DP. - AS Matemáticas ISSN: X DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS

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1 DP. - AS Matemáticas ISSN: X 3 DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS Dado el sistema de ecuaciones: (a) Discute su compatibilidad según los valores de. (b) Resuélvelo para = 3. x + y + z = x + y + z = x y + z = apartado a Estudiamos la compatibilidad del sistema de ecuaciones por el método de Gauss: ( ) () ( ) () BS Fijamos la ª y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha y = y = Analizamos la ª fila: Analizamos la ª fila: x + y + z = x + + = x + + = x = + x = Siempre es un será un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO R apartado b comprobación: de solución general: (,, ) Para = 3 (,, ) x = ; y = ; z = y = x = PAU Oviedo J z = TIPO 6 z = a Discutir y resolver, usando el método de Gauss, el siguiente sistema, que depende del parámetro "a". ( ) () a a ( ) () x y 4z = 4x + 6y az = x + y + az = B Fijamos la ª fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha.

2 Abel Martín ( 5) () 5 4 a a Fijamos la ª y ª filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda. 4 a 8 5a a + 48 = ( ) z = 8 ( ) z = a = a = 8/9 a = 8/9 = 8 Sistema INCOMPATIBLE a 8/9 Ponemos un ejemplo: a = 9 z = 8/98 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO AMPLIACIÓN: ( ) = 8 z = 8 Analizamos la ª fila y + ( a )z = 8 y + ( a ) = 8 y = ( a ) 8a 84 y = 8a 84 y = ( ) Analizamos la ª fila x 3 y 4z = y = 9a 5 x 3 9a = x = + 3 9a x = + 57a x = SOLUCIÓN GENERALIZADA: 86a ( ) x = 43a + 3, 86a a 5, x = 8 43a + 3 DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS

3 DP. - AS Matemáticas ISSN: X a = 8/9 SISTEMA INCOMPATIBLE a 8/9 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "K" por dichos valores en el sistema del enunciado, si las respuestas obtenidas son las esperadas en la solución generalizada: a = 8/9 a 8/9 Por ejemplo a = a 8/9 por ejemplo a = Como se puede observar, se confirman todos nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL. TIPO z = Discutir y resolver, usando el método de Gauss, el siguiente sistema, que depende del parámetro "a". x + y + z = 3x + z = ax + z = Colocamos las ecuaciones de forma que el parámetro quede lo más abajo y a la derecha posible: y z x nº ( ) 3 () a Fijamos la ª y ª filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda. y z x nº 3 a B a = 3 AMPLIACIÓN: Analizamos la ª fila z + 3x = (a 3) x = a { x = a 3 = = Infinitas soluciones SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Analizamos la ª fila y + z + x = z = 3x 5x y = z x y = ( 3x) x y = 6x x y = a = 3 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO 5x Solución generalizada: (x,, 3x) y 6y Otra solución generalizada: (, y, )

4 Abel Martín z 5z Otra solución generalizada: (, 3 6, z) a 3 (a 3) x = Ponemos un ejemplo: a = ( 3) x = x = SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO con solución TRIVIAL x = ; y = ; z = (,, ) que es la que corresponde a los sistemas homogéneos a = 3 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO a 3 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "a" por dichos valores en el sistema del enunciado, si las respuestas obtenidas son las esperadas en la solución generalizada: a = 3 SOLV F La calculadora gráfica no es capaz de resolver sistemas incompatibles a 3, por ejemplo a = SOLV F La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado. TIPO 4 Como se puede observar, se confirman todos nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL. z = Discutir y resolver, si es posible, en función del parámetro el sistema de ecuaciones siguiente. Justificar la respuesta. x y + z = x + ( + ) y + z = x + y + ( + ) z = BS PAU Extrem J Colocamos las ecuaciones de forma que el parámetro quede lo más abajo y a la derecha posible: ( ) ( ) () + + () Fijamos la ª fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. ( ) ( + ) + Fijamos la ª y ª filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS 4

5 DP. - AS Matemáticas ISSN: X = ; = - AMPLIACIÓN: Para = Para = - + ( + ) (+ ) z = (+ ) = = ; = - z = INFINITAS SOLUCIONES SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Analizamos la ª fila ( + ) y + z = *OJO = y = Analizamos la ª fila x y + z = x = y z x = - z (- z,, z) Analizamos la ª fila ( + ) y = y = Infinitas soluciones Analizamos la ª fila x y + z = x = y z (y z, y, z) Biparamétrico y = x = - z 7 ; - (+ ) z = Ponemos un ejemplo: = z = z = SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO DE SOLUCIÓN TRIVIAL = - SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (y - z, y, z) = SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (- z,, z) ; - SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO DE SOLUCIÓN TRIVIAL. PARÁMETROS CON MÁS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS Discutir y resolver, usando el método de Gauss, el siguiente sistema, que depende del parámetro "m". x + y = 3 x y = x + y = m Colocamos las ecuaciones de forma que el parámetro quede lo más abajo y a la derecha posible: ( ) 3 ( ) () Fijamos la ª fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. m () 5 B

6 Abel Martín 3 ( 3) 5 (5) m 6 Fijamos la ª y ª filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda m 4 Al tratarse de un caso particular donde aparecen incógnitas y 3 ecuaciones, necesitamos ecuaciones y una tercera que verifique los valores de las incógnitas de las otras dos. Conseguimos que la tercera ecuación sea del tipo y = y resolvemos el sistema con las primeras. 5m 4 = m = 4/5 Analizamos la ª fila: 5y = Analizamos la ª fila x + y = 3 x = 3 5 m = 4/5 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO de solución (/5, /5) m 4/5 Ejemplo: m = y = 5 4 = 5 4 = 6 SISTEMA INCOMPATIBLE m = 4/5 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: (/5, /5) m 4/5 SISTEMA INCOMPATIBLE y = /5 x = /5 RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA No podemos entrar directamente en el menú EQUA ya que se trata de un sistema con más ecuaciones que incógnitas. Vamos a comprobar con la calculadora gráfica las soluciones, sustituyendo "m" por dichos valores en el sistema del enunciado y observando la representación gráfica de las 3 rectas resultantes: m = 4/5 Tienen un punto en común: SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS m 4/5, por ejemplo k = No tienen ningún punto en común: SISTEMAS INCOMPATIBLES Como se puede observar, se confirman todos nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL. DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS 6