Reglas Formales de Derivación

Transcripción

1 Capítulo 8 Reglas Formales de Derivación En este capítulo extenderemos a las funciones de varias variables las reglas del cálculo de derivadas para las funciones de una variable: regla de la cadena, fórmula de Leibnitz, etc. Los mismos enunciados de los teoremas e incluso las mismas fórmulas, van a seguir siendo formalmente válidos para las funciones de varias variables. Proposición 8.1 Si f, g son funciones diferenciables en un punto a (de clase C 1 ), entonces también es diferenciable en a (de clase C 1 ) la función λf +µg. Y se verifica que D(λf + µg)(a) = λdf(a) + µdg(a). Demostración. Es consecuencia inmediata de la definición de función diferenciable (función de clase C 1 ) y de la unicidad de la diferencial en un punto. Regla de la cadena Proposición 8.2 Sean E, F y G espacios normados y f : A E F, g : B F G. (i) Si f es diferenciable en a A o y g es diferenciable en el punto f(a) B, o entonces la aplicación u = g f es diferenciable en a y se tiene que (8.1) D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a) (Regla de la Cadena). 77

2 78 Reglas Formales de Derivación 8.2 (ii) Si B f(a), f C 1 (A) y g C 1 (B), entonces u C 1 (A). Demostración. Observemos en primer lugar que por ser f continua en a y f(a) interior a B, existe algún entorno V de a tal que f(v ) B, y por tanto la aplicación u = g f está definida sobre V. Veamos que u es diferenciable en a: Sea ε > 0. Puesto que f es diferenciable en a, existe δ 1 > 0 tal que si h δ 1 f(a + h) f(a) Df(a)h ε h. De igual modo, por la diferenciabilidad en el punto f(a) de la aplicación g, existe η > 0 tal que si k η g(f(a) + k) g(f(a)) Dg(f(a))k ε k. Por último, y debido también a la diferenciabilidad de f en a (ver 6.9), existen δ 2 > 0 y α > 0 tal que si h δ 2 entonces f(a + h) f(a) α h η. Luego, para h δ = mín(δ 1, δ 2 ) y k = f(a + h) f(a), se tiene (g f)(a + h) (g f)(a) (Dg(f(a)) Df(a))h g(f(a) + k) g(f(a)) Dg(f(a))k + Dg(f(a))(f(a + h) f(a) Df(a)h ε k + ε Dg(f(a)) h (α + Dg(f(a)) )ε h. Esto demuestra que si h δ (g f)(a + h) (g f)(a) (Dg(f(a)) Df(a))h Mε h, donde M = α + Dg(f(a)), es decir que u = g f es diferenciable en a y que Du(a) = Dg(f(a)) Df(a). Supongamos ahora que f y g son de clase C 1. Según lo anterior la aplicación u es diferenciable en cada punto de A y se tiene que Du(x) = Dg(f(x)) Df(x). Si consideramos entonces la descomposición de Du x (Dg(f(x)), Df(x)) Dg(f(x)) Df(x), resulta que Du es continua por ser composición de dos aplicaciones continuas, la primera de ellas continua por serlo sus funciones coordenadas, (Dg) f y Df, y la segunda por tratarse de una aplicación bilineal del tipo considerado en 7.7.

