( ) ( ) Si a = 1, Rang A = 2 Rang A = 3 sistema incompatible. Si a = 0, Rang A = Rang A = 2 sistema compatible indeterminado

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Discutir y resolver el sistema según los valores del parámetro a: x + y + z 1 x + y + az a x + y + az a ; Si a 0 y a 1, Rang A Rang A sistema incompatible Si a, Rang A Rang A sistema compatible indeterminado Si a 1, Rang A Rang A 1 sistema compatible indeterminado. λ λ a y λ ; a 1 y µ z 1 z 1 λ µ. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro a y resolverlo en los casos de compatibilidad. + 3y + az ay z ax + ay + az a Si a 0 y a 1, Rang A Rang A 3 sistema compatible determinado Si a, Rang A Rang A sistema compatible indeterminado Si a 1, Rang A Rang A 3 sistema incompatible a + a x 9 ( a 1) ( a 3) a 0, a 1 y ( a 1) z a ( a 1) a 4a 6 3 x λ ; a y λ z I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 1

2 3. Resolver los sistemas siguientes: 3x y + z + y 3z 1 3x + 7 y + 6z 5t 8 x y 4z 1 x 3y z 4t x + 3y + 4z t a) b) c) x + y 6z 1 y z + t 3 x y + z + 3t 4 5x y 15 x t 10 3x + y + 6z + t 6x 9 y + 3y + 4z 3x + y z + t d ) 4x + 6y e) x + 10y + 3z f ) 7x y + z + 4t x 3y 4x 5y 7z y z + t + y + 3z 1 + y z + t x + z x + y z t 4 g) h) x y + z + t 1 i) x + y 1 3x y + z + t x + y z + t x + y z Soluciones: a) incompatible b) x, y, z 15, t c) x λ µ, y + µ, z λ, t µ d ) x λ, y λ e) ( x, y, z ) f ) x λ, y λ, z λ, t λ g) incompatible h) incompatible i) x + λ, y + λ + µ, z λ, t µ Encontrar los valores del parámetro a para que el siguiente sistema tenga soluciones distintas de la trivial. ay z ( a) x + 5y + z 4x + y + ( 5 + a) z a ; a + ; a x + by + cz 5. Demostrar que el sistema ax y + cz ax + by z que a 1 + b 1 + c admite solución distinta de la trivial, si se verifica I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag.

3 6. Determinar, si existe, el valor del parámetro a para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado. 3x y + z 1 x + y az y z Para a el sistema es incompatible, para a el sistema es compatible determinado. 3 3 En ningún caso el sistema es compatible indeterminado. 7. Estudiar el sistema según los valores de los parámetros a y b ax + by + z 1 x + aby + z b x + by + az 1 Si b 0, a 1 y a, Rang A Rang A 3 sistema compatible determinado Si a 1, b 1, Rang A 1 Rang A sistema incompatible Si a 1, b 1, Rang A Rang A 1 sistema compatible indeterminado Si a, b, Rang A Rang A 3 sistema incompatible Si a, b, Rang A Rang A sistema compatible indeterminado Si b, a 1, Rang A Rang A 3 sistema incompatible Si b, a 1, Rang A 1 Rang A sistema incompatible 8. Resolver el sistema de ecuaciones: + y + z + 3t 6 x + 4 y + 3z + 5t 10 x + y z λ µ y λ Rang ( A) Rang ( A) sistema compatible indeterminado z µ t µ I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 3

4 9. Discutir y resolver el siguiente sistema, para los distintos valores reales del parámetro k ky + z 1 x + 3y + z k + 3 kx + ky + ( k + 1) z 1 Si k y k 3, Rang A Rang A 3 sistema compatible determinado Si k, Rang A Rang A sistema compatible indeterminado Si k 3, Rang A Rang A 3 sistema incompatible k + k x 1 1 k + 3 x λ k + Para k y k 3 y ; para k y k + 3 z λ k 3k 3 z k Discutir el siguiente sistema, para los distintos valores reales del parámetro k kx + y + z 1 x + ky + z 1 x + y + kz 1 x + y + z k Si k 1 y k 3, Rang A < Rang A 4 sistema incompatible Si k 1, Rang A Rang A 1 sistema compatible indeterminado Si k 3, Rang A Rang A 3 sistema compatible determinado 1 λ µ Para k 3 ( x 1, y 1, z 1 ) ; para k 1 y λ z µ 11. Demostrar que un sistema de n ecuaciones lineales con ( n 1) incógnitas es incompatible si A 0 1. Comprobar que si ( ) s1, s, s3,..., s n es solución de un sistema homogéneo, entonces también lo es ( s s s s s s s s ) λ + µ, λ + µ, λ + µ,..., λ + µ, λ, µ R n n I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 4

5 13. Discutir el sistema para los distintos valores de los parámetros m y n x + my + m z 1 x + my + mnz m nx + m y + m nz m n Si m 0 y m n, Rang A Rang A 3 sistema compatible determinado Si m, Rang A 1 Rang A sistema incompatible Si m n 1, Rang A Rang A 1 sistema compatible indeterminado Si m n, m 1, Rang A 1 Rang A sistema incompatible 14. Estudiar y resolver, en su caso, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 3y + z t 1 y + z + t x + z + t x + y z + t 8 a) b) x + 6y + 3z + 7t x + y + z t 6 x 3y t 1 x + y + z + t 4 3y + z + 3t 1 x + y + z t c) d ) y x y z t z 15. Estudiar y resolver, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ax + y + z y + z a) 3x z b) x + ay z 0 x z 4 + 3x 5y + z 3 ax + y + z a ( a 1) x ( a 1) y ( a 1) + + x y + z 1 c) d ) ( a 1) x ( a 1) y a 1 3x y z 1 + 6x y + z 3a I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 5

6 ax + z ax + y + z e) ay z a f ) x + ay x 3y z x + az y y + 4z a ( a + ) x + ( a + 3) y 6 g) 3x + 4 y z h) ( 3a 1) x 3ay 4 ax y z x y + z 3a 7x 7 y + z 13 ax + ay + z 1 i) x 5y z 9 j) x + ay + z a 4x + y z a x + y + az a x + y z ( a + ) x + ay + z a ax + y + z 1 k) x + ( a) y l) x y + 3z 3 ( a + 1) x + ( a + 1) z a 4x + y a 16. Discutir y resolver, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: + y + z ax + ( a b) y a + b 3 x + y + z 3 a) b) 5x + 4 y 1 x + 3y + az 1 x + y + z b mx + y n + y + z 1 c) x + my n d ) ax + y + z 1 x y 1 + x + ay + bz 1 ax + y + z a y z 3a + 3b x + ay z 1 x y 1+ a + b e) f ) 3x + bz + y bx + ay b a 6 x y z 1 ax + by a b + 6 I.E.S. Pedro de Tolosa. Matemáticas II Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 6