APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO CÁTEDRAS: CÁLCULO II, MATEMÁTICAS III 2016.

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1 APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO CÁTEDRAS: CÁLCULO II, MATEMÁTICAS III PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA

2 APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO CÁTEDRAS: CÁLCULO II, MATEMÁTICAS III PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA Licenciado en Matemáticas, Magíster en Matemáticas, Magíster en Didáctica de la Matemática. En la actualidad, está doctorándose en Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile. Actualmente es profesor de diferentes cursos de Matemáticas en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Bernardo O Higgins. Además, se desempeña como Coordinador de Cálculo dentro del. 2

3 INDICE Presentación Integración Técnicas de integración Cálculo de áreas Ejercicios propuestos Funciones de varias variables Modelación de funciones Derivadas parciales Ejercicios propuestos Funciones con valores vectoriales Máximos y mínimos Criterio del Hessiano Multiplicadores de Lagrange Ejercicios propuestos Conclusiones Bibliografía de apoyo... 60

4 Presentación Estos apuntes fueron diseñados con el fin de complementar el aprendizaje matemático junto con lo visto en clases. Se presentan diversos ejercicios resueltos y propuestos, principalmente para carreras de Ingeniería. 4

5 1. Integración 1.1 Técnicas de integración 1. (Tasa de desempleo) Durante una crisis económica reciente, el porcentaje P de desempleados cumple con 0,4e 0,1t P (t) = (1 + e 0,1t ) 2 donde t es el tiempo en meses. Dado que en t = 0 había 4% de desempleados, qué porcentaje estaba desempleado: 10 meses después? 20 meses después? Solución: Tenemos P(t) = 0,4e 0,1t (1 + e 0,1t ) 2 dt = 0,4 e 0,1t (1 + e 0,1t ) 2 dt Sea u = 0,1t, luego du = 0,1dt 10du = dt. De esta forma, tenemos que

6 e 0,1t 0,4 (1 + e 0,1t ) 2 dt = 4 e u (1 + e u ) 2 du Ahora, para esta segunda integral, sea Así, y = 1 + e u e u du = dy e u 4 (1 + e u ) 2 du = 4 1 (y) 2 dy = 4 y = e u = 4 + k 1 + e 0,1t Por lo tanto P(t) = 4 + k 1 + e 0,1t Como P(0) = 4, se tiene que 4 = 4 + k 1 + e 0,1 0 4 = k 2 = k Por lo tanto P(t) = e 0,1t + 2 Por lo que P(10) = e % y P(20) = 1+e ,5% 6

7 2. La función de Utilidad U(x) de una empresa, cumple con U (x) = 5 0,002x Y la empresa obtiene una utilidad de US $310 al vender 100 unidades (x indica el número de unidades vendidas) Cuál es la Función de utilidad de la empresa? Solución: Integrando, tenemos que U(x) = (5 0,002x) dx = 5x 0,002 x2 2 + k = 5x 0,001x 2 + k Para determinar k, notemos que la empresa obtiene una utilidad de US $310 al vender 100 unidades, luego 310 = ,001(100) 2 + k 470 = 0, k 470 = 0, k

8 470 = 10 + k 460 = k De esta manera, la función de utilidad es U(x) = 5x 0,001x El ingreso I (en miles de dólares) de una empresa está dado por I (x) = 15 0,01x Donde x representa la cantidad de unidades vendidas a) Determine la función de ingreso, sabiendo que al vender 50 unidades, se obtiene un ingreso de 200 dólares. b) Encuentre el ingreso obtenido al vender 1000 unidades. Solución: a) Tenemos que I(x) = (15 0,01x) dx = 15x 0,01 x2 2 = 15x 0,005x 2 + k, k R + k, k R 8

9 Como al vender 50 unidades, se obtiene un ingreso de 200 dólares (0,2 miles de dólares), tenemos que 0,2 = ,005 (50) 2 + k 0, ,5 = k 737,3 = k Por lo que la función de ingreso será I(x) = 15x 0,005x 2 737,3 b) I(1000) = ,3 = 9262,7 miles de dólares. Es decir, dólares. 4. Resuelva la siguiente integral ( x x 2 x + 5 ) dx Solución: Tenemos que x ( x ) dx = x + 5 dx 2 x + 5 I x x + 5 dx I 2 Calcularemos cada integral por separado. Para la primera integral, sea

10 u = x + 5 du = dx I 1 = x + 5 dx = u du = 2 3 u3 2 = 2 3 (x + 5)3 2 Para la segunda integral, sea u = x + 5 du = dx I 2 = x u 5 dx = x + 5 u du = u u du 5 u du = u 3 2du 5 u du = 2 5 u u3 2 = 2 5 (x + 5) (x + 5)3 2 Así, T(x) = I I 2 = = 2 3 (x + 5) [2 5 (x + 5) (x + 5)3 2] = 2 3 (x + 5) (x + 5) (x + 5)3 2 + k, k R 10

11 5. Encuentre el valor de la siguiente integral impropia 1 (2x + 3) 4 dx 1 Solución: En primer lugar, realizando la sustitución Tenemos que u = 2x + 3 du = 2dx du 2 = dx. Por lo que 1 (2x + 3) 4 dx = u 4 du = 1 u = 1 6u 3 = 1 6(2x + 3) 3 1 (2x + 3) 4 dx = lim 1 n n 1 1 (2x + 3) 4 dx = lim n 1 n 6(2x + 3) 3 1 = lim n [ 1 6(2n + 3) ] = 1 6

