Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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1 Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales Índice Sistemas de ecuaciones lineales 1 Interpretación geométrica y definición 1 Método de eliminación 4 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 6 Sistemas compatibles 6 Sistemas incompatibles 9 Trabajo práctico 11 Ejemplos con Sage 12 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 12 Sistemas de ecuaciones lineales Interpretación geométrica y definición Observaciones preliminares 1. El problema central del álgebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones. 2. Estas ecuaciones son siempre lineales, osea que las incógnitas aparecen solo multiplicadas por números. 3. En estos sistemas de ecuaciones nunca encontraremos expresiones como x y o x o sin x o log y. 4. Les decimos sistemas, porque la solución (si existe) debe satisfacer a todas las ecuaciones simultáneamente. 1 y x 2y = 1 3x + 2y = x Dos ecuaciones, dos incógnitas, una solución x 2y = 1 3x + 2y = 11 Figura 1: el único punto del plano xy que pertenece a ambas rectas es la única solución del sistema de ecuaciones. Cada fila (ecuación) corresponde a una recta en el plano.

2 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 2 Las rectas se cortan únicamente en x = 3 e y = 1. Se dice entoces que el conjunto de soluciones S tiene solo un elemento S = {(3, 1)} 1 y x + 2y = 1 2 x 2y = x Dos ecuaciones, dos incógnitas, ninguna solución x 2y = 1 x + 2y = 1 2 Figura 2: ningún punto del plano xy que pertenece a ambas rectas, por lo tanto el sistema de ecuaciones no tiene solución. Cada fila (ecuación) corresponde a una recta en el plano. Pero las rectas no se cortan, ya que son paralelas. El conjunto de soluciones S es entonces el conjunto vacío S = 1 y x 2y = 1 x + 2y = x Dos ecuaciones, dos incógnitas, soluciones x 2y = 1 x + 2y = 1 Figura 3: infinitos puntos del plano xy que pertenece a ambas rectas, ya que en realidad son idénticas, por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene soluciones. Cada fila (ecuación) corresponde a una recta en el plano. Las dos rectas se superponen, hay infinitas soluciones. Por ejemplo x = 1 e y = 0, o también x = 3 e y = 1, etc. El conjunto de soluciones S tiene elementos S = {(1, 0), (3, 1), (5, 2),...} Generalización para múltiples incógnitas 1. Los sistemas de ecuaciones lineales siempre pueden interpretarse como el problema de encontrar intersecciones. 2. Con dos incógnitas, intersección de rectas; con más incógnitas, intersección de planos. 3. Estos sistemas siempre tendrán una, ninguna o infinitas soluciones.

3 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 3 Ejemplo 1. El sistema de ecuaciones lineales 3x+2y z= 1 2x 2y+4z= 2 x+ y z= 0 corresponde a la intersección de tres planos. La única solución es x = 2 5 y = 3 5 z = 1 Qué es un sistema de ecuaciones lineales? Tenemos m núme- Definición 1 (sistema de ecuaciones lineales). ros b 1,..., b m. Y también m n números a ij, con 1 i m, 1 j n. Se buscan n números, x 1,..., x n, que satisfacen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 Figura 4: en general los sistemas de ecuaciones pueden representarse como colecciones de planos que se intersectan..... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m Esto es un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Forma matricial de un sistema Todo sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como el producto entre una matriz y un vector Ax = b A { }} { {}} {{ }} { a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x = b 2... a m1 a m2 a mn x n b m A es la matriz de los coeficientes. x el vector de las incógnitas. b es el vector de los coeficientes independientes. x b La matriz aumentada de un sistema Para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizaremos la matriz aumentada de coeficientes a 11 a 12 a 1n b 1 ( ) a 21 a 22 a 2n b 2 A b = a m1 a m2 a mn b m

4 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 4 En general representaremos los sistemas por su forma matricial Ax = b, o por medio de la matriz aumentada ( A b ). Ejemplo 2. Expresiones alternativas para el sistema Utilizando subíndices Como producto Ax = b ( Con su matriz aumentada ( x 2y = 1 3x + 2y = 11 x 1 2x 2 = 1 3x 1 + 2x 2 = 11 ) ( x 1 x 2 ) = ( ) 1 11 ) Método de eliminación Introducción al método de eliminación Volvamos al primer sistema que graficamos x 1 2x 2 = 1 ➊ 3x 1 + 2x 2 = 11 ➋ = x 1 2x 2 = 1 ➊ 8x 2 = 8 ➋ Ahora multiplicamos ➊ por 3 y se la sumamos a ➋. Luego de esta eliminación x 1 no aparece en la nueva segunda ecuación ➋. La segunda ecuación 8x 2 = 8 indica que x 2 = 1. x 2 Substituyendo hacia atrás resulta x 1 2 = 1, de donde x 1 = 3. La solución es (x 1, x 2 ) = (3, 1) 1 x 1 2x 2 = 1 3x 1 + 2x 2 = x 1 Interpretación geométrica de la eliminación x 1 2x 2 = 1 3x 1 + 2x 2 = 11 Figura 5: el sistema Ax = b puede interpretarse como la intersección entre dos rectas. Ax = b ( ) ( ) ( ) 1 2 x 1 1 = x 2

