3 Sea fx, y, z) x 2 + y cos z, y 2 + 2x sen z), calcular la matriz jacobiana de fen el punto,, 0). f f, f 2 ), f x, y, z) x 2 + y cos z, f 2 x, y, z) y 2 + 2x sen z x 2x y cos z z 2 x 2 sen z 2 y 2y 2 ) z 2 0 Jf,, 0) y sen z Jfx, y, z) 2x cos z 2x cos z ) y sen z 2 sen z 2y 2x cos z Derivadas direccionales y gradiente. Sea f : R n R m, f f,..., f m ), una función diferenciable en a R n, si v R n se define la derivada de f en el punto a, en la dirección de v como: D v f dfv) Jf v Si consideramos como dirección a v e i, el i-ésimo) vector de la base canónica, se comprueba fácilmente que D ei f,..., m ) Si f : R n R df, en este caso también se suele utilizar la notación: df dx + x 2 dx dx n Si v v,..., v n ) D v f dfv) v + + v n ),..., v,..., v n ) Al vector ) f,..., se le denomina gradiente de f en a. Utilizando esta última notación podemos escribir que D v f f v dfv) Aplicaciones geométricas de las derivadas parciales Vector tangente a una curva. Sea α : I R R n una curva diferenciable, αt) x t),..., x n t)), α t) dα dt t) x t),..., x nt)). Sea t 0 I, entonces el vector tangente a la curva α en el punto αt 0 ) es α t 0 ). Por tanto la recta tangente a la curva α en αt 0 ) es r t0 αt 0 ) + λα t 0 ) ecuación vectorial) Plano tangente a una superficie. ) Sea ϕ : A R 2 R una función diferenciable en todo punto de A. Sea S R 3 la superficie dada por: S {x, y, z) R 3 : z ϕx, y), x, y) A} Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto x 0, y 0, z 0 ) es: z 0 ϕx 0, y 0)) z z 0 ϕ x x 0, y 0 )x x 0 ) + ϕ y x 0, y 0 )y y 0 )

6 6 2) Sea f : A R 3 R una función diferenciable en todo punto de A y tal que f 0 a A. Sea S R 3 la superficie dada, en forma implícita, por: S {x, y, z) R 3 : fx, y, z) k} k R) Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto x 0, y 0, z 0 ) es: x x 0, y 0, z 0 )x x 0 ) + y x 0, y 0, z 0 )y y 0 ) + z x 0, y 0, z 0 )z z 0 ) 0 equivalente a fx 0, y 0, z 0 ) x 0, y 0, z 0 ) 0. Observar que si una superficie S R 3 viene definida implícitamente por la función f : R 3 R fx, y, z) k), entonces fx 0, y 0, z 0 ) es el vector normal al plano tangente a S en el punto x 0, y 0, z 0 ) La diferencial de una composición. Regla de la cadena. Teorema 3.4 Sean f : R n R m y g : R m R p tales que tenga su sentido su composición, es decir, que Imf Domg. Entonces si f es diferenciable en a R n y g es diferenciable en f, la función g f es diferenciable en a y se tiene que Así, la matriz jacobiana será: dg f) dgf) df Jg f) Jgf) Jf Corolario 3.5 Sea f : R n R m con funciones coordenadas f f,..., f m ) y tomamos como variables x,..., x n ) fx,..., x n )). Sea g : R m R tomando como variables u,..., u m ) gu,..., u m )). Sea F g f, esto es, F x,..., x n ) gf x,..., x n ),..., f m x,..., x n )) entonces las derivadas parciales de F vienen dadas por: F g + g g m i,..., n u u 2 u m Por tanto si tenemos una función fu,..., u m ) donde las variables u i dependen de x,..., x m ), esto es, u i u i x,..., x n ), entonces: u + u u m i,..., n u u 2 u m

7 7 Ejemplo 3.6 Sea f : R 2 R, fx, y). Si hacemos el cambio a coordenadas polares r y θ. r x x r + y y r θ x x θ + y y θ { x r cos θ y r sen θ, calcular x r cos θ r y r sen θ cos θ + sen θ x y x θ θ r sen θ y θ r cos θ r sen θ + r cos θ x y Ejemplo 3.7 Sea f : R R y H : R 2 R donde Hx, y) x F, sea F f H, calcular y x y F y. F x, y) f Hx, y) fhx, y)) f x y ) F x f x y ) y y F y f x y ) x y 2 x y 2 f x y ) 3.6. Derivadas parciales de orden superior. Sea f : R n R, si f tiene derivadas parciales continuas, estos es, si existen las funciones D i f : R n R y son continuas para i,..., n, podemos plantearnos, para cada una de ellas, el cálculo de sus derivadas parciales, obteniéndose así las derivadas parciales segundas de f en un punto a R n. Se representa por Dij 2 f : Rn R a Dij 2 f y significa que primero derivamos respecto a la variable x i, y después respecto a la x j, es decir, Dij 2 f D jd i f), también se representa como. x j x j x j ) Si iteramos este proceso, podemos obtener derivadas parciales sucesivas de la función f. Así, por ejemplo es la derivada de respecto de x k. x j x k x j x j x k x k x k ) )) x k x j Cuando una función f tenga las derivadas k-ésimas parciales continuas, diremos que f es de clase C k.

8 8 Teorema 3.8: Schwarz Sea f : R n R tal que D i f y D j f son continuas, si Dij 2 f existe y es continua en a Rn, entonces Dji 2 f existe y además: Dijf 2 Djif 2 2 ) f 2 f x j x j Observación: Este teorema nos viene a decir, que si existe una derivada parcial sucesiva del orden que sea, no importa el orden en el que derivemos. El teorema de Schwarz es válido para derivadas sucesivas de cualquier orden, así por ejemplo: Ejemplo 3.9 x j x k x k x j x k x j Calcular todas las derivadas parciales sucesivas hasta de segundo orden de la función fx, y) x + 2y) lnx 2 + 2xy). x 2x + y) lnx2 + 2xy) + x x 2 2x3 4y 2 x 3 + 2x 2 y x y 4x + 4y x 2 + 2xy y 2 lnx2 + 2xy) + 2 x 2 4 x + 2y Matriz Hessiana. Sea f : R n R y a R n, llamaremos matriz Hessiana de f en el punto a a la matriz de las derivadas parciales de segundo orden: Hf x 2 x 2. x 2... x 2 2. x 2... x x 2 n n n Hf 2 ) f M n R) x j i,j Si f es de clase C 2, entonces en virtud del teorema de Schwarz, podemos afirmar que la matriz Hessiana es simétrica. Por tanto, esta matriz nos define una aplicación bilineal simétrica, que es lo que se conoce como diferencial segunda de f. D 2 f : R n R n R u, v) D 2 fu, v) u T Hf v D 2 f : d 2 f : d2 f dx 2 : f Si u u,..., u n ) y v v,..., v n ), entonces d 2 fu, v) n i,j Toda forma bilineal simétrica define una forma cuadrática x j u i v j

9 9 d 2 fu) d 2 fu, u) n i,j x j u i u j La forma cuadrática d 2 fu) es lo que más utilizaremos, por abuso de lenguaje, como diferencial segunda. Esta forma cuadrática juega un papel importante en el cálculo de los extremos relativos. Ejemplos 3.0 ) Si f : R 2 R, fx, y), y u u, u 2 ), entonces: d 2 fu) 2 f x 2 u f x y u u f y 2 u2 2 2) Si f : R 3 R, fx, y, z), y u u, u 2, u 3 ), entonces: d 2 fu) 2 f x 2 u f x y u u f x z u u f y 2 u f y z u 2u f z 2 u2 3