12 6. Encuentre el valor de la siguiente integral impropia Solución: Sea x 2 (x 3 + 2) 2 dx 1 De esta forma, Por lo tanto, u = x du = 3x 2 dx du 3 = x2 dx x 2 (x 3 + 2) 2 dx = = 1 3u = 1 3(x 3 + 2) du 3 u 2 = 1 3 u 2 du x 2 (x 3 + 2) 2 dx = lim 1 n = lim 1 n n ( x 2 (x 3 + 2) 2 dx = lim n [ 1 3(n 3 + 2) ) = n 3(x 3 + 2) ] 1 7. Encuentre el valor de la siguiente integral impropia xe 2x dx 0 12

13 Solución: Sea u = x du = dx dv = e 2x dx v = 1 2 e 2x (Usando sustitución) Por lo tanto, utilizando integración por partes, tenemos xe 2x dx = x 1 2 e 2x 1 2 e 2x dx = 1 2 xe 2x e 2x dx = 1 2 xe 2x ( 1 2 e 2x ) = 1 2 xe 2x 1 4 e 2x De esta forma, xe 2x dx = lim xe 2x dx n 0 0 n = lim [ 1 n 2 xe 2x 1 n 4 e 2x ]0 = lim n [ 1 2 ne 2n 1 4 e 2n ] = 1 4

14 8. Resuelva la siguiente integral impropia xe x2 dx 0 Solución: Sea u = x 2 du = xdx. De esta forma, 2 xe x2 dx = 1 2 eu du = 1 2 eu = 1 2 e x2 Por lo que xe x2 0 dx = lim n [ 1 2 e n ] = En un experimento sicológico, se encontró que la cantidad de alumnos que requieren más de t minutos para realizar una tarea, viene dado por C(t) = 0,07e 0,07x dx t a. Hallar la cantidad de participantes que requieren más de 5 minutos para terminar la tarea b. Qué cantidad de alumnos requiere entre 10 y 15 minutos para terminar la tarea? Solución: a. C(5) = 0,07e 0,07x dx 5 Sea u = 0,07x du = 0.07dx. Por lo tanto, 14

15 0,07e 0,07x dx = e u du = e u = e 0,07x Luego, 0,07e 0,07x dx = lim 0,07e 0,07x dx n 5 5 n = lim n [ e 0,07x ] 5 n = lim n ( e 0,07n + e 0,07 5 ) = e 0,07 5 = e 0,35 ~0,704 b. Realizar la resta C(10) C(15) 10. Encuentre la siguiente integral x cos x dx Solución: Sea u = x du = dx dv = cos x dx v = sin x Haciendo uso de integración por partes, tenemos que x cos x dx = x sin x sin x dx = x sin x + cos x + k, k R

16 11. Encuentre la siguiente integral x x + 1dx Solución: Sea u = x + 1 du = dx. De esta forma, x x + 1dx = (u 1) u du = u u du u du u 3 2 du u = u u3 2 = 2 5 u u3 2 Por lo tanto, x x + 1dx = 2 5 (x + 1) (x + 1)3 2 + k, k R 12. Encuentre la siguiente integral 2x + 1 x 2 + x 6 dx Solución: Sea u = x 2 + x 6 du = (2x + 1)dx. De esta forma, 2x + 1 du x 2 dx = + x 6 u = ln u = ln x2 + x 6 + k, k R 16

17 13. Encuentre la siguiente integral x2 + 1 x 1 dx Solución: Realizando división sintética, tenemos que x = (x 1)(x + 1) + 2 RESTO Por lo tanto, x2 + 1 x 1 (x 1)(x + 1) + 2 dx = dx = (x + 1)dx x 1 x 1 dx = x Encuentre las siguientes integrales a. x 2 e x dx + x + 2 ln x 1 + k, k R b. x 2 cos 3x dx Solución: Las dos integrales se resuelven aplicando el método de integración por partes, dos veces: a. Sea I = x 2 e x dx

18 u = x 2 du = 2xdx dv = e x dx v = e x Luego, aplicando integración por partes, tenemos I = x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx (I 1 ) (*) Tenemos que I 1 puede ser resuelta por medio de integración por partes: u = x du = dx dv = e x dx v = e x I 1 = xe x e x dx = xe x e x Reemplazando en (*), tenemos I = x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx = x 2 e x 2(xe x e x ) = x 2 e x 2xe x + 2e x + k, k R b. Sea I = x 2 cos 3x dx u = x 2 du = 2xdx 18

19 dv = cos 3x dx v = 1 sin 3x (Usando sustitución) 3 De esta forma, aplicando integración por partes, tenemos I = x 2 cos 3x dx = 1 3 x2 sin 3x 1 3 sin(3x)2xdx = 1 3 x2 sin 3x 2 3 xsin(3x)dx I 1 (*) Tenemos que I 1 puede ser resuelta por medio de integración por partes: u = x du = dx dv = sin(3x)dx v = 1 cos 3x 3 I 1 = 1 3 x cos 3x cos 3x dx = 1 3 x cos 3x + 1 sin 3x 9 Reemplazando en (*), tenemos I = 1 3 x2 sin 3x 2 3 ( 1 3 x cos 3x + 1 sin 3x) 9 = 1 3 x2 sin 3x x cos 3x 2 sin 3x + k, k R 27

