1 Objetivos. Conceptos básicos. 3 Teorema de Rouché-Frobenius. 4 Método de Gauss. 5 Ecuaciones matriciales. 6 Qué hemos aprendido?

Transcripción

1 Matemáticas Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Objetivos Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada phbe@ugres Grado en Finanzas y Contabilidad Curso Qué hemos aprendido? Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 1 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 2 / 28 Objetivos de esta lección Objetivos Ecuaciones lineales Ecuación lineal Una ecuación lineal es una expresión de la forma Clasificar y resolver sistemas de ecuaciones lineales usando: el teorema de Rouché-Frobemius para la clasificación y el método de Gauss para su resolución Resolver algunas ecuaciones matriciales sencillas a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b donde a 1, a 2,, a n son los coeficientes de la ecuación, b es un número real, y x 1, x 2,, x n son las incógnitas Ejemplo 2x 1 + 3x 2 = 5 es una ecuación lineal, que admite como soluciones una solución: x 1 = 1, x 2 = 1; otra solución: x 1 = 5 2, x 2 = 0 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 3 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 4 / 28

2 Ecuaciones lineales Cantidad de soluciones Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir de la siguiente forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Llamamos solución del sistema al conjunto de valores de las variables x 1, x 2,, x n que satisface todas las ecuaciones del sistema simultáneamente Ejemplo con varias soluciones 2x 1 2x 2 4x 3 = 10 4x 1 x 3 = 4 5x 1 x 2 3x 3 = 1 es un sistema de tres ecuaciones lineales y tres incógnitas que admite por soluciones una solución: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 4, otra solución: x 1 = 1, x 2 = 6, x 3 = 0 Ejemplo de sistema sin solución: { 2x1 +x 2 = 0 2x 1 +x 2 = 1 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 5 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 6 / 28 Cantidad de soluciones Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo con solución única: x 1 = 1 2x 1 +x 2 = 4 x 2 x 3 = 0 Número de soluciones En general un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener: ninguna solución, una única solución, infinitas soluciones Diremos que un sistema de ecuaciones lineales es Incompatible si no tiene ninguna solución Compatible si tiene alguna solución: Compatible determinado si tiene una única solución Compatible indeterminado si tiene más de una solución (en este caso siempre tiene infinitas soluciones) Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 7 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 8 / 28

3 Sistemas homogéneos Notación matricial Un sistema de ecuaciones lineal se dice homogéneo si los términos independientes, b 1, b 2,, b m son 0: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Los sistemas homogéneos son compatibles (determinados o indeterminados) ya que una solución es: x 1 = 0, x 2 = 0,, x n = 0 Dado el sistema de m ecuaciones con n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Llamamos matriz de coeficientes del sistema a la matriz a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M m n a m1 a m2 a mn Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 9 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 10 / 28 Notación matricial Notación matricial Llamamos matriz de términos independientes del sistema a la matriz columna b 1 b 2 B = M m 1 Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 (A B) = M m (n+1) a m1 a m2 a mn b m b m Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 11 / 28 Llamamos matriz de incógnitas a la matriz columna x 1 x 2 X = M n 1 x n NOTA: Cuando tratamos con pocas variables se suelen llamar x, y, z, t, Entonces el sistema puede ser expresado de forma equivalente en forma matricial como AX = B Ejemplo { x1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 3x 2 + 2x 3 = 2 ( ) 1 x x 2 = x 3 ( ) 1 2 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 12 / 28

4 Resolución (en algunos casos) Solución cuando la matriz de coeficientes tiene inversa Para el sistema de ecuaciones lineales AX = B si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, entonces la solución es X = A 1 B Se obtiene despejando la matriz de incógnitas: AX = B A 1 AX = A 1 B X = A 1 B Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 13 / 28 Resolución (en algunos casos) Ejemplo: Para el sistema x + y z = 0 x y + 2z = 3 x + z = la matriz A = y B = A tiene inversa: A 1 = por lo que la solución es X = = es decir: x = 1, y = 6, z = 5 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 14 / 28 Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas con matriz de coeficientes A y matriz ampliada (A B), se verifica: El sistema es incompatible si y solo si rg(a) < rg(a B) El sistema es compatible si y solo si rg(a) = rg(a B) En este caso es: Compatible determinado si y solo si rg(a) = rg(a B)= n Compatible indeterminado si y solo si rg(a) = rg(a B)< n En este caso la solución dependerá de n rg(a B) parámetros Ferdinand Georg Frobenius ( ) Ejemplo 1 2x 2y 4z = 10 4x z = 4 5x y 3z = 1 tiene como matriz ampliada (A B) = equivalente a / que es Por lo cual rg(a) = 2 < rg(a B) = 3 : por lo tanto este sistema es incompatible, y no tiene ninguna solución Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 15 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 16 / 28