3 8.4 Reglas Formales de Derivación 79 Corolario 8.3 (T. del valor medio) Sea [a, b] un segmento de R n contenido en el abierto U. Supongamos que f : U R n R p es una aplicación continua en cada punto de [a, b] y diferenciable en (a, b) y que existe un número real M tal que Df(x) M, x (a, b), entonces f(b) f(a) M b a. Demostración. Sólo daremos aquí la demostración para el caso en que la norma utilizada en R p sea la norma producto. Para el caso general, ver el anexo. Consideremos la aplicación λ: [0, 1] R R n definida por λ(t) = a + t(b a). Esta aplicación es claramente continua en [0,1] y derivable en (0,1), siendo λ (t) = b a. Denotemos entonces por f i a la i-ésima función coordenada de f y sea g i = f i λ; g i es una función escalar de una variable, que por ser composición de dos funciones derivables es, según lo anterior, derivable en cada punto de (0,1), siendo su derivada, g i (t) = Df i(λ(t))(b a). Se deduce pues que (8.2) g i(t) Df i (λ(t) b a. Teniendo en cuenta que si la norma utilizada en R p Df i (x) Df(x) (ejercicio), de 8.2 se deduce que es, entonces g i(t) Df i (λ(t) b a Df(x) b a M b a ; aplicando ahora el teorema de valor medio para funciones escalares de una variable, se tiene que f(b) f(a) = máx f i (b) f i (a) = máx g i (1) g i (0) M b a. 8.4 A la sencillez formal de la regla de la cadena será preciso adjuntar, a efectos de cálculo, su reformulación en términos de derivadas parciales. Es claro que, en dimensión finita, lo que expresa la fórmula, Du(a) = Dg(f(a)) Df(a), es que la matriz jacobiana de la aplicación u en el punto a es el producto de las matrices jacobianas de la aplicación g en el punto

4 80 Reglas Formales de Derivación 8.4 f(a) por la matriz jacobiana de la f en a, es decir, si f : A R n R p y g : B R p R k, entonces: u 1 u 1 g 1 g 1 f x 1 x n 1 f 1 y 1 y p u 2 u 2 g 2 g 2 x 1 x n x 1 x f 2 f 2 n = y y p x 1 x n u k u k g k g k f p f p x 1 x n (a) y 1 y p f(a) x 1 x n (a) Esta igualdad matricial nos permite escribir entonces lo que podemos llamar la regla de la cadena para derivadas parciales: u i p g i (a) = (f(a)) f s (a). x j y s x j s=1 Fórmula de Leibnitz Proposición 8.5 Sean f, g : A E R aplicaciones diferenciables en un punto a (de clase C 1 en A), entonces su producto, f g, es también diferenciable en a (de clase C 1 en A) y se tiene que D(f g)(a) = f(a)dg(a) + g(a)df(a) (Fórmula de Leibnitz). Demostración. Si escribimos s = f g como composición de las funciones x (f(x), g(x)) f(x) g(x), para probar que s es diferenciable en a (de clase C 1 en A), sólo hemos de ver que la aplicación T de R 2 en R, (u, v) u v, es de clase C 1. Pero esto ya lo sabemos, puesto que T es una aplicación bilineal. La fórmula de Leibnitz se obtiene ya sin más que aplicar la regla de la cadena. En efecto, si denotamos por φ a la aplicación x (f(x), g(x)), entonces Ds(a)h = D(T φ)(a)h = (DT (φ(a)) Dφ(a))h = DT (f(a), g(a)) (Df(a)h, Dg(a)h) = T (Df(a)h, g(a)) + T (f(a), Dg(a)h) = g(a)df(a)h + f(a)dg(a)h = (g(a)df(a) + f(a)dg(a))h. Se tiene pues que D(f g)(a) = f(a)dg(a) + g(a)df(a).