20 1.2 Cálculo de áreas 1. Determine el área de la región encerrada entre los siguientes pares de curvas. Grafique ambas curvas. y = x 2 ; y = 2 x 2 Solución: La gráfica que representa el problema es el siguiente: Los puntos de corte se encuentran al resolver la ecuación 2 x 2 = x 2 20

21 + 1 = x El área pedida se obtiene restando: 1 1 A = 2 x 2 dx x 2 dx 1 1 = 8 3 u2 2. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8 8 A = (10 x)dx 2 = [10x x2 8 2 ] = 30u 2 2

22 3. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 x 2 y el eje OX. Solución: En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración. 0 = 9 x 2 + x = 3 Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3. 3 A = (9 x 2 )dx = 2 (9 x 2 )dx = 2 [9x x3 3 3 ] = 36u Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0). Solución: 22

23 Ecuación de la recta que pasa por AB. La pendiente se calcula mediante la fórmula: m = = 1 De esta forma, la ecuación de la recta es y y 1 = m(x x 1 ) y 0 = x 3 y = x 3

24 Análogamente, la ecuación de la recta que pasa por BC: es y = 3 x A = (x 3)dx ( 3 x + 12) dx 2 6 [ x x] 3 + [ x2 + 12x] = 6 = (18 18) ( 9 9) + ( ) ( ) 2 = 15 2 u2 24

25 5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12. Solución: 12 A = 36 dx = [36 ln x] 12 x 6 = 36 ln ln 6 6 = 36 ln(2 6) 36 ln 6 = 36 ln ln 6 36 ln 6 = 36 ln 2 u 2

26 6. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 x 2 ) y la recta y = 1. Solución: Es necesario trasladar la gráfica de esta función, para poder calcular su área por medio de integración. Si f(x) = 2(1 x 2 ), entonces f(x) + 1 será trasladada una unidad verticalmente hacia arriba. El área no va a cambiar, puesto que solamente fue trasladada. Buscando los puntos de intersección con el eje X, tenemos que f(x) + 1 = 0 2(1 x 2 ) 1 = 0 + 2(1 x 2 ) = 1 x = A = (2(1 x 2 ) + 1) dx = 2 6u

27 7. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados. Solución: Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2. ln x = 2 e 2 = x El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x. El área de rectángulo es base por altura: El área bajo la curva y = ln x es A 1 = 2e 2 u 2 e 2 e A 2 = ln x dx = [x ln x x] 2 1 = (e 2 + 1)u 2 1 Por lo tanto, el área pedida es A = A 1 A 2 = (e 2 1)u 2

28 8. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x y la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4). Solución: La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4) es y = 2x + 2 Para encontrar los puntos de intersección, igualamos x = 2x + 2 x = 0,2 Luego, el área pedida se calcula por medio de la integral 0 2 A = (2x + 2) dx (x 2 + 2) dx =

29 9. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x 2 + y 2 = 9. Solución: El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas. 9 x 2 dx Sea x = 3 sin t dx = 3 cos t dt. De esta forma, 9 x 2 dx = 9 (3 sin t) 2 3 cos t dt = 3 9(1 (sin t) 2 ) cos t dt = 9 (cos t) 2 dt = 9 [ t (sin 2t)2 ] Por lo que (9 [ t (sin 2 9 2t)2 ]) = 0 4 πu2 π De esta forma, el área total es πu2 = 9πu 2

30 1.3 Ejercicios propuestos 1. Encuentre g(x) si g (x) = x x 2 +1 y g(0) = 2 2. Encuentre las siguientes integrales a. x 2 x 3 + 4dx b. x2 x 3 +8 dx c. (x + 2) sin(x 2 + 4x 6)dx d. dx 3, a, b R a+bx e. x2 +1 x 1 dx (Realice división de polinomios) f. x+2 x 1 dx (Realice división de polinomios) g. x3 x 2 +9 dx (Realice división de polinomios) h. x 2 cos x dx 3. Integre, por medio del método de fracciones parciales 30

31 a. dx x 2 9 b. 2x2 +3 x 3 2x 2 +x dx c. 3x2 +3x+1 x 3 +2x 2 +2x+1 dx d. x 2 +6 dx (x 1) 2 (x 2) 2 e. x4 x 3 +2x 2 x+2 dx (x 1)(x 2 +2) 2 f. x dx (x 1)(x 2)(x 3) g. 6x2 +7x 1 x 3 +2x 2 x 2 dx 4. Integre, por medio de sustitución trigonométrica. a. dx x x 2 5 b. dx x 2 x Hallar el área de la figura limitada por: y = x 2, y = x, x = 0, x = 2 6. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x y la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4). 7. Encuentre el valor de la siguiente integral impropia

32 e 2x dx 0 2. Funciones de varias variables 2.1 Modelación de funciones 1. Considere la función f(x, y) = ln(x+y). Encuentre el valor de f(1,0), f(2, 1) y f(1,3) 2x 3 Solución: a. f(1,0) = 0 b. f(2, 1) = 0 c. f(1,3) = ln 4 1, (Costo de una lata) Una lata cilíndrica tiene radio r y altura h. Si el material con que se produce (considerando la lata cerrada) tiene un costo de $2 por unidad de área, exprese el costo de la lata, C, como una función de r y h. 32

