Departamento de Ingeniería Matemática- Universidad de Chile

Transcripción

1 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 08-4 Matrices elementales SEMANA 2: MATRICES Como veremos la resolución de sistemas de ecuaciones via eliminación de variables corresonde a remultilicar (multilicar or la izquierda) una cierta matriz or matrices elementales que estudiaremos a continuación Hay dos tios de matrices elementales: elemental de ermutación y de suma Definición 0 (Matriz elemental de ermutación) Una matriz elemental de ermutación tiene la siguiente estructura: fila I q = 0 fila q 0 0 La matriz I q se construye a artir de la identidad, ermutando el orden de las filas y q Ejemlo: En M 44 (Ê): I 24 =, I = Notemos que toda matriz elemental de ermutación es una matriz de ermutación, ero no al revés Puedes dar un ejemlo? Veamos ahora lo que sucede al multilicar una matriz A, or la derecha o izquierda, or una matriz elemental de ermutación I q : En el ejemlo anterior, sea A = (a ij ) M 43 (Ê) I 24 a a 2 a a a 2 a 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a a = 2 a 22 a 23 a = 4 a 42 a 43 a 3 a 32 a a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 a 4 a 42 a a 4 a 42 a 43 a 2 a 22 a 23 matrices elementales I q Ejercicio 4

2 El resultado consiste en ermutar las filas 2 y 4 de A Análogamente, sea B M 34 (Ê): b b 2 b 3 b 4 b 2 b 22 b 23 b = b b 4 b 3 b 2 b b 24 b 23 b 22 b 3 b 32 b 33 b 34 b b 34 b 33 b 32 la matriz resultante es B con las columnas 2 y 4 ermutadas En general, Proiedad Dadas I q M nn (Ã), A M ns (Ã) y B M qn (Ã): I q A corresonde a la matriz A con las filas y q ermutadas I qa 2 BI q corresonde a las matriz B con las columnas y q ermutadas BI q Demostración Recordemos que, or ser una matriz de ermutación (Ejercicio 3), I q es invertible y además Iq = I q En efecto, el multilicar or la izquierda I q or si misma, corresonde a intercambiar sus filas y q, con lo cual se obtiene la identidad Tomemos ahora la matriz A M 44 (Ê) y sea: E 2,4 (λ) = λ 0 Esta matriz se construye a artir de la identidad colocando el valor λ en la osición (4,2) (notar que sólo la fila 4 es diferente de la identidad) Al multilicar or la izquierda A or E 2,4 (λ): a a 2 a a a 2 a 3 a E 2,4 (λ) 2 a 22 a a = 2 a 22 a 23 = a 3 a 32 a a 3 a 32 a 33 a 4 a 42 a 43 0 λ 0 a 4 a 42 a 43 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 λa 2 + a 4 λa 22 + a 42 λa 23 + a 43 La matriz, E 2,4 (λ)a es exactamente la matriz A, exceto or la fila 4, la cual se obtiene de sumar la fila 4 de A más la fila 2 de A onderada or λ En general, 5

3 Definición (Matriz elemental) Definimos la matriz elemental E,q (λ) M nn (Ã) como: E,q (λ) = col col q 0 0 λ λ Ã < q Proiedad 2 Dada una matriz A M ns (Ã); se tiene: 0 0 a a s a a s C = E,q (λ) A = 0 λ a q a qs a n a ns a a s a a s = λa + a q λa s + a qs q a n a ns o, en notación or filas: C i = A i i q C q = λa + A q Se tiene entonces que el efecto, sobre A, de la remultilicación or E,q (λ) es una matriz que sólo difiere de A en la fila q: Esta es la suma de la fila onderada or λ y la fila q Es imortante observar que la matriz E,q (λ) es triangular inferior, que tiene unos en la diagonal y además: E,q(λ) E,q(λ) A 6

4 Proosición 8 E,q (λ) es invertible Su inversa es la siguiente: (E,q(λ)) = E,q( λ) 0 (E,q (λ)) = 0 λ Demostración En efecto, sea C = E,q ( λ)e,q (λ) Se tendrá que C es la matriz cuya fila q es la suma de la fila de E,q (λ), onderada or λ y la fila q de E,q (λ) Es decir: C q = λ( ) + (0 λ 0 0 β 0 0) = (0 0 λ 0 0) + (0 λ ) Luego: C q = (0,0,,0,0) además i q C i es la i-ésima fila de la identidad Es decir C = I, la matriz identidad 5 Sistemas lineales y escalonamiento de matrices Las matrices elementales son de gran utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Ejemlo: Consideremos, a modo de ejemlo, el sistema de ecuaciones x + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 () 2x + 3x 2 x 3 = (2) x + x 3 + x 4 = (3) Para resolverlo, utilizamos la eliminación de variables, ero en forma ordenada, desde la rimera variable de la izquierda y desde arriba hacia abajo: q q q 7