5 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 5 Operaciones elementales de fila x 1 2x 2 = 1 8x 2 = 8 Bx = c ( ) ( ) ( ) 1 2 x 1 1 = El método de eliminación consiste en hacer combinaciones lineales de las filas de Ax = b. Pueden utilizarse solamente tres operaciones elementales de fila: 1. multiplicación de una fila por un número c no nulo 2. reemplazo de la r-esima fila, por la fila r más c veces la fila s, con c = 0 y r = s 3. intercambio de dos filas. x 2 1 x 2 8x 2 = 8 x 1 2x 2 = Figura 6: el sistema Bx = c es equivalente al sistema original Ax = b, y puede interpretarse también como la intersección entre dos rectas. Aunque una de las rectas a cambiado, el punto de intersección es el mismo! x 1 Definición 2. Dado un sistema Ax = b, todo sistema Bx = c que se obtenga aplicando las operaciones elementales de fila se denomina sistema equivalente al original. Por qué funciona la técnica de eliminación? Bx = c se obtiene de Ax = b mediante operaciones elementales de fila. Entonces, Ax = b y Bx = c son equivalentes. Teorema 1. Si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, tienen exactamente las mismas soluciones. Entonces Ax = b y Bx = c tienen las mismas soluciones. Pero Bx = c es más fácil de resolver! Repaso de ideas clave 1. Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse siempre como Ax = b. 2. Cada ecuación de Ax = b se corresponde a una recta (si n = 2) o un plano (si n 3). 3. Utilizando operaciones elementales de fila puede encontrarse un sistema equivalente fácil de resolver.

6 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 6 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas compatibles El método de eliminación de Gauss-Jordan: Ejemplo A (A b) = 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 2 4x 1 + 9x 2 3x 3 = 8 1x 2 + 1x 3 = 4 2x 1 3x 2 + 7x 3 = 10 4x 3 = 8 f 3 ( 2/2) f f 2 (4/2) f 1 Hemos encontrado una matriz triangular U. Los números 2, 1 y 4 son los pivotes de U. f 3 (1/1) f 2 Pero para resolver el sistema debemos continuar = (U c) 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 2 x 1 = 1 1x 2 + 1x 3 = 4 x 2 = 2 4x 3 = 8 x 3 = 2 (B c) = f 1 ( 6/4) f El sistema original es (1/2) f 1 (1/4) f 3 f 1 (4/1) f f 2 (1/4) f = (R d) x 1 + 4x 2 2x 3 = 2 4x 1 + 9x 2 3x 3 = 8 2x 1 3x 2 + 7x 3 = 10 El sistema equivalente es x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 2

7 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 7 El conjunto de soluciones S tiene entonces un solo elemento S = {( 1, 2, 2)} Entonces este sistema de ecuaciones lineales es 1. compatible (porque tiene solución) 2. determinado (porque tiene exactamente una única solución). El método de eliminación de Gauss-Jordan: Ejemplo B x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 1 x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 7 x 2 x 4 = 0 x 2 x 4 = 0 x 4 = 1 (A b) = f 2 f (1/9) f 3 Hasta aquí hemos eliminado hacia abajo. f 2 ( 2/1) f 1 f 3 (7/1) f Ahora debemos continuar eliminando hacia arriba = (B c) x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 1 x 1 x 3 = 3 x 2 x 4 = 0 x 2 = 1 x 4 = 1 x 4 = 1 (B c) = f 2 ( 1/1) f El sistema original es f 1 (1/1) f x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 7 x 2 x 4 = f 1 (3/1) f = = (R d)

8 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 8 El sistema equivalente es x 1 x 3 = 3 x 2 = 1 x 4 = 1 Claramente x 2 = 1 y x 4 = 1, pero de la primer ecuación no pueden determinarse x 1 ni x 3... Pero, simplemente dando un valor c a x 3, obtenemos x 1 = 3 + c El conjunto de soluciones S tiene entonces elementos S = {( 3 + c, 1, c, 1) para todo c R} Entonces este sistema de ecuaciones lineales es 1. compatible (porque tiene solución) 2. indeterminado (porque tiene infinitas soluciones). Matrices escalón Definición 3 (matriz escalón reducida por filas). Una matriz escalón R tiene las siguientes características 1. Cada escalón tiene altura uno. 2. Debajo de la escalera todos los elementos de la matriz son cero. 3. En cada esquina de un escalón aparce un número Toda columna que contiene un 1 en una esquina de un escalón tiene todos los demás elementos nulos. Rango de una matriz Definición 4 (rango de una matriz). El rango de cualquier matriz A es igual al número de filas no nulas que tiene su matriz escalón equivalente R reducida por filas. Ejemplo A (R d) = R y (R d) tienen 3 filas no nulas. ( ) Entonces rango(a) = rango (A b) = 3. Ejemplo B (R d) = R y (R d) tienen 3 filas no nulas. ( ) Entonces rango(a) = rango (A b) = 3.