33 Solución El área A, de un cilindro de radio r y altura h, se determina por medio de la fórmula A = 2πr(h + r) Por lo que el costo de la lata, está determinado por C = 2A, es decir, C = C(r, h) = 4πr(h + r) Por lo que el costo está en función de dos variables, a saber, r y h. 3. (Costo de un tanque de agua) Un tanque rectangular abierto debe construirse de modo que albergue 100 pies cúbicos de agua. Los costos del material son de $5 por pie cuadrado en la base y de $3 por pie cuadrado en las paredes verticales. Si C denota el costo total (en dólares), determine C como función de las dimensiones de la base. Solución: Denotemos por x, y, z el largo, ancho y alto de la caja rectangular, respectivamente. Las dimensiones de la base, serán x e y. Como la caja rectangular tiene 100 pies cúbicos de agua, tenemos que xyz = 100 De donde obtenemos que z = 100. Ahora bien, el costo por el material para hacer la base, xy es de $5xy. El área total de las paredes verticales es de 2xz + 2yz = 2x 100 xy y xy = 200 y x por lo que el costo de los materiales para las paredes verticales será de 3 ( 200 y x ) = 600 y x

34 De esta forma, el costo total (en dólares) para construir el tanque, será de C(x, y) = C = 5xy y x 2.2 Derivadas parciales 1. Encuentre donde f, f, 2 f x y x 2, 2 f y 2 f(x, y) = (x + y x ) (5x2 y x 2) Solución: Multiplicando término a término, tenemos que De esta forma, f(x, y) = 5x 3 y x + 5xy y2 x 3 f x = 15x2 + y 3y2 + 5y + x2 x 4 2 f 2y = 30x x2 x 3 12y2 x 5 f y = 1 2y + 5x x x 3 2 f y 2 = 2 x 3 34

35 Interpretación Geométrica En el caso de una función f: A R 2 R, si existe f (a, b), se tiene que f (a, b) corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva obtenida al x cortar la superficie z = f(x, y) por el plano y = b en el punto (a, b, f(a, b)) x Recta tangente a la curva obtenida al cortar la superficie z = f(x, y) por el plano y = b en el punto (a, b, f(a, b)) Análogamente, f (a, b) corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva que se y obtiene al cortar la superficie z = f(x, y) por el plano x = a en el punto (a, b, f(a, b)) Observación Nada en principio nos impide volver a derivar f f (a, b) y/o (a, b) con x y respecto a la variable x o y. En el caso en que sea posible, cuando queramos derivar una función con respecto a x y luego con respecto a y, denotaremos esto por 2 f x y (a, b). Análogamente en el orden inverso. Si queremos derivar dos veces con respecto a la misma variable, digamos la variable x, lo escribiremos por 2 f 2 (a, b). x

36 Ejemplo: Para la función f(x, y) = z + sin xy, tenemos que 2 f x y (x, y) = cos x y = 2 f (x, y) y x Definición Sea f: A R n R una función y sea x = (x 1,, x n ) A. Diremos que f es diferenciable en x sí y sólo sí lim h o donde f x i (x) = A i y h = (h 1, h n ) Ejemplo f(x + h) f(x) n i=1 A i h i = 0 h a. La función f(x, y, z) = x + y + z es diferenciable en todo (a, b, c) R 3. En efecto, tenemos que f x De esta forma, tenemos que lim (x,y,z) (0,0,0) (a, b, c) = f y f (a, b, c) = (a, b, c) = 1 z n f((a, b, c) + (x, y, z)) f(a, b, c) i=1 A i h i (x, y, z) = lim (x,y,z) (0,0,0) f((a + x, b + y, c + z)) f(a, b, c) (x + y + z) (x, y, z) 36

37 a + x + b + y + c + z a b c x y z = lim = 0 (x,y,z) (0,0,0) (x, y, z) b. La función xy x f(x, y) = {, + y2 si (x, y) (0,0) 0, si (x, y) = (0,0) No es diferenciable en (0,0). En efecto, tenemos que Por lo que f f (0,0) = x y (0,0) = 0 f((0,0) + (x, y)) f(0,0) 0 f((x, y)) 0 0 lim = lim = (x,y) (0,0) (x, y) (x,y) (0,0) (x, y) lim (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2 (x, y) = lim (x,y) (0,0) xy (x 2 + y 2 ) 3 2 y este último límite no existe (Ejercicio) Definición: Si f es diferenciable, a la sumatoria n i=1 A i h i = n i=1 (x)h x i de la definición i anterior, se le llama diferencial de f y lo denotaremos por df f Observación: df es una transformación lineal.

