PROBLEMAS SOBRE V. ESTAD. BIDIMENSIONALES. PROFESOR: ANTONIO PIZARRO.

Transcripción

1 1º) (Andalucía, Junio, 98) Se considera la siguiente tabla estadística, donde a es una incógnita: X 2 4 a 3 5 Y a) Calcular el valor de a sabiendo que la media de X es 3. b) Mediante la correspondiente recta de regresión lineal, hacer una predicción del valor que se obtiene para Y cuando X = 4,5. Hallar el cuadrado del coeficiente de correlación entre X e Y y explicar la fiabilidad de la predicción anterior. Solución: a) a = 1; b) Si X = 4,5, el valor estimado para Y será y = 2,35. El coeficiente de correlación al cuadrado, que suele llamarse coeficiente de determinación, es r 2 = 0,78; un porcentaje tan alto permitiría obtener conclusiones muy fiables del comportamiento de Y estudiando a la variable X. 2º) (Aragón, Junio, 00) Las calificaciones obtenidas por un grupo de 10 alumnos de la Licenciatura de Economía en las asignaturas de Matemáticas I y Matemáticas II viene recogidas en los siguientes pares de puntos (x, y) donde x representa la calificación en Matemáticas I e y en Matemáticas II: (4, 3), (7, 9), (2, 3), (7, 8), (4, 6), (7, 6), (3, 3), (2, 1), (3, 5), (5, 6). Se pide: a) Obtener la recta de regresión de la calificación en Matemáticas II sobre la calificación en Matemáticas I. b) Se puede estimar la calificación en Matemáticas II de una persona que tiene un 6 en Matemáticas I a partir de la recta calculada en el apartado anterior? En caso afirmativo, estimarla. Nota: Especificar las operaciones y fórmulas utilizadas en la resolución del problema. Solución: a) y = 0, ,07143x; b) Se puede estimar la calificación en Matemáticas II a partir de la calificación en Matemáticas I, pues el coeficiente de correlación es muy alto. Si x = 6, entonces y = 6,71. 3º) (Cantabria, Junio, 00) La siguiente tabla relaciona la inversión en millones y la rentabilidad, en tanto por ciento, de seis inversores. Inversión Rentabilidad Determinar: a) La media y la desviación típica de las variables: inversión y rentabilidad. b) El coeficiente de correlación. c) Si un inversionista invierte 13,5 millones, que rentabilidad puede esperar? d) Si un inversionista ha obtenido una rentabilidad del 5,5%, qué capital se puede esperar que haya invertido? Solución: a) Llamando x a la variable inversión e y a la variable rentabilidad, se obtiene: x = 13,333; σ = 1,79505; y =4,5; σ = 0,5; b) r = 0,74278; c) Si x = 13,5 entonces y = 4,575; d) Si y = 5,5 entonces x=16,015. x y 4º) (Cantabria, Junio, 99) Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedica diariamente a dormir y a ver la televisión. Las respuestas han permitido elaborar la siguiente tabla: Horas dormidas Horas televisión Frecuencias absolutas Se pide: a) Media y mediana del número de horas dedicadas a dormir. b) Porcentaje de individuos que ven la televisión por encima de la media. c) Coeficiente de correlación lineal e interpretación. d) Si una persona duerme 8 horas, cuánto tiempo cabe esperar que vea la televisión? e) Si una persona ve la televisión 2 horas, cuánto tiempo cabe esperar que duerma? Solución: a) x = 7,8 horas; Me= 8 horas; b) el 78%; c) r = 0,8789. Este valor de r indica que a más horas de TV menos horas se duerme, siendo la correlación muy fuerte; d) Si una persona duerme 8 horas, x = 8, se espera que vea y = 2,71 horas de TV; e) Si una persona ve la TV 2 horas, y = 2, se espera que duerma x = 8,953 horas. Página: 1

