Álgebra y Geometría Analítica 4-Sistemas de ecuaciones lineales. Resumen

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1 Álgebra y Geometría Analítica 4-Sistemas de ecuaciones lineales Docente: Ernesto Aljinovic Resumen Sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas (Sistema de n m) Forma matricial del sistema Matriz ampliada del sistema Sistema homogeneo asociado a a 2 a m a n a n2 a nm a x + a a m x m = b a 2 x + a a 2m x m = b 2 a n x + a n2 + + a 2m x m = b 2 } {{ } A=matriz de coeficientes a a 2 a m b b 2 a n a n2 a nm b n a a 2 a m a n a n2 a nm x x m } {{ } X b b 2 = x x m b n } {{ } b = A X = b A X = Operaciones de Gauss por filas de una matriz Intercambiar 2 filas (elemental) Multiplicar una fila por un número distinto de cero (elemental) A una fila, sumarle un multiplo de otra fila (elemental) A un multiplo no nulo de una fila, sumarle un multiplo de otra fila (no elemental) Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones Al utilizar operaciones de Gauss sobre las filas de la matriz ampliada de un sistema, obtenemos otra matriz ampliada de un sistema equivalente

2 Matriz escalonada en las filas reducida (Matriz reducid Es una matriz que cumple con lo siguiente: Las filas de ceros están abajo El primer elemento no nulo de cada fila es un uno (unos principales) Cuanto más abajo la fila, más a la derecha su uno principal En las columnas que tengan unos principales, los demás elementos son Tipos de sistemas Incompatible: No tienen solución Compatible determinado: Tiene una única solución Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones Propiedad Si X, X 2, son soluciones del sistema S b : A X = b, Y, Y 2 son soluciones del sistema homogeneo asociado S : A X = y k, k 2 R, entonces: k Y es solución de S Y + Y 2 es solución de S k Y + + k j Y j es solución de S X X 2 es solución de S X + Y es solución de S b X + k Y + + k j Y j es solución de S b Si A C n n es equivalente por filas a I, entonces llamamos inversa de A a la única matriz A tal que A A = A A = I Dicha matriz se encuentra mediante el siguiente esquema de reducción: (A I) (I A ) { 2x 3y = 4 3x + y = 2 { 2x 4y = 8 3x + 6y = 2 { x + 3 = 7 2x 6 = 4 Ejercicios Ejercicio Expresar en forma de ecuación matricial a los siguientes sistemas: 2 d) e) f ) 2x 3y + 2z = 3x + y + 4z = /2 2x + y 4z = 3x 2 + 2x 3 = x + 2 = 2 3x x 3 = 4x 3 + 2x 3 = 3 2x x 3 = 2x + + 7x 3 = 3

3 { 2x + 4y 3z + 2w = g) x + 2y + 4z w = x + 2 3x 3 + 2x 4 = 3 h) 2x + 2x 3 x 4 = 3x 2 + 4x 3 x 4 = i) 2x y = 4 3x + 7y = 2 x 7y = 6 x 2y = j ) {x + 3y 2z = Ejercicio 2 Resolver los sistemas de ecuaciones lineales del ejercicio llevando sus matrices ampliadas a la forma escalonada en las filas reducida e indicando que tipo de sistemas son Si el sistema es compatible determinado, comprobar la solución encontrada Si el sistema es compatible indeterminado, dar dos soluciones y verificarlas Ejercicio 3 Resuelva los sistemas homogeneos asociados a los sistemas del ejercicio Cuantos fueron incompatibles? Explique Ejercicio 4 Resolver los siguientes sistemas en forma simultanea 4x 3 + 2x 3 = 3 2x x 3 = 2x + + 7x 3 = 3 4x 3 + 2x 3 = 2x x 3 = 2x + + 7x 3 = 3 d) Ejercicio Encuentre una matriz X tal que A X = B, siendo: A = 2 B = x 3 + 2x 3 = 2 2x x 3 = 2 2x + + 7x 3 = 8 4x 3 + 2x 3 = 2x x 3 = 2x + + 7x 3 = Ejercicio 6 Exprese el siguiente sistema en forma de ecuación matricial y luego resuelvalo x + 2y iz = 2 2x + y + ( i)z = 9 + 8i x 3iy + 3z = 26 i Ejercicio 7 Encuentre a, b, c y d tales que: ( 2a c ) b 2a a + c 3b + d ( b + d c d = 3 a + 3d ) ( Ejercicio 8 Resuelva los siguientes sistemas no lineales en R utilizando lo que aprendió para sistemas lineales: 2 y 2 + 2z 2 = 3 + 2y 2 + z 2 = y 2 4z 2 = 2 2 3y z 2 = y + 4z 2 = y 4z 2 = 39 ) 2 3y 2 2z 2 = 3 + y 2 + 4z 2 = 2 + y 2 4z 2 = 24 3