38 Ejemplo Si se define la función f(x, y, z) = xye z, el diferencial de f en un punto (x, y, z) arbitrario es df = f x (x, y, z)h 1 + f y (x, y, z)h 2 + f z (x, y, z)h 3 O en la notación clásica df = ye z h 1 + xe z h 2 + xye z h 3 df = ye z dx + xe z dy + xye z dz El diferencial es una función de variables (h 1, h 2, h 3 ) o en notación clásica, de variables (dx, dy, dz). Así, por ejemplo, tenemos que el diferencial en el punto (0,1,2) será la función df(h 1, h 2, h 3 ) = e 2 h 1 Definición En el caso en que f sea diferenciable en x R n, la matriz de tamaño 1 n definida por f (x) = [ f x 1 (x) Se llamará la derivada de f en x R n f x 2 (x). f x n (x)] Observación Note que la derivada no es otra cosa que la matriz asociada al diferencial de f Definición Sea f: A R n R una función tal que sus n derivadas parciales de primer orden existen en A. Entonces, la función Dada por f(x) = ( f x 1 (x),, f x n (x)) Se denomina gradiente de f. f: A R n R n 38

39 Propiedades Sean f, g: A R n R funciones tales que sus n derivadas parciales de primer orden existen en A y sea α R. Entonces i. (αf(x)) = α f(x) ii. iii. iv. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) (f(x)g(x)) = f(x) g(x) + g(x) f(x) ( f(x) g(x) f(x) f(x) g(x) )) =, siempre que g(x) 0. g(x) g(x) 2 Definición Sea f: A R m R una función y sea a A y n = (n 1,, n m ) un vector unitario en R m. Si existe el límite f f(a + hn) f(a) (a) = lim n h 0 h Entonces f (a) se llamará derivada direccional de f en a en la dirección del vector n. n Observación Note que si n {(1,0,,0); ; (0, 0,1,,0);.. ; (0,,0,1)} tendremos la definición de derivada parcial. Teorema Sea f: A R m R una función diferenciable en a A y sea n = (n 1,, n m ) un vector unitario en R m. Entonces, f (a) existe y además se cumple que n f (a) = f(a) n n Ejercicio: Encuentre la derivada direccional de la función f(x, y, z) = 2x + y + z en a = (1,1,1) en la dirección del vector (1,2,3) Solución Usando la definición, tenemos en primer lugar que n = (1,2,3) = 1 (1,2,3) esta forma 14 (1,2,3). De

40 f ((1,1,1) + h 1 (1,2,3)) f((1,1,1) f 14 (1,1,1) = lim n h 0 h h f (1 + = lim 14, 1 + 2h 14, 1 + 3h 14 ) 4 h 0 h 2h 2 + = lim h h 14 4 h 0 h 7h = lim 14 h 0 h = lim 7 h 0 14 = 7 14 Ahora, usando el teorema anterior, tenemos que f (1,1,1) = f(1,1,1) n n = (2,1,1) 1 14 (1,2,3) = = 7 14 Teorema Sea f: A R 2 R una función diferenciable en (a, b) A. Entonces, la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación dada por z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b) es z f(a, b) = f x f (a, b)(x a) + (a, b)(y b) y Ejemplo Considere la función f(x, y) = x+y. Hagamos a = 1 y b = 0. En este caso, 2 40

41 f(a, b) = f(1,0) = 1 2 Además, f (1,0) = 1 = f (1,0). De esta forma, la ecuación del plano tangente a la x 4 y superficie de ecuación z = x+y 2 en el punto (1,0, 1 2 ) será z 1 2 = 1 4 (x 1) y z 1 2 = 1 4 x y 1 4 = 1 4 x + 1 y z Ejercicios propuestos 1 = x y + 4z 1. Sea f(x, y) = (x y) 2 x 2, si (x, y) (0,0) + y2 { 1, si (x, y) (0,0) Calcule f x f f (0,0), (0,0) y (1,0) y x 2. Sea f(x, y) = x 2 y 2 x 2, si (x, y) (0,0) + y2 { 0, si (x, y) (0,0) Es f diferenciable en (0,0)?

42 3. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación z = x2 y 2 punto (1,0,0). 4. Encuentre la derivada y el diferencial de la función f(x, y) = x+y 3x y x 2 +y 2 en el 5. Verifique que 3 f (x, y, z) = 3 f (x, y, z) x y z z y x para f(x, y, z) = ze xy + yz 3 x 2 6. Sea f(x, y) = x 3 3xy 2. Demuestre que 2 f x f y 2 = 0 3. Funciones con valores vectoriales Definición Una función σ: [a, b] R n se denomina trayectoria. La imagen de σ se llama curva en R n. Ejemplos a. La función σ: [0,2π] R 2 dada por σ(t) = (cos t, sin t) es una trayectoria, cuya imagen es una circunferencia de centro en el origen y radio1. b. La función σ: [0, [ R 2 dada por σ(t) = (t, t) es una trayectoria. c. La función σ: R R 3 dada por σ(t) = (cos t, sin t, t) es una trayectoria. La imagen de esta trayectoria se llama hélice circular recta. 42

43 Observación: Una trayectoria en R 2 será de la forma σ(t) = (x(t), y(t)) y una trayectoria en R 3 será de la forma σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), donde x(t), y(t), z(t) en ambos casos son funciones de variable y recorrido real. Definición Sea σ: [a, b] R 3 una trayectoria de clase C 1. El vector velocidad en σ(t) se define como v(t) = ( x, y, z ) y el vector rapidez en σ(t) se define como r(t) = v(t). t t t Análogamente, se definen velocidad y rapidez para una trayectoria σ: [a, b] R La trayectoria σ(t) = (cos t, sin t, t) en cada punto tiene una velocidad v(t) = ( sin t, cos t, 1), mientras que en cada punto posee una rapidez v(t) = ( sin t) 2 + (cos t) = 2