9 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 9 Sistemas incompatibles El método de Gauss-Jordan: Ejemplo C x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + (2/3)x 3 = 0 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 x 2 (1/3)x 3 = 0 2x 1 2x 2 + 2x 3 = 3 0= 1 (A b) = (1/3) f El sistema original es /3 2/3 El sistema equivalente es f 2 (2/1) f 1 f 3 (2/1) f f 1 (1/3) f 3 f 2 ( 2/3) f 3 x 1 x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 2x 1 2x 2 + 2x 3 = 3 x 1 + (2/3)x 3 = 0 x 2 (1/3)x 3 = f 1 + f /3 1/ /3 2/ / / = = (R d) Claramente la tercer ecuación tiene siempre valor lógico falso, ya que 0 = 1... El conjunto de soluciones S no tiene entonces ningún elemento S = Entonces este sistema de ecuaciones lineales es 1. incompatible (porque no tiene ninguna solución) Ejemplo C (R d) = R tiene 2 filas no nulas / /

10 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 10 (R d) tiene 3 filas no nulas. Entonces A tiene rango 2 pero (A b) tiene rango 3... Teorema 2 (Rouche-Frobenius). Sea r el rango de A, q el rango de (A b) y n el número de incógnitas, entonces el sistema Ax = b será: 1. compatible determinado si y solo si r = q = n 2. compatible indeterminado si y solo si r = q < n 3. incompatible si y solo si r < q. Repaso de ideas clave 1. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan a una matrix A podemos encontrar su matriz escalón R equivalente. 2. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan a una matrix (A b) podemos resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales Ax = b. 3. El rango de A es igual a la cantidad de filas no nulas de R. 4. Los sistemas de ecuaciones lineales tiene una, ninguna o soluciones.

11 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 11 Trabajo práctico 1. Encontrar todas las soluciones (si existen) de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan, y utilizando exclusivamente notación matricial a) x 1 + x 2 = 1 x 1 x 2 = 1 b) x 1 + x 2 = 1 2x 1 + x 2 = 0 Pista: comience por escribir la correspondiente matriz ampliada (A b). 2. Utilizar operaciones elementales de fila para encontrar las matrices escalón equivalentes a las siguientes matrices. Cual es el rango de cada matriz? a) c) b) d) Encontrar todas las soluciones (si existen) de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan, y utilizando exclusivamente notación matricial a) 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 + x 3 = 0 3x 1 x 2 + 2x 3 = 2 b) x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 1 x 1 + x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 1 c) 2x 1 x 2 + 3x 3 = 9 3x 1 5x 2 + x 3 = 4 4x 1 7x 2 + x 3 = 5 d) 3x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 = 7 2x 1 2x 2 + 5x 3 7x 4 = 1 4x 1 4x 2 + 7x 3 11x 4 = 13 e) x 1 + x 2 + x 3 = 3 2x 1 x 2 + 3x 3 = 4 3x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 2x 3 = 0 f) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 x 4 = 5 x 1 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 + 2x 2 = 0 Pista: comience por escribir la correspondiente matriz ampliada (A b).

12 tema 3: resolución de ecuaciones lineales 12 Ejemplos con Sage Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Calcular el rango de matrices # crear la matriz A A = matrix([(1,1,1),(1,-1,6),(-1,-1,-1)]) # calcular r = rango(a) r = A.rank() print "r =", r # la respuesta es r = 2 # crear la matriz B B = matrix([(1,1,1),(1,-1,6),(-1,-1,1)]) # calcular q = rango(b) q = B.rank() print "q =",q # la respuesta es q = 3 Determinar si un sistema es compatible o incompatible # crear la matriz A y el vector b A = matrix([(1,-1,1),(2,1,2),(2,-2,2)]) b = vector((1,0,3)) # crear la matriz aumentada B = A.augment(b) # guardar n y calcular los rangos n = A.ncols(); r = A.rank(); q = B.rank() print "El sistema es", if (r == q): else: if (r == n): else: print "compatible determinado." print "compatible indeterminado." print "incompatible." El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado y pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo y así obtener los resultados y los gráficos. Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para comprobar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico. Resolver un sistema por Gauss-Jordan # crear la matriz de los coeficientes A A = matrix([(2,4,-2),(4,9,-3),(-2,-3,7)]) # crear el vector independiente b b = vector((2,8,10)) # crear la matriz aumentada B = A.augment(b) # comprobar que el sistema es compatible # con la expresión rango(a) = rango(b) print A.rank() == B.rank() # si es compatible, la respuesta será "True" # encontrar la matriz escalón equivalente a B R = B.rref() # mostrar R para ver la solución print R