5 8.7 Reglas Formales de Derivación 81 Proposición 8.6 Sean f, g : A E R aplicaciones diferenciables en un punto a (de clase C 1 en A). Si g(a) 0 (g no se anula en ningún punto de A), entonces la aplicación h = f/g es diferenciable en a (de clase C 1 en A). Se tiene entonces que (8.3) D(f/g)(a) = g(a)df(a) f(a)dg(a) g(a) 2. Demostración. Basta ver que si g(a) 0 (g no se anula en ningún punto de A), entonces la aplicación 1/g es diferenciable en a (de clase C 1 en A). Escribiendo 1/g como la composición de las aplicaciones x g(x) 1 g(x), eso se sigue de que la aplicación de R en R, t 1/t, es de clase C 1 en R \ {0}. La fórmula 8.3 se obtiene de la correspondiente fórmula para funciones de una variable y de la fórmula de Leibnitz. Nota. No consideraremos aquí la diferenciabilidad de la inversa de una función, ya que el estudio de funciones inversas será el objeto de otro capítulo posterior. 8.7 Los resultados anteriores nos permitirán construir una extensa familia de funciones de clase C 1. Empecemos, por ejemplo, con los polinomios: Como se sabe un polinomio de varias variables es una aplicación de la forma f(x 1, x 2,..., x n ) = finita a i1...i n x i x in n, i k = 0, 1,... Puesto que la suma y el producto de aplicaciones de clase C 1 es una aplicación de clase C 1, es evidente que los polinomios son de clase C 1 ya que las aplicaciones (x 1, x 2,..., x n ) a i1...i n (x 1, x 2,..., x n ) x ik lo son, por ser, respectivamente, aplicaciones constantes y lineales. Aplicando 8.6, las funciones racionales (cocientes de dos polinomios) son de clase C 1 sobre el conjunto de puntos donde el polinomio del denominador no se anula.

6 82 Reglas Formales de Derivación 8.7 Por último, mediante la composición de las funciones anteriores con funciones de una variable de clase C 1, se obtienen nuevas funciones de varias variables y de clase C 1 : sen (x 2 + y 2 ), log(1 + x 2 + y 2 ), cos 2 (xyz),... ANEXO: El teorema del valor medio La versión más usual de los teoremas de valor medio para funciones de una variable, establece que 8.8 Si f es una función continua en un intervalo compacto [a, b] de R y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe algún punto intermedio a < ξ < b tal que f(b) f(a) = f (ξ)(b a). Este teorema puede extenderse textualmente a las funciones escalares"de varias variables, pero, en cambio, no es válido para funciones vectoriales (ver ejercicio 8H). Para las funciones vectoriales aún puede obtenerse un teorema de valor medio que implica, en particular, la fórmula conocida como de los incrementos finitos: f(b) f(a) sup Df(x) b a. x (a,b) Teorema 8.9 (Funciones Escalares) Si f es una función escalar definida sobre un conjunto A de un espacio normado, continua sobre el segmento [a, b] A y derivable en (a, b) siguiendo el vector b a, entonces existe ξ (a, b) tal que f(b) f(a) = D (b a) f(ξ). Demostración. Sea g(t) = f(a + t(b a)), t [0, 1]. Esta aplicación es continua en [0, 1], ya que g = f λ, donde λ es la aplicación de [0, 1] en [a, b] definida por λ(t) = a + t(b a), que es claramente continua. Además es derivable en cada punto t de (0,1), pues g(t + s) g(t) f(a + (t + s)(b a)) f(a + t(b a)) lím = lím s 0 s s 0 s = D (b a) f(a + t(b a)).

7 8.10 Reglas Formales de Derivación 83 Aplicando a g el teorema 8.8, se deduce que existe algún punto t 0 en (0,1) tal que f(b) f(a) = g(1) g(0) = g (t 0 ) = D (b a) f(ξ), ξ = a + t 0 (b a). Nota. Si en el teorema anterior se supone f diferenciable en (a, b), entonces este teorema establece que existe un punto ξ en el segmento (a,b) tal que f(b) f(a) = Df(ξ)(b a), fórmula que en dimensión finita puede escribirse f(b) f(a) = f x j (ξ)(b j a j ). Para el teorema de valor medio para funciones vectoriales usaremos la siguiente versión del teorema de valor medio para funciones de R en R: Lema 8.10 Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b] R una aplicación continua que admite derivada a la derecha en cada punto de (a, b). Se tiene que 1. Si f +(t) 0 para todo t (a, b), entonces la función f es no decreciente en [a, b]. 2. Si f +(t) M para todo t (a, b), entonces f(b) f(a) M(b a). Demostración. 1. Supongamos primero que f +(t) > 0 para todo t (a, b). Bastará probar que f(a) f(b). Supongamos, por el contrario, que f(b) < f(a) y sea c un punto intermedio entre f(a) y f(b), es decir f(a) > c > f(b). Sea t c el mayor de los puntos t [a, b] para los que f(t) = c. Debido a la continuidad de f en [a, b], es claro que tal punto existe y pertenece a (a, b) y, de acuerdo con su definición, se tiene que: u > t c f(u) < f(t c ) f(u) f(t c) u t c < 0. Pero la anterior condición implica que f +(t c ) 0, en contra de la hipótesis. Si f +(t) 0 para todo t (a, b), entonces, para cada ε > 0 la función g(t) = f(t) + ε(t a) verifica que g +(t) > 0 para todo t (a, b), luego f(a) = g(a) g(b) = f(b) + ε(b a). Por el carácter arbitrario de ε se deduce que f(a) f(b).