44 Podemos deducir que el punto se mueve con rapidez constante, mientras que velocidad no es constante. Teorema Sea f: A R 3 R, diferenciable y suponga que f(a, b, c) (0,0,0). Entonces un vector normal a la superficie de nivel S definida por la ecuación f(x, y, z) = d en el punto (a, b, c) S, es el vector f(a, b, c). Lo mismo se tiene para una función f: A R 2 R. 2. Encuentre un vector normal a la superficie de la esfera unitaria centrada en el origen en el punto ( 1 2, 1 2, 2 2 ) Solución La esfera tiene por ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 1. En este caso, tenemos que f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y d = 1. Luego, f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) y así, f ( 1 2, 1 2, 2 ) = (1,1, 2) 2 3. Demuestre que la derivada direccional de f(x, y) = y2, en cualquier punto de la elipse 2x 2 + y 2 = c 2 en la dirección de la normal a la curva es nula. Solución La elipse será descrita por la función F(x, y) = 2x 2 + y 2 en el nivel c 2. Por el Teorema anterior, un vector normal a la elipse será F(x, y) = (4x, 2y), siempre y cuando (x, y) (0,0) pues de otra forma F(x, y) = (0,0). Sea n = (4x,2y). De esta forma, si (4x,2y) (x, y) es un punto de la elipse, tendremos que f (4x, 2y) (x, y) = f(x, y) n (4x, 2y) = ( y2 x 2, 2y x ) (4x, 2y) (4x, 2y) x 44

45 = 1 4y2 ( (4x, 2y) x + 4y2 x ) = 1 (4x, 2y) 0 = 0 Definición Sea σ: [a, b] R 3 una trayectoria de clase C 1. La longitud de σ está definida como b l(σ) = dσ dt dt Definición Sea F = (f 1, f 2, f 3 ) un campo vectorial. i. Se define el rotacional de F como a i j k rot(f) = F = det x y z [ f 1 f 2 f 3 ] ii. Se define la divergencia de F como div(f) = F = f 1 x + f 2 y + f 3 z Propiedades La divergencia y el rotacional cumplen las siguientes propiedades i. div(f + G) = div(f) + div(g) ii. rot(f + G) = rot(f) + rot(g) iii. div(f G) = G rot(f) F rot(g) iv. div(rot(f)) = 0 4. Máximos y mínimos

46 4.1 Criterio del Hessiano Definición Sea f: A R 2 R y sea a A i. Diremos que a es un máximo relativo o local si y solamente sí, existe r > 0 tal que f(x) f(a) x B(a, r) Si esta desigualdad se cumple para todo elemento de A, diremos que a es un máximo global. ii. Diremos que a es un mínimo relativo o local si y solamente sí, existe r > 0 tal que f(x) f(a) x B(a, r) Si esta desigualdad se cumple para todo elemento de A, diremos que a es un mínimo global. iii. iv. Si a es un máximo o mínimo relativo diremos que a es un extremo relativo o local de f. Si a no es ni un máximo ni un mínimo relativo diremos que a es un punto silla o punto de ensilladura de f. v. Un punto a A se dice un punto crítico si todas sus derivadas parciales en A existen y valen cero, es decir f x i (a) = 0, i = 1,2 Teorema: Sea f: A R 2 R, donde A es una región del plano y sea a A. Si a es un extremo relativo, entonces es un punto crítico. 46

47 De esta forma, para obtener los extremos relativos de una función, será necesario buscar sus puntos críticos. Definición Se define la matriz Hessiana en un punto (a, b) A de una función f: A R 2 R como 2 f f (a, b) x2 H(a, b) = f (a, b) ( y x (a, b) x y 2 f y 2 (a, b) ) Observación Evidentemente, la función f debe de tener, al menos, todas sus derivadas de segundo orden en el punto (a, b) Teorema Sea f: A R 2 R una función con segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de un punto crítico (a, b) A. Entonces (a, b) es i. Un mínimo local, si H(a, b) > 0 y 2 f (a, 2 b) > 0 ii. Un máximo local, si H(a, b) > 0 y 2 f (a, x2 b) < 0 iii. Un punto silla, si H(a, b) < 0 x Teorema Sea f, g 1, g k : A R n R con k n 1 funciones definidas en la región A de clase C 1 en (a, b) A. Para que (a, b) sea un extremo de la función f sujeto a las condiciones g 1 (a, b) = 0 ; ; g k (a, b) = 0 Con g j (a, b) 0, j = 1, k y f(a, b) 0, es necesario que existan constantes γ j 0 tales que

48 k f(a, b) = γ j g j (a, b) Definición Las constantes γ j, j = 1,, k se llaman multiplicadores de Lagrange. j=1 A continuación, presentaremos un Teorema de bastante utilidad para encontrar máximos y/o mínimos globales de una función. Teorema Sea f: A R n R, continua en un compacto A. Entonces existen x 0, x 1 A tales que f(x 0 ) = min f(x) y f(x 1) = max f(x) x A x A Ejemplos a. Para encontrar los extremos relativos de la función f(x, y) = x 2 + xy + y 2, en primer lugar debemos buscar los puntos críticos de esta función. Para esto, resolveremos el sistema de ecuaciones dado por f = 0 2x + y = 0 x f = 0 2y + x = 0 y Sistema cuya solución única es (0,0). Para determinar la naturaleza de este punto, usaremos la matriz Hessiana de f. Tenemos que 2 f x H(0,0) = 2 (0,0) f ( y x (0,0) f x y (0,0) 2 = ( 2 1 f y (0,0) 1 2 ) 2 ) 48

