Preparando la selectividad

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1 Preparando la selectividad PRUEBA nº 3. Ver enunciados Ver Soluciones Opción A Ver Soluciones Opción B

2 Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del ue se harán los TRES problemas propuestos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del eamen. Se prohíbe su utilización indebida para guardar fórmulas en memoria). En todos los ejercicios, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: OPCIÓN A A1. Sean las matrices A= ) y B= ), a) Calcular las matrices C y D, sabiendo ue AC=BD=I, siendo I la matriz identidad de orden 2. 5 puntos) b) Discutir y resolver el sistema dado por C 1 D ) 1 y) = 1 2) el apartado anterior.5 puntos) siendo C y D las matrices indicadas en A2. Un comerciante tiene garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada botella. Otro comerciante tiene y garrafas de de 10 litros de aceite cada una y botellas de 1 litro de aceite cada botella. El segundo comerciante tiene 9 litros más ue el primer comerciante. Se sabe ue los dos tienen más de 30 litros de aceite y menos de 50 litrosl de aceite. Averiguar razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno. 10 puntos). A3. Sea la función f ) = 1) 2 a) Calcula sus asíntotas. b) Calcula su etremos y puntos de infleión. c) Represéntala gráficamente basándote en los resultados anteriores y cualuier otro ue puedas necesitar). OPCIÓN B B1. Sea el triángulo de vértices A1, a), B5, b) y C3, c). Se sabe ue las ordenadas de sus tres vértices suman 9, ue la ordenada b es la media aritmética de las otros dos y ue b y c son números naturales consecutivos, siendo c >b. a) Calcula a, b y c. 5 puntos) b) Si el triángulo anterior representa para a=1, b=2 y c= 6 la fronterra de la región factible correspondiente a un problema de programación lineal con función objetivo f, y) = 2 + y, determinar razonadamente los puntos en los ue dicha función alcanza su máimo. 5 puntos) B2. Dada la matriz A= ). a) Halla su inversa. 3puntos). b) Resuelve la ecuación X A 2 + 5A = puntos) ) c) Dada una matriz cuadrada B de orden 2, obtén razonadamente el determinante de B -1, de B t, de B 2 y de 5B sabiendo ue detb) = 4. 3 puntos). B3. El coste total de fabricación de unidades de cierto artículo es: C) = dólares. Se define coste medio por unidad como el cociente C ). SE pide: a) En ué nivel de producción será menor el coste medio por unidad? Razonar la respuesta.6 puntos) b) Tiene la función coste medio por unidad puntos de infleión? Razonar la respuesta. 4 puntos)

3 SOLUCIONES: OPCIÓN A A1. Sean las matrices A= ) y B= ), a) Calcular las matrices C y D, sabiendo ue AC=BD=I, siendo I la matriz identidad de orden 2. 5 puntos) b) Discutir y resolver el sistema dado por C 1 D ) 1 y) = 1 2) indicadas en el apartado anterior.5 puntos) a) Si A C = I A 1 A C = A 1 I C = A 1 ; Calculamos la matriz inversa de A: I ) F1 3 F1 2 F ) 7 F1 3 F2 F2 1/7 3/7 C= 3/7 2/7) ) 1 0 siendo C y D las matrices 0 1 Análogamente: Si B D = I B 1 B D = B 1 I D = B 1 ; Calculamos la matriz inversa de B: I ) F1 F2 F ) F1 F2 F /7 3/7 3/7 2/7) /5 1/5) ; D= 1 0 1/5 1/5) b) Dado el sistema C 1 D ) 1 y) = 1 2) A B) y) = 1 2) [ ) ) ] y) = 1 2) ) y) = 1 2) 2+6y) +3y = 1 2) +3y=1 2+6y=2} =1 3λ y=λ } λ R. Es Compatible Indeterminado. A2. Un comerciante tiene garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada botella. Otro comerciante tiene y garrafas de de 10 litros de aceite cada una y botellas de 1 litro de aceite cada botella. El segundo comerciante tiene 9 litros más ue el primer comerciante. Se sabe ue los dos tienen más de 30 litros de aceite y menos de 50 litrosl de aceite. Averiguar razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno. 10 puntos). a) Comerciante 1º Comerciante 2º Garrafas de 10 litros y Botellas de 1 litro y TOTAL litros) 10 + y 10y + Las incógnitas e y, dado ue son nº de botellas ó de garrafas, han de tomar valores NATURALES. Si El 2º tiene 9 litros más ue el 1º: 10+y + 9 = 10y + 9y 9 = 9 y = 1 y= < 10+y < Por otra parte: 30 < +10y < 50} 30 < 10++1) < 30 < ) < 50} 29 < 11 < < 11 < 40} 29/11 < < 49/11 20/11 < < 40/11} 2,6 < < 4,5 2,6 < < 3,6 Como, y N = 3 e y= 4 1,8 < < 3,6} SOLUCIÓN: Comerciante 1º Comerciante 2º Garrafas de 10 litros 3 4 Botellas de 1 litro 4 3 TOTAL litros) 34 litros 43 litros