5 Eliminamos la variable x en las ecuaciones (2) y (3): ara ello multilicamos la rimera or dos y la sumamos a la segunda obteniendo: x + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 7x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 x + x 3 + x 4 = Luego, multilicamos la rimera or y la sumamos a la tercera: x + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 7x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 2x 2 = 2 Continuamos ahora con x 2, ero a artir de la segunda ecuación Multilicando la segunda or 2 7 y sumándola a la tercera se obtiene: x + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 7x 2 + x 3 + 2x 4 = x x 4 = 7 Ya no es osible eliminar más variables Ahora, desde la última hasta la rimera ecuación desejamos en función de x 4 : x 3 = 4 2 x 4 2 = 2x 4 2 x 2 = 7 ( x 3 2x 4 + 3) = 7 (2x x 4 + 3) = 2 x = 2x 2 x 3 x = x x = x Obteniéndose la solución: x = x 4 x 2 = 2 x 3 = 2 2x 4 x 4 = x 4 Así, ara cualquier valor real de x 4, obtenemos una solución del sistema Existen entonces, infinitas soluciones, deendiendo de la variable x 4 La variable x 4 se denomina indeendiente o libres Veamos ahora, en general, qué es un sistema de ecuaciones, 8

6 Definición 2 (Sistema de ecuaciones) Un sistema de m ecuacionesy n incógnitas consiste en el siguiente conjunto de ecuaciones en las variables x,, x n Ã: a x + + a n x n = b a m x + + a mn x n = b m en donde los coeficientes, a ij, y el lado derecho, b j, son elementos del cuero à Definiendo la matriz: a a n A = M mn (Ã) a m a mn la m-tula (lado derecho) y la n tula de incógnitas b x b = à m, x = à n b m x n Podemos escribir el sistema matricialmente: Ax = b, Realizar el rocedimiento de eliminación de variables descrito en el ejemlo recedente, con el fin de resolver el sistema, es equivalente a roducir ceros en la matriz aumentada con la columna lado derecho, (A b) M m(n+) (Ã) En el ejemlo anterior: (A b) = Eliminar x de la segunda ecuación es equivalente a roducir un cero en la osición (2,) de (A b) Para ello se multilica la rimera fila or 2 y se suma a la segunda fila Para eliminar x de la tercera ecuación se multilica la rimera fila or y se suma a la tercera (A b) Eliminar x 2 en la tercera ecuación a artir de la segunda es equivalente a multilicar la segunda fila or 2 7 y sumarla a la tercera: = (à b) sistema de ecuaciones Ax = b matriz aumentada, (A b) 9

7 Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ãx = b Conviene señalar que en el rocedimiento anterior la oeración de base ha sido: Sumar a una fila q, la fila onderada or un número λ Ã De la definición de matrices elementales sabemos que esto es equivalente a remultilicar or la izquierda or la matriz E,q (λ) Veamos esto en el mismo ejemlo Ejemlo: Producir un cero en la osición (2,) de (A b): E,2 (2)(A b) = = Producir un cero en la osición (3,): E,3 ( )E,2 (2)(A b) = = Producir un cero en la osición (3,2) desde la osición (2,2): E 2,3 ( 2 7 )E,3( )E,2 (2)(A b) = = Se concluye entonces que la oeración de eliminación de variable uede realizarse mediante la re-multilicación de (A b) or matrices elementales 20

8 Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de ermutación de filas Por ejemlo, si se tiene: 0 0 (A b) = Vemos que, como a 22 = 0, no es osible roducir ceros en la segunda columna, a artir de a 22 Luego intercambiamos el orden de las filas (claramente esto no cambia el sistema de ecuaciones asociado) Por ejemlo, colocamos la cuarta fila en la segunda osición y la segunda en la cuarta Esto es equivalente a remultilicar or I 24 : I 24 (A b) = =, lo cual nos ermite seguir roduciendo ceros Consideremos ahora A M mn (Ã), definimos la matriz escalonada asociada a la matriz A, como à M mn (Ã), tal que: ã ã 2 ã i2 ã n ã 2i2 ã 2n à = ã sis ã sn 0 0 donde los elementos ã 0, ã 2i2 0,,ã sis 0, se denominan ivotes Notar que hemos suuesto que la rimera columna no tiene ceros De no ser así, quiere decir que la rimera variable no juega ningun rol, y or lo tanto si el sistema tiene solución esta variable queda de inmediato libre Suondremos en lo que sigue que la rimera columna no es cero Observación: No hay una única manera de escalonar una matriz En efecto en el último ejemlo odríamos haber ermutado las filas 2 y 3 en vez de las 2 y 4 Hay dos cosas que son imortantes de resaltar a este resecto: Desde el unto de vista de sistemas de ecuaciones no hay diferencia entre un escalonamiento u otro: todos dan el mismo conjunto solución (robablemente descrito de distinta manera) 2 Es referible or otras razones (teóricas, como son el cálculo del determinante y la determinación de matrices definidas ositivas) tratar de no utilizar ermutaciones matriz escalonada, à ivotes 2

9 La matriz à se obtiene mediante la remultilicación de A or matrices elementales: à = ( E j )A, j donde E j es una matriz elemental de suma o de ermutación de filas Además, recordemos que las matrices elementales son invertibles Esta roiedad es crucial ara robar que el sistema original, Ax = b, y el obtenido desués del escalonamiento, Ãx = b, son equivalentes (tienen idéntico conjunto de soluciones) En efecto: Proosición 9 Dada una matriz C, invertible entonces: a K n es solución de Ax = b a es solución de (CA)x = Cb Demostración La demostración es simle: ) Si Aa = b, entonces C(Aa) = Cb y or ende (CA)a = Cb ) Suongamos (CA)a = Cb Como C es invertible se tiene C (CA)a = C (Cb), lo cual imlica que Aa = b Como las matrices elementales son invertibles y el roducto de matrices invertibles también lo es, y or lo tanto odemos usar la Proosición 9 con C = j E j, ara concluir que los sistemas Ax = b y Ãx = b son equivalentes 22