2 5º) (Castilla y León, Sept. 99) Utilizando la recta de regresión de x sobre y correspondiente a la distribución siguiente: x = altura sobre el nivel del mar y = temperatura media en ºC Calcula la altitud de una ciudad en la que la temperatura media es de 15º. Solución: x = 392,7 metros º) (Castilla la Mancha, Junio, 00) La siguiente tabla muestra las calificaciones obtenidas por cinco alumnos en C.O.U. y en las P.A.U.: C.O.U. 5,4 6,8 5,3 7,4 4,3 P.A.U. 5,8 4,8 5,9 7,4 4,2 a) Dibuja el diagrama de dispersión (nube de puntos). b) Calcula el coeficiente de correlación e interprétalo. c) Qué nota se puede predecir que sacará en las P.A.U. un alumno que en C.O.U. sacó una nota de 6,2? Solución: b) Para x = 6,2, y = 5,8; c) Para x = 6,2, y = 5,8. 7º) (Castilla la Mancha, Junio, 99) En la siguiente tabla se recogen las puntuaciones de cinco sujetos en dos pruebas (X,Y). X Y a) Dibujar el diagrama de dispersión (nube de puntos). b) Si la recta de regresión de Y sobre X viene dada por la ecuación Y = 0,63X + 2,96, qué puntuación pronosticaremos en la prueba Y a un sujeto que ha obtenido una puntuación de 10 en la prueba X? c) Calcular la covarianza de las puntuaciones. Solución: b) Y = 9,26; c) 3,8. 8º) (Canarias, Junio, 00) La siguiente tabla contiene las horas de asistencia a un curso de informática y las notas obtenidas por seis alumnos: Horas de asistencia (X) Notas (Y) a) Halla el coeficiente de correlación entre X e Y, e interprétalo. b) Si una persona asistiera seis horas al curso, qué nota obtendría? Solución: a) r = 0, Es una correlación directa y muy fuerte; b) Si x = 6 entonces y = 8. 9º) (Castilla y León, Junio, 98) Las calificaciones obtenidas por un grupo de 10 alumnos en Filosofía y Matemáticas son las que se recogen en la tabla siguiente: Filosofía Matemáticas Halla: a) La tabla de frecuencias. b) La recta de regresión de la calificación obtenida en Filosofía (y) respecto de la calificación obtenida en matemáticas (x). c) La calificación estimada en Filosofía para un alumno que en Matemáticas haya obtenido una calificación de un 6. Solución: b) y = 0,6 + 0,7x; c) 4,8. 10º) (Baleares, Junio, 98) En un determinado grupo de COU de un centro de educación secundaria, las calificaciones de Matemáticas II de 8 alumnos en la primera y segunda evaluación están representadas en la siguiente tabla: 1ª evaluación(x) 2ª evaluación(y) a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. b) Calcular la recta de regresión de Y sobre X. Página: 2

3 c) Si un alumno del grupo ha obtenido una calificación de 7,5 en la primera evaluación, qué calificación se supone que obtendrá en la segunda evaluación? Solución: a) r = 0,9701; b) y = 0, ,7057x; c) y = 6, º) (Extremadura, Junio, 98) Dos variables (X e Y) son medidas en 10 animales de laboratorio. A partir de los datos registrados se obtiene: 10 j= 1 x = 200, = 50, r = -07. j 10 y j j= 1 siendo r el coeficiente de correlación lineal. Cuál entre las siguientes podría ser la recta de regresión de la variable Y sobre la variable X? Justificar la respuesta. a) Y = ,5X b) Y = 35-1,5X c) Y = 9-0,7X d) Y = X Solución: La recta de regresión pedida es Y = 35-1,5X. 12º) (Extremadura, Junio, 99) A partir de los datos recogidos sobre facturación anual y beneficios anuales en el año 1998 sobre un conjunto de 50 grandes empresas europeas, se ha calculado una facturación media de 80 millones de euros y unos beneficios medios de 65 millones de euros. a) Teniendo en cuenta esa información, determinar la recta de regresión que permite obtener los beneficios en función de la facturación, sabiendo que ha partir de ella se han calculado unos beneficios de 59 millones de euros para una empresa que ha facturado 75 millones de euros en b) Qué signo tendría el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables? Justificar las respuestas. 6 Solución: a) y 65 = ( x 80); b) El signo de la pendiente de la recta de regresión indica que la 5 correlación es directa. En consecuencia, el coeficiente de correlación será positivo. 13º) (Extremadura, Junio, 00) A partir de los datos recogidos sobre la estatura (E) y el peso (P) en un grupo de 50 estudiantes de C.O.U., se ha obtenido una estatura media de 165 cm y un peso medio de 61 kilogramos. Sabiendo que al aumentar la estatura aumenta también el peso, identifica entre las siguientes cuál podría ser la recta de regresión del peso en función de la estatura obtenida a través de los datos recogidos en ese grupo de estudiantes: 1 2 a) P = 226 E; b) P = 5 + E ; c) P = E; d) P = 171 E. 3 3 Solución: La recta pedida podría ser P = E. 14º) (Madrid, Junio, 01) La recta de regresión de una variable y respecto de la variable x es y = 0,3x + 1. Los valores que ha tomado la variables x han sido {3, 4, 5, 6, 7}. Se pide: a) Determinara el valor esperado de y para el valor particular de x = 3,5 b) Si los valores de la variable y utilizados para la regresión se multiplican por 10 y se dejan los mismos valores para la variable x, determinar razonadamente la nueva recta de regresión. Solución: a) 2,05; b) y=3x º) (Madrid, Junio, 99) Los siguientes pares de datos corresponden a las variables x (producto interior bruto en decenas de billones de pesetas) e y (tasa de inflación): X 3,4 4,6 5,2 3,2 Y 8,3 1,5 2,1 5,8 a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos. b) Decidir razonadamente cuál de las siguientes rectas es la de regresión de y sobre x: y = 16,26 + 2,88x; y = 16,26-2,88x c) Calcular el valor esperado de la tasa de inflación que corresponde a un producto interior bruto de 4,3 decenas de billones de pesetas. Solución: b) De ser alguna de esas dos rectas, será la de pendiente negativa, y = 16,26-2,88x, pues así lo sugiere el diagrama de dispersión, hecho en el apartado a); c) 3,876. Página: 3