8 84 Reglas Formales de Derivación Si f +(t) M para todo t (a, b), entonces las funciones g 1 (t) = f(t) + M(t a) y g 2 (t) = M(t a) f(t) son no decrecientes, pues sus derivadas a la derecha en todo punto son no negativas. Luego: f(a) = g 1 (a) g 1 (b) = f(b) + M(b a) ; f(a) = g 2 (a) g 2 (b) = M(b a) f(b). De ambas desigualdades se deduce que f(b) f(a) M(b a). Nota. Observemos que si en el lema anterior se supone f +(t) > 0, para todo t (a, b) entonces lo que se obtiene es que f es estrictamente creciente en [a, b], pues, por un lado f no decreciente, obliga a que f(a) < f(b) ya que, de lo contrario, f sería constante y por lo tanto f (t) = 0, para todo t. En consecuencia si se tuviese que f +(t) < M, la misma demostración dada para el apartado 2 del lema, conduciría ahora a que f(b) f(a) < M(b a). Corolario 8.11 Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b] R una aplicación continua que admite derivada a la derecha en cada punto de (a, b), entonces existe algún punto t 0 (a, b) tal que f(b) f(a) f +(t 0 )(b a). Demostración. Si, por el contrario, f(b) f(a) > f +(t 0 )(b a), entonces, tomando M = f(b) f(a) /(b a) y teniendo en cuenta la nota anterior, resultaría que f(b) f(a) < M(b a) = f(b) f(a) lo cual es absurdo. Teorema 8.12 Sean E, F espacios normados. Si f : A E F es una aplicación continua en el segmento [a, b] A y diferenciable en (a, b), entonces existe un punto ξ (a, b) tal que f(b) f(a) Df(ξ)(b a). En consecuencia, si existe un número real M tal que Df(x) M, para cada x [a, b], entonces f(b) f(a) M b a. Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que f(a) = 0. Consideremos la aplicación g : [0, 1] R definida por g(t) = f(a + t(b a)). La prueba del teorema va a resultar del hecho de que la función g es continua y admite derivada a la derecha de cada punto t (0, 1),