4 A3. Sea la función f ) = 1) 2 a) Calcula sus asíntotas. b) Calcula su etremos y puntos de infleión. c) Represéntala gráficamente basándote en los resultados anteriores y cualuier otro ue puedas necesitar). En primer lugar el dominio d ella función: Dom f = { R / - 1) 2 0 }= R { 1} a) Cálculo de las asíntotas: A. Verticales: Recta de ecuación = 1 ya ue lím Posición: 1 lím 1 + 1) = + 2 A la derecha, hacia arriba. lím 1-1) 2 = + A la izuierda, hacia arriba. 1) 2 =± 1) 2 = 0 R A. Horizontales: Recta de ecuación y= 0 ya ue lím Posición: calculamos la resta f) 0 = 1) 2 si + f ) 0 = 1) > 0 2. A la derecha, por encima de la asíntota. si f ) 0 = No Hay Asíntotas oblicuas. 1) 2 < 0. A la izuierda, por debajo de la asíntota. b) Cálculo de las derivadas de la función f ) = 1) 2 1ª derivada: f ') = 1 1)2 2 1) 1) 4 = 1 1) ) 1) 4 3 = 1) 2 1) 3 = 1 =f ') 3 1) 2ª derivada: f '')= 1 1)3 1 ) 3 1) 2 1) 6 1 1) 1 ) 3 1) 4 = 1 1)31 1 ) 3 1) 1) 64 = = ) 4 = 2+4 =f '') 4 1) Cálculo de los etremos: Condición NECESARIA f ')= 0; f ')= f)= 1? 1 1) 3 = 0 ; - 1 = 0 ; = 1 puede ser un etremo ) 3 + ó? 0 + No 1) 2 ó? -1/4 No DECRECIENTE Mín CRECIENTE DECRECIENTE Presenta un Mínimo Relativo en =-1; en el punto P-1, -1/4). Cálculo de los Puntos de Infleión: f '')= 2+4? 1) 4 = 0 ; = 0 ; = - 2 puede ser un punto de infleión.