4 16º) (País Vasco, Junio, 98) La tabla siguiente muestra los valores observados de dos variables X e Y en cinco individuos: X 1-1 x 2 3 Y a) Hallar el valor x para que el coeficiente de correlación sea nulo. b) Suponiendo que x = 4, hallar la recta de regresión de Y sobre X y estudiar el valor de Y cuando X toma el valor Solución: a) x = ; b) y = -4, º) (Asturias, Junio, 00) Una librería ha hecho un pequeño estudio sobre 36 de sus clientes, clasificándolos de acuerdo a su edad y al número de libros adquiridos en el último año: Número de libros Edad a) Calcula la media de libros comprados por los menores de 30 años. Calcula también la media para los mayores de 45 años. En cuál de los dos grupos la media es más representativa? b) El 50% de los clientes investigados tiene una edad inferior a la del dueño de la librería, y el otro 50% la tiene superior. Sabrías decir cuál es la edad del dueño. Qué nombre recibe este valor? c) La media de edad es de 40,8 años, con una desviación típica de 12,4 años. Calcula igualmente e interpreta el coeficiente de correlación lineal entre la edad y el número de libros comprados. La relación entre ambas variables es muy fuerte? Solución: a) La media es más representativa en el grupo que tiene menor coeficiente de variación: en el primer grupo; b) La mediana es la edad del individuo que ocupa la posición número 19, que es el dueño; 41 años; c) r=-0,88 Este valor expresa que a medida que aumenta la edad se compran menos libros. La correlación es bastante fuerte. 18º) (Asturias, Junio, 99) Un grupo de 30 mecanógrafos de una empresa ha sido sometido a una prueba para evaluar la relación entre su pericia y la antigüedad en la empresa. En la siguiente tabla se clasifican los empleados atendiendo al número de faltas cometidas en la prueba y el número de años que lleva en la empresa: Años Número de faltas (a) Calcular la antigüedad media ente quienes cometen de 5 a 10 faltas. (b) La desviación típica de la antigüedad es 2,55. Calcula igualmente el coeficiente de correlación lineal entre las variables. Qué salga negativo tiene que ver con que la relación lineal es pequeña? (c) La media de antigüedad es 5,2. Calcula igualmente la recta de regresión para explicar el número de faltas en función de la antigüedad. Solución: a) 4,2; b) que r = salga negativo significa que la correlación entre las variables es inversa; y en este caso, además es fuerte; c) Y = 14,46-1,52X. 19º) (País Vasco, Junio, 99) En una población, la media de los pesos de sus habitantes es de 65 kg y la de las estaturas 170 cm, siendo sus desviaciones típicas de 5 kg y 10 cm, respectivamente. Se sabe además que el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables es de 0,8. (a) Hallar las dos rectas de regresión. (b) Cuánto se estima que pesará un individuo que mide 180 cm? Qué altura corresponde a un peso de 75 kg? Solución: a) Las ecuaciones de las rectas de regresión serán: de Y sobre X: Y 170 = 1,6(X 65) de X sobre Y: X 65 = 0,4(Y 170) b) Para Y = 180, se emplea la recta de regresión de X sobre Y. Se obtiene, X = 69 kg. Para X = 75, utilizamos la recta de regresión de Y sobre X y se obtiene Y = 186 cm. Página: 4

5 20º) (Murcia, Junio, 99) En una población la media de los pesos es de 70 kg y la de las estaturas 175 cm. Las desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm, respectivamente y la covarianza de ambas variables es 40. a) Estime el peso de una persona de esa población que mide 185 cm de estatura. b) Usando el coeficiente de correlación lineal, explique hasta qué punto confía usted en la estimación que ha hecho en el apartado a). Solución: a) Para una estatura de x = 185 cm, el peso esperado es y = 74 kg; b) r = 0,8. Este valor de r indica que la correlación es directa y fuerte. Una idea más cuantitativa la da el coeficiente de determinación que es r 2 = 0,64, que indica que el 64% de las variaciones observadas en la Y son consecuencia de las variaciones de la X. 21º) (Murcia, Junio, 00) La siguiente tabla da las alturas xi y pesos yi de 10 personas: Altura xi (cm) Peso (kg) yi Para estos datos se han calculado los siguientes valores: x y x 2 y 2 i i i i a) Estime un valor para la altura de una persona que pesa 82 kg. b) Indique hasta qué punto le parece fiable este valor estimado. Solución: a) A un peso y = 82 le corresponde una altura x = 189 cm; b) La fiabilidad de la estimación es muy alta pues el coeficiente de correlación está muy cercano a 1 (0,988), y el peso de 82 kg está dentro del rango estudiado. i i Página: 5