EJERCICIO A. Problema 1. Dada la siguiente ecuación matricial: 10 x y. obtener de forma razonada los valores de x, y, z.

Transcripción

1 Baremo: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que sólo se harán TRES de los cuatro problemas. Cada problema se puntuará de 0 a 3,3. La calificación final será la suma de 0,1 más la suma de las puntuaciones de los tres problemas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen, se prohibe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria) Tiempo: 90 minutos EJERCICIO A Problema 1. Dada la siguiente ecuación matricial: x x z 3 obtener de forma razonada los valores de x,, z. Problema 2. Una compañía fabrica vende dos modelos de lámparas A B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A 30 minutos para el modelo B; un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de minutos al mes para el de máquina de minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 para el modelo A de 10 para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio calcular éste. Problema 3. Se cree que el número de unidades vendidas de un cierto producto en función de su precio en euros, x, viene dado por = 50 - x, donde el precio varía entre 0 50 euros. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio x - 10, determinar de forma razonada el precio x que producirá un maor beneficio, el número de unidades vendidas el beneficio obtenido. Problema 4. En una pequeña ciudad ha dos bibliotecas. En la primera, el 50 % de los libros son novelas mientras que en la segunda lo son el 70 %. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no. a) Calcular razonadamente la probabilidad de que elija una novela. b) Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la probabilidad de que haa acudido a la primera biblioteca.

2 EJERCICIO B Problema 1. El 75 % de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte el resto andando. Llega puntual a clase el 60 % de los que utilizan el transporte el 90 % de los que acude andando. Calcular de forma razonada: a) si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haa acudido andando, b) si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haa llegado puntual. Problema 2. Debo tomar al menos 60 mg de vitamina A al menos 90 mg de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mg de vitamina A 15 mg de vitamina B, cada pastilla de la marca Y contiene 10 mg de cada vitamina. Además, no es conveniente tomar más de 6 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 céntimos de euro cada pastilla de la marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calcular de forma razonada: a) Cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo, b) Cuál es el coste mínimo. Problema 3. Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados un café con leche debieron pagar 3. Al día siguiente tomaron un café, un cortado tres cafés con leche, por lo que pagaron 3,25. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos tomaron un café, dos cortados un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45. Calcular de forma razonada el precio del café, del cortado del café con leche. Problema 4. Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del primero el doble del cuadrado del segundo sea mínimo. Solución de los problemas del Ejercicio A Problema 1 Operando se obtiene: x x z 3 3x 2 x + + z 3

3 4x z 3 4x 2 = = 6 + z = 3 El sistema obtenido se resuelve mediante transformaciones de Gauss: E 2 + E1 4 x 2 = 10 = 4 + z = 3 x = 2; = 1; z = 2 Problema 2 Se trata de un problema de programación lineal. Ordenando la información se tiene: Cantidad T. manual T. de máquina Beneficio Modelo A x 20x 20x 15x Modelo B Disponible El objetivo es maximizar el beneficio, B(x, ) = 15x + 10 restringido por: 20x x x 0; 0 Estas restricciones determinan la región factible (sombreada) en la siguiente figura. Como sabemos, para regiones cerradas, las soluciones máximas mínimas se dan siempre en alguno de los vértices de la región factible. Para determinarlas basta con evaluar el valor de la función objetivo en cada uno de esos vértices, que son:

4 O = (0, 0), P = (0, 200), Q: 20x + 30 = x + 10 = 4800 Q = (210, 60), R = (240, 0) El valor de B(x, ) = 15x + 10 en esos vértices es: En O, B(0, 0) = 0 En P, B(0, 200) = 2000 En Q, B(210, 60) = 3750 En R, B(240, 0) = El beneficio máximo, que es de 3750, se obtiene fabricando 210 lámparas del modelo A 60 del modelo B. Problema 3 Tenemos los siguientes datos: unidades vendidas 50 x precio por unidad x beneficio por unidad x 10 Como el beneficio total = beneficio por unidad número de unidades vendidas, se tendrá: B(x) = (x 10) ( 50 x) = x x 500 Este beneficio es máximo cuando: B (x) = 0 B (x) < 0. B (x) = + 60 = 0 x = 30. B (x) = 2 < 0, luego, para x = 30 se da el beneficio máximo. A ese precio se venderán 20 unidades (50 30 = 20), obteniéndose un beneficio unitario de 20 euros (30 10 = 20); por tanto, el beneficio total será de = 400 euros. Problema 4 Designamos por [1] [2] a la primera segunda biblioteca. Si p es la probabilidad de elegir la segunda biblioteca, P([2]) = p, la de elegir [1] será P([1]) = 3p. Como P([1]) + P([2]) = 1 3p + p = 1 p = 0,25 Con esto podemos dibujar el siguiente diagrama de árbol.

5 a) P(novela) = P([1]) P(novela/[1]) + P([2)] P(novela/[2]) = = 0,75 0,5 + 0,25 0,7 = 0,55 P([1]) P(novela/[1]) 0,75 0,5 375 b) P([1]/nove la) = = = 0, 68 P(novela) 0,55 55