5 0-5, C = [2014] [EXT-B] Considere el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas x+y = 1 x-y = 3.

Transcripción

1 MasMatescom 1 [214] [EXT-A] Considere las matrices B = a) Calcule la matriz A = 3B 2 -C b) Halle la inversa A -1 de A -1 -, C = [214] [EXT-B] Considere el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas x+y = 1 x-y = 3 S, cuya solución es el punto P =(2,-1) de 2 Sea S' el sistema que se obtiene al añadir a S una tercera ecuación ax+by = c Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Puede ser S' compatible determinado? b) Puede ser S' incompatible? c) Puede ser S' compatible indeterminado? 3 [214] [JUN-A] a) Estudie cómo es el sistema de ecuaciones: b) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones x+ y-4z= 2 2x - y - z= 1 x-2y+3z=-1 4 [214] [JUN-B] a) Calcule el determinante de la matriz A = b) Calcule la matriz inversa de A 2-1 c) Calcule el determinante de la matriz B = 1 2 A3 sin obtener previamente B 5 [213] [EXT-A] Dadas las matrices A = es la inversa de la matriz A 23 y B = 3 x y x y, estudie si existen números reales x e y tales que la matriz B 6 [213] [EXT-B] a) Estudie para cuáles valores del parámetro m es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones: (1-2m)x - y - z = -1 (m-1)x + y - z = 2 m 2 x+y+z= 3 b) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones para m = 7 [213] [JUN-A] a) Encuentre, razonadamente, un valor del parámetro a para el que sea compatible determinado el sistema de ecuaciones ax+2y+ z=a+1 (a+1)x - y - az = -1 -x + y + z = 2a b) Resuelva el sistema para el valor de a encontrado 8 [213] [JUN-B] Dadas las matrices A = , I = 1 1 1, pruebe que la matriz inversa de A es A -1 = -A 2 +A+2I 9 [212] [EXT-A] Calcule los valores de a para los que el determinante de la matriz B es igual a 32, B = 32, siendo B = 2 A 2 y A = a 1 -a Página 1 de 5

2 MasMatescom 1 [212] [EXT-B] Existe alguna matriz X = x y z x que cumpla X = X y sea NO nula? Razone la respuesta 11 [212] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el sistema de ecuaciones (no hay que resolverlo en ningún caso) x- y+ 2z= a -x + y - az = 1 x+ay+(1+a)z=-1 12 [212] [JUN-B] Calcula la matriz inversa de la matriz A = B 2-2c, siendo B = -1 y C = [211] [EXT-A] a) Diga, razonadamente, si la tercera columna de la matriz A siguiente de las otras dos primeras columnas: A = b) Calcule el rango de la matriz A 14 [211] [EXT-B] Discuta, en función del parámetro b, el sistema de ecuaciones ningún caso) y+bz = 1+b x+z = 3-b bx-by = 1-b (no es necesario resolverlo en 15 [211] [JUN-A] Calcule las matrices de la forma X = x 1 y que cumplen la ecuación X Xt = 1 1, donde Xt es la matriz traspuesta de X 16 [211] [JUN-B] Discuta, en función del parámetro a, el sistema de ecuaciones ningún caso) -x+2y+z = a x+(a-1)y+az = ax+2y+z = -1 (no es necesario resolverlo en 17 [21] [EXT-A] a) Diga, justificando la respuesta, si es de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones: b) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones y-z = 1 -x+4z = 2y-z = 1 18 [21] [EXT-B] a) Sean B y C matrices cuadradas de orden 3 Diga cuándo, por definición, C es la matriz inversa de B 1 1 b) Diga razonadamente si la matriz A = tiene inversa y, si la respuesta es afirmativa, calcula la matriz A [21] [JUN-A] a) Discuta el sistema de ecuaciones lineales b) Resuelva el sistema anterior 2x-y+z = 1 -x+y-z = y-z = 1 2 [21] [JUN-B] Determine el rango de A según los valores de b: A = b b b-1 Página 2 de 5

3 MasMatescom 21 [29] [EXT-A] Considere las matrices A = , B = 1-2 2, C = a) Diga razonadamente cuál es el rango de la matriz A B b) Clasifique y resuelve el sistema de ecuaciones A B X = O x y z y O = [29] [EXT-B] Considere la matriz A = a b c a 2 b 2 c 2 a) Calcule el determinante de A y compruebe la igualdad A = (b-a)(c-a)(c-b) b) Qué relación debe existir entre a, b y c para que el rango de la matriz sea igual a 1? Justifique la respuesta 23 [29] [JUN-A] Sea A una matriz cuadrada de orden 3 Sabemos que el determinante de A es A = 2 Calcule los siguientes determinantes: a) 2A b) A -1 c) A A t (A t es la traspuesta de la matriz A) d) Determinante de la matriz obtenida al intercambiar las dos primeras columnas de A e) Determinante que se obtiene al sumar a la primera fila de A la segunda multiplicada por 2 24 [29] [JUN-B] Determine el rango de la matriz A siguiente, según los valores del parámetro b: A = b b b-2 25 [28] [EXT-A] a) Define el concepto de rango de una matriz b) Determina razonadamente si la tercera fila de la matriz A es combinación lineal de las dos primeras: A = [28] [EXT-B] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales, según el valor del parámetro a: No es necesario resolver el sistema en ningún caso ax+ay = x+z = a -2y+az = a 27 [28] [JUN-A] Discute, en función del parámetro a, el sistema de ecuaciones (no es necesario resolverlo en ningún caso): -x+2y+z = 1 ax-y+2z = 2 2x+(a-1)z = 2 28 [28] [JUN-B] Determina el rango de la matriz A en función de los valores de b: A = -1 2 b b b [27] [EXT-A] Sea A una matriz cuadrada de orden 3 a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es 2A = 8, cuánto vale el determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener ese valor x 1 1 b) Calcula para qué valores de x se cumple que 2A = 8, siendo A = x x 2-x 1 Página 3 de 5