5 Ejemplo 2 2x 2y 4z = 10 4x z = 4 5x y + 3z = 1 tiene como matriz ampliada a (A B) = equivalente a / / que es Por lo cual rg(a) = rg(a B) = 3 = n o de incógnitas, por lo tanto este sistema es compatible determinado Ejemplo 3 2x 2y 4z = 10 4x z = 4 5x y 3z = 1 tiene como matriz ampliada a (A B) = equivalente a / que es Por lo cual rg(a) = rg(a B) = 2 < n o de incógnitas= 3, por lo tanto este sistema es compatible indeterminado La solución dependerá de 3 2 (n o incógnitas-rango) parámetros Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 17 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 18 / 28 Propiedad Si hacemos transformaciones elementales por filas en la matriz ampliada de un sistema, las soluciones del sistema son exactamente las mismas Consideremos un sistema de ecuaciones lineales AX = B y una matriz escalonada C equivalente a la matriz ampliada (A B) Entonces el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es C tiene la misma solución que el de partida Ejemplo 1 x +3y = 3 2x +4y z = 2 Aplicamos transformaciones elementales para obtener una matriz escalonada equivalente a la matriz ampliada del sistema: F 2 =F 2 +F 1 (A B) = F =F 3 2F F 3 =2F F 3 =F 3 F Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 19 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 20 / 28

6 Ejemplo 1 (continuación) : rango(a B) = rango(a) = 3 por lo que el sistema es compatible determinado Además los dos sistemas tienen las mismas soluciones x +3y = 3 2x +4y z = 2 pero el 2 o es mucho más fácil de resolver 4y +2z = 8 12z = 24 Ejemplo 1 (continuación) 4y +2z = 8 12z = 24 Ahora resolvemos las ecuaciones desde la inferior a la superior: De la tercera ecuación: z = 2 De la segunda ecuación y el valor obtenido de z: 4y + 2z = 8 y = 1 De la primera ecuación y los valores obtenidos de y, z: x + y + 2z = 5 x = 0 Por tanto, la solución del sistema es x = 0, y = 1, z = 2 También se puede escribir (0, 1, 2) Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 21 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 22 / 28 Ejemplo 2 { x +2y z = 2 2x +3y +2z = 1 Buscamos la matriz escalonada equivalente de la matriz ampliada: (A B) = ( ) F2 =F 2 2F 1 y el teorema de Rouché-Frobenius nos dice que como rg(a B) = rg(a) = 2 ( el sistema es compatible indeterminado y la solución dependerá de un parámetro (número de incógnitas rango) Los parámetros se pueden tomar como las incógnitas en las que NO han salido pivotes Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 23 / 28 ) Ejemplo 2 (continuación) { x +2y z = 2 El sistema equivalente es y +4z = 3 Así, resolviendo de abajo a arriba: La segunda ecuación solo liga la 2 a y 3 a incógnitas, pero no fija ninguna de ellas Elegimos la que no es del pivote como parámetro: z De la segunda ecuación: y = 3 + 4z De la primera ecuación: x + 2y z = 2 x = 4 7z Por tanto la solución del sistema de ecuaciones es: x = 4 7z, y = 3 + 4z, z R También se puede escribir Cuestión de gustos {( 4 7z, 3 + 4z, z), z R} Se puede elegir como parámetro otra letra: z = λ, y = 3 + 4λ, x = 4 7λ Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 24 / 28

7 Queremos estudiar ecuaciones en las que las operaciones que aparecen son matriciales y la incógnita es una matriz Ejemplo: La ecuación: con A = ( ) 2 3, B = 3 1 AX + B = C ) y C = ( y X la matriz incógnita de orden 2 2 ( ) Reglas básicas Las reglas para despejar X son las mismas que para ecuaciones con números reales, salvo que hay que tener especial cuidado por la no conmutatividad del producto: A + X = B X = B A si A tiene inversa: AX = B X = A 1 B ya que si AX = B, multiplicando a la izquierda por A 1 : A 1 AX = A 1 B y simplificando: IX = A 1 B y finalmente X = A 1 B si A tiene inversa: XA = B X = BA 1 por el mismo motivo, pero multiplicando por A 1 a la derecha Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 25 / 28 Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 26 / 28 Qué hemos aprendido? Qué hemos aprendido? Ejemplos: Con matrices cuadradas A, B, C del mismo orden e incógnita X también del mismo orden: AX + B = C AX = C B X = A 1 (C B) = A 1 B A 1 C si es que A tiene inversa XA + B = C XA = C B X = (C B)A 1 = BA 1 CA 1 si A tiene inversa AX + B = X + C AX X = C B AX IX = C B (A I)X = C B X = (A I) 1 (C B) si A I tiene inversa Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 27 / 28 Hemos aprendido a escribir sistemas de ecuaciones lineales, en su forma matricial Hemos aprendido a clasificar sistemas de ecuaciones lineales en incompatibles, compatibles determinados y compatibles indeterminados, mediante el teorema de Rouché-Frobenius Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss Philippe Bechouche Lección 6: Sistemas de ecuaciones lineales 28 / 28