9 8.12 Reglas Formales de Derivación 85 verificándose además que g +(t) Df(a + t(b a))(b a). En efecto, si suponemos eso, entonces, por el corolario 8.11, existe t 0 (0, 1) tal que f(b) f(a) = g(1) g(0) g +(t 0 ) Df(a + t 0 (b a))(b a). Veamos pues que g es derivable a la derecha en cada punto de (0,1). Sea t 0 (0, 1). Puesto que f es derivable en x 0 = a + t 0 (b a), para t > t 0 se tiene que f(a + t(b a)) = f(x 0 ) + (t t 0 )Df(x 0 )(b a) + (t t 0 )ε(t) b a, siendo ε(t) una función que tiende a cero cuando t t 0. Entonces, lím t t + 0 g(t) g(t 0 ) t t 0 = lím t t + 0 = lím t t + 0 f(a + t(b a)) f(a + t 0 (b a)) t t 0 f(x 0 ) + (t t 0 )Df(x 0 )(b a) f(x 0 ) t t 0. Por lo tanto, para que g sea derivable a la derecha en t 0 bastará que exista lím t t + 0 f(x 0 ) + (t t 0 )Df(x 0 )(b a) f(x 0 ) t t 0, con otras palabras que la función t f(x 0 ) + tdf(x 0 )(b a) tenga derivada a la derecha en 0. Observemos que esta función es del tipo t y + tz, donde y, z son dos vectores dados. Es inmediato comprobar que estas funciones son convexas y, por tanto, derivables a la derecha en cada punto. Aunque también puede demostrarse esto directamente: La función y + tz y σ(t) = t es creciente a la derecha de 0. Sean 0 < t < u, ( ) y + uz y y + tz y = u t Como t y + uz u y + tz + (u t) y. ut u y + tz t y + uz uy + utz ty tuz = (u t) y, se deduce de ( ) que σ(t) σ(u). Por otra parte σ(t) = y + tz y tz = z z σ(t). t t

10 86 Reglas Formales de Derivación 8.12 Así, σ es una función nodecreciente a la derecha de 0 y acotada inferiormente, luego existe lím t 0 + σ(t) y además lím t 0 + σ(t) z. En el caso particular que nos interesa, habríamos demostrado pues que g +(t 0 ) = f(x 0 ) + tdf(x 0 )(b a) f(x 0 ) lím Df(x 0 )(b a). t 0 + t (Para otros teoremas de valor medio ver Flett [12] y Cartan [5]). Ejercicios 8A Sea f una función escalar de clase C 1. Probar que también es de clase C 1 la función h(x, y) = f(x) + f(y) 3. 8B Demostrar que si la función escalar, f, es diferenciable en 0 y f(0) = 0, entonces f 2 (x) lím x 0 x = 0. 8C Estudiar si las siguientes funciones son diferenciables o de clase C 1 : 1 1. f(x, y) = xy sen x 2 ; f(0, 0) = 0 + y2 2. { x 2 y 2 sen 1 xy si x 0 o y 0 3. f(x, y) = 2 f(x, 0) = f(0, y) = 0 5. f(x, y) = xy ; f(0, 0) = 0 6. f(x, y) = x4 + y2 f(x, y) = x x 2 + sen 4 y 4. f(x, y) = (x y) 4 + z 4 x 2 y x + y 2 si x > 0 0 si x 0 7. f(x, y) = y3 x 4 ; f(0, 0) = 0 + y2 8. f(x, y) = xy sen x y. 8D (a) Probar que la función de una variable g(t) = t2 1 + t es de clase C 1.

11 8G Reglas Formales de Derivación 87 8E (b) Utilizar (a) para probar que también es de clase C 1 la función (a) Probar que la función h(x, y) = (x y)2 1 + x y g(t) = sen t, t 0; g(0) = 1, t es de clase C 1. (b) Estudiar, teniendo en cuenta (a), si las funciones siguientes son diferenciables o de clase C 1 : sen(x 3 y 3 + z 3 ) h(x, y, z) = x 3 y 3 + z 3 si x 3 y 3 + z en otro caso h(x, y, z) = sen(x3 y 3 + z 3 ) x 2 + y 2 + z 2 si x 2 + y 2 + z 2 0; h(0, 0, 0) = 0 sen x sen y si x y h(x, y, z) = x y cos x si x = y. Indicación. Para estudiar la tercera función utilizar la fórmula sen x sen y = 2 sen x y cos x + y 2 2 8F Sea f : A R n R una aplicación de clase C 1 sobre A. (a) Probar que si K es un compacto y convexo de interior no vacío contenido en A, entonces sup Df(x) x K es la menor constante de Lipschitz de f en K. (b) Considerando en R 2, sucesivamente, las normas 1, 2 y, calcular la menor constante de Lipschitz de la aplicación f(x, y) = x 2 + sen(x + y) en el compacto x 1, y 1. Indicación: Tener en cuenta los ejercicios 1S y 4G) 8G Sea h: A (R n, ) (R p, ) una aplicación de clase C 1 sobre A. Demostrar si C es un n-cubo cerrado (centrado, para concretar, en el punto a, y de lado l) contenido en A, entonces h(c) está contenido en el p-cubo cerrado de centro h(a) y lado α l, donde α = máx{ Dh(x) : x C}. Se mantiene lo anterior si en vez de la norma se considera la norma 2 o hay que cambiar el valor de α?