49 De donde se tiene que H(0,0) = 3 > 0 y 2 f (0,0) x2 = 2 > 0 y por lo tanto (0,0) es un mínimo local de f 1. Hallar los extremos relativos de la siguiente función f(x, y) = 4xy x 4 y 4 Solución: En primer lugar, encontramos los puntos críticos, así que derivando con respecto a cada variable, e igualando a cero, tenemos (1) 4y 4x 3 = 0 (2) 4x 4y 3 = 0 O, de forma equivalente (1) y x 3 = 0 (2) x y 3 = 0 De (1) tenemos que y = x 3 Reemplazando en (2), tenemos que x x 9 = 0 x(1 x 8 ) = 0 De donde obtenemos que x = 0 o x = 1. Para cada uno de estos valores, se obtienen valores de y. De esta forma, los puntos críticos son (0,0) y (1,1).

50 Ahora bien, 2 f x 2 = 12x2 2 f y 2 = 12y2 f x y = 4 Como tenemos que 2 f x 2 (0,0) = 0 (no podemos decir si es un máximo o mínimo) Ahora bien, 2 f (1,1) = 12 > 0 x2 Δ(1,1) = = 128 > 0 Por lo que (1,1) es mínimo. 4.2 Multiplicadores de Lagrange 1. Encuentre los extremos relativos de la función f(x, y) = x 2 + xy + y 2, sujeta a la condición x + 2y = 3 Solución: Utilizaremos el método de los multiplicadores de Lagrange. En primer lugar, buscaremos la solución de 50

51 f(x, y) = γ g(x, y) x + 2y = 3 Donde g(x, y) = x + 2y 3. De esta forma, tenemos que resolver el sistema 2x + y = γ 2y + x = 2γ x + 2y = 3 De donde la solución será (0, 3 2 ). Para determinar su naturaleza, utilizaremos el criterio de la segunda derivada para la función h(x) = f (x, 3 x 2 ) = 3 4 x tenemos que 2 h x 2 (x) = 3 2 > 0. Así, x = 0 es un mínimo local de h, lo que implica que (0, 3 2 ) es un mínimo local de f. 2. Una caja de cartón sin tapa debe tener cm cúbicos. Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartón. Solución: Sean x, y, z las dimensiones de la caja rectangular sin tapa (ancho, largo y alto, respectivamente). El volumen de esta caja, será V(x, y, z) = xyz =

52 Por lo que g(x, y, z) = xyz El área de la caja, será f(x, y, z) = 2zx + 2zy + yx El sistema, al utilizar el método de multiplicadores de Lagrange, es (1) 2z + y = λyz (2) 2z + x = λxz (3) 2x + 2y = λxy De (1) y (2), tenemos que λyz y = λxz x λz(y x) = y x Si y z, entonces al simplificar, tendríamos que λz = 1 y de esta manera, al reemplazar en (1) tendríamos que 2z + y = y z = 0 Lo cual no puede ser, pues la caja no está aplastada, al tener volumen positivo. De esta forma, y = z Reemplazando en (3), tenemos 52

53 4x = λx 2 4 = λx Reemplazando esto último en (2) 2z + x = 4z x = 2z Como se cumple que V(x, y, z) = xyz = , y tenemos que y = x = 2z, entonces x 3 2 = x 3 = x = 40 De esta forma, y = 40, z = Una sonda espacial con la forma del Elipsoide 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 16, entra a la atmósfera de la Tierra y su superficie comienza a calentarse. Después de una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es T(x, y, z) = 8x 2 + 4yz 16z Determine el punto más caliente sobre la superficie de la sonda. Solución: Utilizando el método de multiplicadores de Lagrange, tenemos el siguiente sistema

54 16x = γ8x 4z = 2γy 4y 16 = 8γz 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 16 Caso 1: γ = 2 En este caso, tendremos que y = z = 4, mientras que x = De esta forma, 3 obtendremos los puntos P 1 = ( 4 3, 4 3, 4 3 ) y P 2 = ( 4 3, 4 3, 4 3 ) Caso 2: γ 2. En este caso, x = 0 y resolviendo el sistema, obtendremos los puntos P 3 = (0,4,0), P 4 = (0, 2, 3) y P 5 = (0, 2, 3). De esta forma, hemos encontrado todos los posibles valores extremos de la función T(x, y, z) = 8x 2 + 4yz 16z en la elipsoide, el cual es un conjunto compacto y por el teorema anterior, posee un máximo global en este dominio. Reemplazando en la función, tenemos que los valores en donde la función toma su máximo valor son los puntos P 1 = ( 4 3, 4 3, 4 3 ) y P 2 = ( 4 3, 4 3, 4 3 ). 4. Encuentre los máximos y mínimos de la función f(x, y) = 4xy, sujeta a las condiciones x y2 16 = 1 Solución: Sea g(x, y) = x2 9 + y El sistema, al utilizar los multiplicadores de Lagrange, tenemos 54

55 (1) 4y = 2λ 9 x (2) 4x = 2λ 16 y De (1), tenemos que y = λ x. Reemplazando en (2) nos queda: 18 4x = 2λ 16 λ 18 x 4x = 2λ2 288 x 4x = λ2 144 x 576x = λ 2 x 0 = λ 2 x 576x 0 = x(λ 2 576) De donde obtenemos que x = 0 o λ = 576 = 24 Si x = 0, entonces y = 4 +, de donde sacamos dos puntos, a saber, (0,4) y (0, 4). Si λ = 24, tenemos que x 2 x y2 16 = ( λ 18 x) = 1 16

