SISTEMAS DE ECUACIONES DE ENUNCIADO VERBAL CON 3 INCÓGNITAS
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- Francisco José Calderón Martin
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1 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones SISTEMAS DE ECUACIONES DE ENUNCIADO VERBAL CON 3 INCÓGNITAS 06 Por tres entradas de patio y seis de palco se han pagado 95 euros. Estudiar los casos en los que se han pagado también: (a) euros por dos entradas de patio y dos de palco. (b) 305 euros por una entrada de patio y dos de palco. (c) 66. euros por dos entradas de patio y dos de palco. Calcula los precios de cada localidad en los casos en que esto sea posible. RESOLUCIÓN apartado (a) x "Precio, en euros, de la entrada de patio". y "Precio, en euros, de la entrada de palco". PLANTEAMIENTO apartado a 3x + 6y = 95 2x + 2y = En este caso el precio de la entrada de patio es de 2.02 euros, mientras que el precio de la entrada de palco es de 9.02 euros. RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL ( 2) ( 3) Fijamos la ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda RESOLUCIÓN apartado (b) PLANTEAMIENTO apartado b: y = y = y = 6 y = 9.05 OJO 9.05 = 9.02 euros 3x = 95 3x = 95 3x = x = = x = x + 6y = 95 x + 2y = 305 Abel Martín & Marta Martín Sierra -
2 Problemas de enunciado verbal con sistemas ecuaciones lineales Para este caso existen infinitas soluciones; todos aquellos pares de valores (x, y) que verifiquen 3x + 6y = 95, siendo x el precio, en euros, de la entrada de patio e y el precio, en euros, de la entrada de palco. RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL: ( ) ( 3) Fijamos la ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y = 0 0 = 0 INFINITAS soluciones 3x + 6y = 95 3x = 95 6y 9 5 6y x = 3 Algunas soluciones podrían ser: (205, 2) (24.05, 3) Para este caso existen infinitas soluciones; todos aquellos pares de valores (x, y) que verifiquen 3x + 6y = 95, siendo x el precio, en euros, de la entrada de patio e y el precio, en euros, de la entrada de palco. Podríamos citar algunos ejemplos: Precio de la entrada de patio, euros; de palco, 2 euros. Precio de la entrada de patio, euros; de palco, 3 euros, etc. RESOLUCIÓN apartado (c) PLANTEAMIENTO apartado c 3x + 6y = 95 2x + 2y = 66. En el contexto del problema, nunca podrían producirse, simultáneamente, los datos del enunciado en este apartado (c) ya que las soluciones tienen que ser números positivos. RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL: ( 2) ( 3) Fijamos la ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda 2 con 3 incógnitas
3 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones y = y = 8.03 y = y = 3.0 3x + 6y = 95 3x + 6( 3.005) = 95 3x = x = Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres formatos distintos A, B y C. Las cajas de tipo A tienen un peso de 250 gramos y un precio de 6 euros, las de tipo B pesan 500 gramos y su precio es de.08 euros, mientras que las C pesan kilogramo y cuestan.98 euros. A una farmacia se le ha suministrado un lote de 5 cajas, con un peso de 2.5 kilogramos, por un importe de 5.35 euros. Cuántas cajas de cada tipo ha comprado la farmacia? x "Número de cajas del tipo A" y "Número de cajas del tipo B" z "Número de cajas del tipo C" x + y + z = 5 25x + 5y + z = 2.5 6x +.08y +.98z = 5.35 A la vista de los resultados, no se podrían dar simultáneamente las circunstancias del enunciado ya que obtenemos números NO enteros y se supone que las cajas no se pueden fraccionar. RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL ( ) ( 4) ( 6) ( ) Fijamos la ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha Abel Martín & Marta Martín Sierra - 3
4 Problemas de enunciado verbal con sistemas ecuaciones lineales 5 ( 48) ( ) Fijamos la ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda z = 05 06z = z = 06 z = 83 y = 5 y = 5 y = y = 2.5 x = 5 x = x =.66 PAU Universidad de Oviedo Junio Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son tan solo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en 2 unidades al doble de los matriculados en la tercera. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. Analiza y comenta los resultados. x "Número de matriculados en la primera sucursal" y "Número de matriculados en la 2ª sucursal" z "Número de matriculados en la 3ª sucursal" z = 4 x x + y + z = 352 4z = x x y 2z = 2 Ecuaciones simplificadas x + y + z = 352 x 4z = 0 x y 2z = 2 4 con 3 incógnitas