12 88 Reglas Formales de Derivación 8H 8H Sea f : R R 2 dada por f(t) = (cos t, sen t). Probar que para a, b R distintos, no existe ningún número real c tal que f(b) f(a) = Df(c)(b a) 8I Sea E un espacio normado y Φ la aplicación definida por Φ(x, y) = x T (2x y, x), donde T es una aplicación bilineal y continua de E E en E. Probar que Φ es de clase C 1 y calcular DΦ(x, y). 8J Sea E un espacio normado y Φ: L (E, E) L (E, E), la aplicación Φ(T ) = T 2 2T. Probar que Φ es de clase C 1 y hallar DΦ(T ). 8K Sean f, g : A R L (E, E) aplicaciones derivables en un punto t 0 o A. Demostrar que también es derivable en t 0 la aplicación siendo su derivada h : t f(t) g(t), h (t 0 ) = f (t 0 ) g(t 0 ) + f(t 0 ) g (t 0 ). 8L Sean E, F espacios normados, T : E E F, la aplicación T (x, y) = a(x+y) r, donde a es una aplicación r-lineal simétrica de E E en F y a(x + y) r denota abreviadamente a(x+y,..., x+y). Probar que T es de clase C 1 y calcular DT (x, y) (Tener en cuenta el ejercicio 7C). 8M En este ejercicio g y ϕ serán en todos los casos una función escalar de clase C 1 (aunque no siempre del mismo número de variables). Supuesto esto, se trata de probar que la función h construida a partir de g es también de clase C 1 y de calcular sus derivadas parciales en términos de las funciones g y ϕ y sus derivadas parciales: 1. h(x, y, z) = g(x 2 z, sen xyz) 2. h(x, y, z) = g(x + y z 2 ) 3. h(x) = g(x 3, sen x, x 1) 4. h(x) = g(x 2, g(x, sen x)) 5. h(x, y) = g(x 2, g(x, sen y)) 6. h(x, y, z) = xg(xy) + yg(xz) + zg(yz) 7. h(x) = xg(x + g(x)) 8. h(x, y, z) = g(x, y) + g(x, z) + g(y, z) 9. h(x, y) = g(x + ϕ(x, y)) 10. h(x, y) = g(x, yϕ(x, y))

13 8Ñ Reglas Formales de Derivación 89 8N Como en el ejercicio anterior, g y ϕ denotarán funciones escalares de clase C 1. Sean: (a) h(x, y, z) = g(xy, ϕ(yz)), con Calcular h(0, 1, 0). (b) h(x, y) = x g(x, y, y), con ϕ(0) = 0 ; ϕ (0) = 1 ; g(0, 0) = (2, 3) g(1, 0, 0) = 1 ; g(1, 0, 0) = (1, 2, 2). Calcular h(1, 0). (c) h(x, y, z) = g(xz, g(y, z)), con g(0, 1) = 0 ; g(0, 0) = (1, 2) ; g(0, 1) = ( 3, 4). Calcular h(0, 0, 1). 8Ñ Probar que la función h(x, y) = x+y 0 e t2 +x dt es diferenciable en cada punto y calcular su diferencial. Indicación: Tener en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces la función F (x) = x f(t)dt es a derivable y su derivada es F (x) = f(x).

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