4 MasMatescom 3 [27] [EXT-B] Calcula la matriz X tal que A 2 X = A, siendo A = [27] [JUN-A] a) Calcula el rango de la matriz A, según los valores del parámetro a: A = b) Escribe las propiedades del rango que hayas usado a [27] [JUN-B] a) Enuncia el teorema de Rouche-Fröbenius b) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales, según los valores del parámetro a: x+ y+ z=a x+ y+az=1 x+ay+ z=1 33 [26] [EXT-A] Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y-z = 1 x+y-z = 1 x-z = 1 34 [26] [EXT-B] Escribe un ejemplo de una matriz de rango 2, con 3 filas y 4 columnas, que no tenga ningún coeficiente nulo 35 [26] [JUN-A] Sea A una matriz cuadrada tal que A 2 = A+I, donde I es la matriz unidad Demuestra que la matriz A es invertible 36 [26] [JUN-B] Discute el sistema de ecuaciones lineales x+2y-z = 2 x+(1+b)y-bz = 2b según los valores de b x+by+(1+b)z = 1 37 [25] [EXT-A] Resolvere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y-x = z x-z = y y+z = x 38 [25] [EXT-B] Dar un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que sea compatible indeterminado Interpretarlo geométricamente 39 [25] [JUN-A] Determinar un valor del parámetro a para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible x+y+z = a indeterminado: x-y+z = 1 x-3y+z = 4 [25] [JUN-B] Dar un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que sea incompatible Interpretarlo geométricamente 41 [24] [EXT-A] Definir el concepto de rango de una matriz Dar un ejemplo de una matriz de 3 filas y 4 columnas que tenga de rango 2 42 [24] [EXT-B] Puede aumentar el rango de una matriz cuadrada de 3 filas al sustituir un coeficiente no nulo por?, y permanecer igual? Justificar las respuestas 43 [24] [JUN-A] Determinar las matrices X tales que AX = XA, donde A = Página 4 de 5

5 MasMatescom 44 [24] [JUN-B] Hallar una matriz con tres filas y tres columnas que tenga tres elementos nulos y tal que ninguno de sus menores de orden 2 sea nulo 45 [23] [EXT-A] Dar un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que sea compatible e indeterminado Interpretarlo geométricamente 46 [23] [EXT-B] Definir el producto de matrices Dar un ejemplo de dos matrices A y B con 2 filas y 2 columnas, tales que AB no coincida con BA 47 [23] [JUN-A] Determinar un valor del parámetro a para que las siguientes ecuaciones lineales sean linealmente dependientes: x+y+z = 1 3x+2y+z = 1 y+2z = a 48 [23] [JUN-B] Calcular dos números naturales a, b menores que 1 y tales que la siguiente matriz A tenga rango 2: A = 22b 5a 3 1 b Soluciones 1 a) a - 2, 2 b) b) b {,1}: cd y a) si (b+c=2a) b) si (b+c 2a) c) no 3 a) ci b) -3a 2 +2a a 2, 2a3 +2a a 2, -5a2-2a+2-2 a 2-2 5k+3 3,7k+3 3,k 4 a) 2 b) 1 2 9, no 11 a=2: inc; a=-1: ci; a {-1,2}: cd a=-1: inc; a -1: cd 17 a) si b) (-4,,-1) 18 b) c) 1 5-1, 3 6 a) m 1 b) 7, 7 2, a) 13 a) cl b) 3 14 b=: inc; b=1: ci; 19 a) ci b) (1,k+1,k) 2 b {-1,2}: 2; b {-1,2}: 3 21 a) 1 b) ci (2k-2m,k,m) 22 b) a=b=c 23 a) 16 b) 1 2 c) 4 d) -2 e) 2 24 b {,2}: 2; b {,2}: 3 25 b) no 26 a=2: inc; a=: ci; a {,2}: cd 27 a= -3 : inc; a=3: ci 2 a -3 2,3 : cd 28 b 1 2,1 : 2; b 1-1 2,1 : 3 29 a) 1 b), a = 4: 1 ; a 4: 2 32 a = 1: ci ; a 1: cd 33 k+1,,k, k 36 b = : inc ; b = 1: ci ; b {,1}: cd 37 (k,k,) si; si 43 a b 47 a = 2 48 a = 5 ; b = 4 b a Página 5 de 5