5 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones La primera sucursal de la autoescuela tiene 200 alumnos, la segunda 02 y la tercera 50 alumnos. RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL ( ) 352 ( ) ( ) ( ) Fijamos la ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. 352 ( 2) ( ) Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: 7z = z = 7 z = 50 y 5z = 352 y 5 50 = 352 y = y = 02 y = 02 x + y + z = 352 x = 352 y z x = x = 200 SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 200 ; y = 02 ; z = Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 60 euros, 72 euros y 90 euros/kg, respectivamente. El importe total de la compra fueron 6.96 euros. El peso total de la misma es de 9 kg y, además compró kg más de naranjas que de manzanas. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad comprada de cada producto y resuelve el problema. x "Número de kilogramos de patatas compradas" y "Número de kilogramos de manzanas compradas" z "Número de kilogramos de naranjas compradas" Abel Martín & Marta Martín Sierra - 5
6 Problemas de enunciado verbal con sistemas ecuaciones lineales 6x + 72y + 9z = 6.96 x + y + z = 9 z y = Ecuaciones simplificadas 6x + 72y + 9z = 6.96 x + y + z = 9 y + z = 6 El ama de casa adquirió en el mercado 2 kilogramos de patatas, 3 kilogramos de manzanas y 4 kilogramos de naranjas. RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL ( 6) 9 ( ) Fijamos la primera y tercera filas y modificamos la segunda con las operaciones que se indican a la izquierda 9 ( ) ( 2) Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: z =.68 z = 4 SOLUCIÓN: 2y =.56 2y = y = 36 y = 36/2 x + y + z = 9 x = Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO con 3 incógnitas y = 3 x = 2
7 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones x = 2 ; y = 3 ; z = 4 0 Un grupo de 30 alumnos de 2º de Bachillerato realiza una votación a fin de determinar el destino de la excursión de fin de curso, entre los siguientes lugares: Baleares, Canarias y París. El número de los que prefieren Baleares triplica al número de los que prefieren París. El 40 % de los que prefiere Canarias coincide con la quinta parte de la suma de los que prefieren los otros dos lugares. Halla el número de votos que obtuvo cada destino. x "Número de votos que obtuvo Baleares" y "Número de votos que obtuvo Canarias" z " Número de votos que obtuvo París" x + y + z = 30 x = 3z 40 y = x + z 5 Ecuaciones simplificadas x + y + z = 30 x 3z = 0 2y = x + z Ecuaciones más simplificadas x + y + z = 30 x 3z = 0 x + 2y z = 0 El número de votos para Baleares, Canarias y París son, respectivamente, 5, 0 y 5 votos. Cinco amigos suelen tomar juntos el café. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3 euros. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3.25 euros. El tercer día, solo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2.45 euros. Calcula de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche. x "Precio del café" y "Precio del cortado" z "Precio del café con leche" 2x + 2y + z = 3 x + y + 3z = 3.25 x + 2y + z = 2.45 Abel Martín & Marta Martín Sierra - 7
8 Problemas de enunciado verbal con sistemas ecuaciones lineales Los precios del café, del cortado y del café con leche son, respectivamente, 55, 60 y 70 euros. PAU Baleares junio Joan, Marc y Pere van a una papelería y compran cuadernos pequeños, medianos y grandes según la siguiente tabla: Nº de cuadernos pequeños Nº de cuadernos medianos Nº de cuadernos grandes Joan 3 3 Marc 4 3 Pere 3 4 Si Joan, Marc y Pere han gastado en total en cuadernos 3, 4.75 y 5.25 euros, respectivamente, calcula el precio de un cuaderno pequeño, el de uno mediano y el de uno grande. x "Precio del cuaderno pequeño, en euros" y "Precio del cuaderno mediano, en euros" z "Precio del cuaderno grande, en euros" x + 3y + 3z = 3 x + 4y + 3z = 4.75 x + 3y + 4z = 5.25 Los precios de los cuadernos pequeño, mediano y grande son, respectivamente,,.75 y 2.25 euros. 8 con 3 incógnitas
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