56 x λ x2 = 1 x x2 = 1 x x2 9 = 1 2x 2 9 = 1 x = Como Tenemos entonces que y = λ 24 x = x = 4 3 x y = De donde se obtienen los puntos ( 3 2, 2 2, ) y ( 3 2, 2 2, ) 2 2 Reemplazando todos estos puntos en la función f, encontraremos los máximos y mínimos. 5. Hallar los valores máximos y mínimos absolutos de la función f(x, y) = xy en el rectángulo R = [ 1,1] [ 1,1] 56

57 Solución Dado que la función f(x, y) es continua en el compacto R = [ 1,1] [ 1,1], tenemos asegurada la existencia de un máximo y mínimo absoluto en R. Debemos tener en cuenta que estos extremos pueden estar tanto en el interior como en la frontera de este conjunto. Para buscar los extremos en el interior, buscaremos, en primer lugar, los puntos críticos de la función. Resolvemos entonces df (x, y) = y = 0 dx df (x, y) = x = 0 dy De esta forma, obtenemos el punto crítico (0,0) ubicado en el interior de R. Para determinar su naturaleza usaremos el criterio de la matriz Hessiana 2 f x H(0,0) = 2 (0,0) f ( y x (0,0) f x y (0,0) 2 = ( 0 1 f y 2 (0,0) 1 0 ) ) De donde obtenemos que (0,0) es un punto silla. Analicemos la frontera de R: {(x, 1): 1 x 1} En este conjunto, la función toma la forma h(x) = f(x, 1) = x. Esta función toma sus valores máximos y mínimos en los puntos x = 1 y x = 1, respectivamente. Con esto, obtenemos los puntos ( 1, 1), (1, 1). {( 1, y): 1 y 1} En este conjunto, la función toma la forma g(y) = f( 1, y) = y. Esta función toma sus valores máximos y mínimos en los puntos y = 1 y y = 1, respectivamente. Con esto, obtenemos los puntos ( 1, 1), ( 1,1). {(x, 1): 1 x 1} En este conjunto, la función toma la forma s(x) = f(x, 1) = x. Esta función toma su máximo y mínimo en x = 1 e x = 1, respectivamente. Con esto, obtenemos los puntos (1,1), ( 1,1)

58 {(1, y): 1 y 1} En este conjunto, la función toma la forma m(y) = f(1, y) = y. Esta función toma su máximo y mínimo en y = 1 e y = 1, respectivamente. Con esto, obtenemos los puntos (1,1), (1, 1) De esta forma, tenemos los posibles extremos de la función, un son los puntos de la frontera: ( 1, 1), (1, 1), ( 1,1), (1,1). Como estos puntos son todos los extremos posibles tenemos que los puntos ( 1, 1) y (1,1) son los máximos absolutos de la función, y los puntos (1, 1) y ( 1,1) son los mínimos absolutos de la función. 4.3 Ejercicios propuestos 1. (Costo mínimo de producción) Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total (en dólares) de producir x unidades de A e y unidades de B está dado por C(x, y) = 250 4x 7y + 0,2x 2 + 0,1y 2 Determine el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día con el propósito de minimizar el costo total. 2. (Uso óptimo de capital y mano de obra) Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, en donde P(L, K) = 60L 2 3K 1 3 Los costos de la mano de obra y del capital son de $64 y $108 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 2160 unidades de su producto. Por medio del método de multiplicadores de Lagrange, halle el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con el objetivo de minimizar el costo total. 58

59 3. Una caja de cartón sin tapa debe tener cm cúbicos, Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartón. 4. Encuentre los extremos relativos de las siguiente función, sujeta a las condiciones f(x, y) = x 2 y 2 ; x 2y + 6 = 0 5. Encuentre los extremos relativos de las siguiente función f(x, y) = x 3 + 3y 2 x 15x 12y 6. Encuentre los extremos relativos de las siguiente función f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3x 6y Encuentre los extremos relativos de las siguiente función f(x, y) = x 2 + y 4 8. En cualquier punto (x, y) de la curva 4x y 2 = 1 la temperatura (en grados Celcius) es T grados, donde T = 4x y 2 2x Determine los puntos de la curva en donde la temperatura es máxima y donde es mínima. También calcule la temperatura en esos puntos. 9. Se requiere cortar y decorar un espejo rectangular de área 40 dm 2. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 16 centavos por decímetro y los de los lados verticales cuestan 25 centavos por decímetro, Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total?

60 5. Conclusiones El objetivo de este apunte es ayudar a los estudiantes de la UBO a complementar su estudio. Se recomienda, que además de este trabajo, utilice otros textos de Matemática para su estudio. La proyección de estos apuntes está dirigida a extender la cantidad de ejercicios que posee, tanto resueltos como propuestos. Todo esto, a medida que siga trabajando como profesor universitario (que espero sean muchísimos años más), con el fin de otorgar al estudiante un material que le sea cada vez más completo. 6. Bibliografía de apoyo Hoffmann, L. (1998). Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Bogotá: McGraw-Hill. Jagdish, A., Lardner, R. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México: Pearson. Leithold, L. (1998). El Cálculo. México: Oxford University Press. 60