5 f '')= f)= ) 4 + ó? 0 + No + 1) 2 ó? -2/9 No CONVEXA INF CÓNCAVA CÓNCAVA

6 SOLUCIONES OPCIÓN B B1. Sea el triángulo de vértices A1, a), B5, b) y C3, c). Se sabe ue las ordenadas de sus tres vértices suman 9, ue la ordenada b es la media aritmética de las otros dos y ue b y c son números naturales consecutivos, siendo c >b. a) Calcula a, b y c. 5 puntos) b) Si el triángulo anterior representa para a=1, b=2 y c= 6 la frontera de la región factible correspondiente a un problema de programación lineal con función objetivo f, y) = 2 + y, determinar razonadamente los puntos en los ue dicha función alcanza su máimo. 5 puntos) a) Las ordenadas suman 9 a+b+c=9 } b es la media aritmética de a y c b = a+c 2 b yc son naturales consecutivos c=b+1 a+b+c=9 a 2b+c = 0 b+c = 1 } Resolvemos por el Método reductivo de Gauss ) F F2 F F b) Sean los puntos A1, 1), B5, 2) y C3, 6). Recta ue pasa por A y B = y Recta ue pasa por A y C = y Recta ue pasa por B y C = y ) F1 F2 F1 F3 1 4 = y = y = y 2 4 a=9 b c } 3b = 9 c= 1+b y = y = y = a=2 b = 3 c= 4 } A1, 2) B5, 3) C3, 4) La Función Objetivo es f, y) = 2 + y. Si f, y) = 0 y= 2. La pendiente es m = - 2. Al desplazar la recta hacia arriba obtenemos mayores valores de la F.O. f, y) Coincidirá con la recta ue pasa por B y C y la solución será todo el conjunto de untos del segmento BC. El valor máimo lo podemos calcular en cualuiera de esos puntos: Por ejemplo en B5, 2) resulta f, y) = = 12

7 B2. Dada la matriz A= ). a) Halla su inversa. 3puntos). b) Resuelve la ecuación X A 2 + 5A = puntos) ) c) Dada una matriz cuadrada B de orden 2, obtén razonadamente el determinante de B -1, de B t, de B 2 y 5B sabiendo ue detb) = 4. 3 puntos). a) 1º método: Cálculo de la inversa por método de Gauss ) F1 F4 4 F ) 2º método: Cálculo por adjuntos A 1 = 1 A Aa ) t det A) = A = 1 3 b) X A 2 + 5A = ) C 4 2 = -10 0; Aa = 10 F1+3 F2 F /5 3/ 0 1 2/5 1/ 10) = A ) ; A a ) t = ) ; 1) 1/ 5 3/ 2/ 5 1/ 10) A 1 = A Aa 1 ) t = ) = 1/5 3/ 2/5 1/ 10) ; X A 2 = C 5A ; X A 2 A 2 ) 1 = C 5A ) A 2 ) 1 ; X = C 5A ) A 2 ) 1 I Cálculo de A 2 = ) ) = ) ; det A2 = det A) det A) = 100 0; A 2 ) a = 9 +13) ; ) a ) t 16 9 A2 = 12 13) ; A 2 ) 1 = ) 1 4 2) ] ) = 1 30) ) = ) ; X = ) X = C 5A) A 2 ) 1 = [ ) = c) Si B =4 ; B 1 = 1 B = 1 4 ; B t = B = 4 ; B 2 = B B = 4 2 = 16 y 5 B = 5 2 B = 25 4 = 100 por ser B de orden 2

8 B3. El coste total de fabricación de unidades de cierto artículo es: C) = dólares. Se define coste medio por unidad como el cociente C ). SE pide: a) En ué nivel de producción será menor el coste medio por unidad? Razonar la respuesta. b) Tiene la función coste medio por unidad puntos de infleión? Razonar la respuesta. a) El coste medio por unidad será menor cuando la función f ) = C) = alcance su mínimo. En primer lugar su dominio: En general sería Dom f = R {0}. Pero, dado ue la variable representa nº de unidades, sólo puede tomar valores naturales Dom f = N* = N { 0} Condición Necesaria f ') = 0; Calculamos la derivada de f ) = = f ') = 3 75 = 32? 75 = ; = 0 ; 2 = 25 ; = 5. Descartamos = - 5 por ser negativo y el mínimo puede ser = +5. Condición Suficiente f'') >0 Calculamos la 2ª derivada f ' ') = 150 ; En =5 tenemos f ' '5) = 150 > Por lo tanto =5 es un Mín relativo y coste medio por unidad será f 5) = = 45 $/unidad. 5 b) Para determinar los posibles puntos de infleión: f ' ') = 0 f ' ') = 150? = 0 3. IMPOSIBLE! No hay puntos de INFLEXIÓN.