4 Ejercicio 9 Si A y B son matrices de R 2 2, utilizar operaciones elementales para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales matricial ( ) A 3B = ( 3 3 ) 3 2A B = Ejercicio Si P (x), Q(x) C[x], utilizar operaciones elementales para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales polinomial { 2P (x) 3Q(x) = 3x + 8 6x 3 + 2x 4 P (x) + 2Q(x) = + 2x + 3x 3 x 4 Ejercicio Sean 2 3, 2 y 4 2 tres soluciones del sistema A x = Determine el tamaño de la matriz A Encuentre 2 soluciones del sistema A x = Encuentre dos soluciones mas del sistema original d) Encuentre dos soluciones del sistema A x = 3 Ejercicio 2 Hallar en caso que sea posible las inversas de las siguientes matrices: ( ) ( ) A = B = ( ) i C = d) D = i e) E = 4 f ) F = Ejercicio 3 Resolver los siguientes sistemas utilizando lo que obtuvo en el ejercicio anterior ( ) ( ) ( ) 3 = 4 3 y ( ) ( ) ( ) 2 i x = 2 + i y 2 4 x 4 y = 3 z

5 Ejercicio 4 Optativo Determinar para que valores de k, los siguientes sistemas son compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles { k 2 x + y = x + y = k kx ( + 4k)y + z = 2 + k (2 3k)y + 9kz = 3 + k ( 4 k 2 ) z = k 2 d) k 2 k k 9 k 2 + 4k + k + 2 k k + 2 2k k k 2 2 x x 3 = k 4 x x 3 = k + 4 k + 4 k + 4 Teóricos Sea S : A X = un sistema de n m, y X, X 2 dos soluciones Demostrar que si k R, entonces: k X es solución de S X + X 2 es solución de S 2 Sea S b : A X = b un sistema de n m, y X, X 2 dos soluciones Sean también S : A X = y X 3 una solución Demostrar que: X X 2 es solución de S X + X 3 es solución de S b 3 Describa con sus palabras y en forma precisa cuales son las tres operaciones elementales entre ecuaciones de Gauss y que es lo que permite que estas operaciones sean útiles en la resolución de sistemas de ecuaciones 4 Demostrar que si A, B C n n son inversibles y k C, entonces (A B) = B A ( A t) = ( A ) t (A ) = ( A ) d) A = A e) (ka) = k A Es cierto que si dos matrices son inversibles la suma también lo es? Si es cierto demuestrelo y si no encuentre un contraejemplo 6 Es cierto que si dos matrices cuadradas no son inversibles la suma tampoco lo es? Si es cierto demuestrelo y si no encuentre un contraejemplo 7 Es cierto que toda matriz cuadrada no nula tiene inversa? Justifique su respuesta y de un ejemplo claro en matrices de 2x2 8 Explicar porque al utilizar operaciones elementales de Gauss sobre las filas de I, nunca puede anularse una fila

6 9 Demostrar que si S : A X = b es un sistema de ecuaciones cuadrado, entonces: A es inversible = S tiene una única solución Responder verdadero o falso En caso que sea falso explicar porque Un sistema lineal de ecuaciones con mas incognitas que ecuaciones siempre es compatible indeterminado Un sistema lineal homogéneo de ecuaciones con mas incognitas que ecuaciones siempre es compatible indeterminado Que un sistema de ecuaciones lineales y homogéneo tenga solución no trivial significa que es compatible indeterminado d) Hay sistemas que son incompatibles indeterminados e) Si A B es inversible, entonces lo son A y B f ) Sea S un sistema de ecuaciones y S 2 el mismo sistema S al cual se le agrega una ecuación más Sea A el conjunto solución de S y B el conjunto solución de S 2 Entonces se cumple que B A 6